Functional Groups at SFU Business and Their Communication Objectives 24

En la literatura estadistica hay una gran ambigiiedad en el tratamiento exacto de como se construye un estimador de maxima verosimilitud {ML). Precisamente hablando, un estimador ML deberia ser un punto en el espacio parametrico; si tal punto existe, en el, la funcion de verosimilitud toma un maximo absoluto. En general, los estimadores ML se derivan como las soluciones de las ecuaciones de verosimilitud que se obtienen al igualar a cero las derivadas parciales de las funciones de verosimilitud o log-verosimil con respecto a los parametros en la distribution. En muchos problemas de estimacion, los estimadores ML se conocen y entonces las ecuaciones de verosimilitud' dan una solution unica, lo que produce un estimador ML verdadero. Sin embargo, en problemas de estimacion mas complejos, las ecuaciones de verosimilitud pueden contener raices multiples, y/o el espacio parametrico puede no tener una configuration simple, y la raiz o raices pueda o no hallarse en el espacio parametrico. En tales situaciones, determinar el estimador ML no es simplemente una tarea de resolver ecuaciones de verosimilitud. Estas fuentes potenciales de dificultad estan presentes en los problemas de estimacion de componentes de varianza (ver por ejemplo, Searle y otros, 1992, Capitulo 8). *Ademas, aunque los estimadores ML de los componentes de varianza, en el sentido estricto, se supone que producen estimadores no-negativos, la restriction sobre el espacio parametrico al resolver las ecuaciones de verosimilitud se ignora frecuentemente, resultando estimadores suboptimales (ver, por ejemplo, Searle y otros, 1992, p. 242).

Se han considerado varias propuestas con el proposito de resolver los problemas ocasionados y para superar las dificultades causadas por una posible falta de correspondencia entre las soluciones de las ecuaciones de verosimilitud y el verdadero estimador ML. Algunos autores consideran cualquier raiz de la ecuacion de verosimilitud ML, sin tomar en cuenta, ya sea que caiga o no, en el espacio parametrico, o si es un maximo absoluto o un maximo relativo. Cuando las ecuaciones de verosimilitud tienen raices multiples, Huzurbazar (1948) considera el estimador ML como la "unica solution consistente" de las ecuaciones de verosimilitud, y Lehmann (1983, Section 6.3) define los estimadores ML que pueden ser raices cuadradas de las ecuaciones de verosimilitud que son consistentes y asintoticamente eficientes. Bajo ciertas condiciones de regularidad (Crameer, 1946), muestra que es dificil justificar el uso de un estimador en base de una buena sucesion. Bajo la hipotesis de normalidad, los estimadores de los parametros de un modelo de efectos fijos por el metodo de maxima verosimilitud, en muchos casos, son los mismos estimadores que los que producen los metodo's de mmimos cuadrados y el mejor estimador lineal insesgado. Asi, uno esperaria que en la estimation de componentes de varianza, los estimadores ML sean iguales a los estimadores de los ANOVA; sin embargo, no es cierto. La propiedad de los estimadores ANOVA que produce valores negativos no son equivalentes a los estimadores ML, porque este ultimo se obtendria por maximizar la verosimilitud sobre el espacio parametrico no negativo que corresponde a los componentes de varianza. Asi, el problema de obtener los estimadores ML no es tan simple y directo para los componentes de la varianza como lo es para los parametros del modelo de efectos fijos. De hecho, con datos deficitarios, las soluciones explicitas para los estimadores ML comunmente no pueden determinarse.

Ahora obtendremos los estimadores ML de a ) y ^ para el modelo en (2.1.1). De (2.3.1), la funcion de maxima verosimilitud esta dada por

exp L = SS, a: -+ SS, <J2e +na2a , an\y..~N (2^ )2°"(<re2)2“'" U((Te2+nCTQ2K

Ademas, de (2.4.2), la funcion de log-verosimil se escribe como

in(L) - - - [(wi)£n(27z)+a(n- l)dn(a2)+ (a)£n(a2 + n a 2)

2

55w ~/z)2

° l O e + n °2a V2+ n ° 2a

(2.4.2)

(2.4.3)

