Future Work

Como sabemos, en las ecuaciones fundamentales de ip teoría: cinética de los gases ideales-figura la energía cinética media de las moléculas, que a su vez se determina por su velocidad cuadrática media. El sentido de velocidad cuadrática media consiste en que es la velocidad que deberían poseer todas las moléculas (si las magnitudes de sus velocidades fuesen iguales y sus direcciones, de igual probabilidad), para que la presión del gas fuese la que es en realidad. De hecho, las velocidades do las moléculas no son iguales, y esto incluso lo tuvimos en cuenta al deducir la ecuación fundamental. Los hechos experimentales señalan esto.

Así, por ejemplo, en los experimentos de Stern; en los cuales se "inedia la velocidad de las moléculas, la banda desplazada no resaltó ser nítida, sino borrosa debido a que las moléculas con distintas velocidades caían en distintos lugares del blanco. Sobre esto, también testimonia la ley, examinada en el § 8, de distribución de las moléculas según su altura en el campo giratorio (fórmula barométrica). Si todas las moléculas tuviesen la misma velocidad, su distribución sería completamente diferente. En efecto, imaginémonos que todas las moléculas que se encuentran cerca de la superficie de la Tierra tienen una misma velocidad, cuya componente vertical es igual a u. Estas moléculas se elevarían hasta la altura x, determinada por la condición:

mgx

mu

₌

2

2

,

es decir, hasta la altura

g

u

x

2

=

después de lo cual volverían a la Tierra con la energía cinética inicial, es decir, se comportarían corno se comporta cualquier cuerpo lanzado hacia arriba. En tales condiciones, la atmósfera tendría una frontera brusca a la altura £, fuera de cuyos límites no existiría. La experiencia, sin embargo, indica que la atmósfera no tiene frontera brusca, su densidad disminuye con la altura de acuerdo con la fórmula barométrica. De tal modo, la suposición sobre la igualdad de la velocidad de todas las moléculas contradice a la experiencia.