Igualando a cero las derivadas de £n(L) con respecto a p, a ] y o 2a , las ecuaciones ML son

den(P = _ ^ an(y ..-fi) (2.4.4)

dp 2 { a 2+naa)

dtn{L) 1

~do]~ ~ ~2

y

dln(L) _ 1

Solucionando las 'ecuaciones en (2.4.4), (2.4.5) y (2.4.6) para p ,o ] y &l, y denotando las soluciones por p , a] y a ] , obtenemos

an a 2 +nal

nSSB an2(ym - p)2 {o2e + n a 2a)2 {a2+ n a 2J

= 0 (2.4.6) a(n - 1) + SS, nSS, a. a 2+nol { o le + n o 2a)2 { o le + m j')2 \ 2 = 0, (2.4.5) p = y..,oe = SS, a(n - 1) *2 1 (Ta=H n SS, s s w (2.4.7)

Graybill (1961, p. 342) se refiere a los estimadores en (2.4.7) como los estimadores

ha restringido solamente a valores no negativos de cr2 y <r2. Por lo tanto las

soluciones (2.4.7) no son realmente estimadores ML para los componentes de varianza.

Herbach (1959) considero el problema de encontrar los estimadores ML sujetos a valores no-negativos para a] y a 2. Sahai y Thompson (1973) presentan un metodo analitico mas simple para encontrar los mismos estimadores ML. Los estimadores no-negativos ML obtenidos en Herbach (1959) y Sahai y Thompson (1973) son:

y

donde

°e.ML = mir* _a(n-l)’SSw SSW +SSB_an

G.a, ML r n_\ SSb a SSW (a)+ =max(a,0). (2.4.8)

Ahora presentamos la demostracion de Herbach para la derivation de los estimadores ML en (2.4.8). Sea D la transformation ortogonal usual que cambia las y./s del modelo (2.1.1), ordenado apropiadamente, a las z/s, las cuales tiene

la distribuci6n estandar: (2 n)°"12exp 2 [Aj A2 A3 j donde Sl =(zn - ^ n J , S2 = £ ;:* , i=2 j = 2 i=l Xl = X 2 = o 2e + n a 2a, Aj = o ] y \A\ = AjA^A^"-1 (2.4.9) (2.4.10) 39

Es evidente que X2>?i3 >0. Ahora, los estimadores ML fi, X2 y X3 son valores que maximizan la verosimilitud en (2.4.9) sujeta a la condition A2>A3>0.

Igualando a cero las derivadas de (2.4.9) con respecto a , X2 y A3, obtenemos

como soluciones:

fi=zn/an, X[=S2/a, y X3=S3/a(n-l). (2.4.11)

De la diferenciacion se puede obtener como soluciones valores que no satisfacen la

A A

restriccion Xl > Xi , los estimadores en (2.4.11) contiene numeros primos que los distinguen de los estimadores ML “correctos”, que satisfacen la restriccion y no

A A

son primos. Ahora, si X2> entonces (2.4.11) da los estimadores ML verdaderos. Ademas, A/< X' es equivalente a S2fS3 < X/(n — l) , lo que se mantiene unicamente cuando los estimadores ML determinados por (2.4.11) no son estimadores correctos. De lo que L, el logaritmo de la verosimilitud en (2.4.9), puede escribirse como la suma de una funcion de A2 y una funcion deA3; es

evidente que los valores de X2 maximizan a L (considerada como una funci6n

matematica definida para todos los valores positivos de X2 y X3 mas que como una probabilidad; es decir, ignorando la restriccion A2>A3); para A3 fijo son los mismos

que como estan dados en (2.4.11). Similarmente, tenemos para los valores de A3que maximizan L para X2 fijo.

Ahora, dL/dX2 > 0 6 dL/dX3 l 0 de acuerdo a X2 >< S2ja 6 X}><S3/[a(n-1)]. Esto

A

significa que para cualquier X2 fijo L decrece cuando A3 se aleja de A3 en

A

cualquier direccion y similarmente para X2 y A2 cuando A3 es fijo. Es mas, por la

restricci6n A, > X^, el punto (a2,A3) en el piano (A2,A3) no puede estar arriba de la

estuviera arriba de la llnea; es decir A/ < A3'. Si A3 < A /, entonces uno puede

incrementar L incrementando A2. En ambos casos no se cumple la hipotesis de

(A A \ A A

A2,A3J. De aqui que < A,', los estimadores ML

correctos estan sobre la linea A3 = ^ . De esta manera, el procedimiento modificado

de estimadores ML los iguala a cero. Los estimadores ML son entonces

f i - zu /an,X2 = X3=(S2 + S3)/an • (2.4.12)

Por eso, los estimadores ML de a) y a* estan dados por (2.4.8). Para una descripcion alterna de la derivation de los estimadores en (2.4.8), ver Searle y

otros (1992, pp. 81-83).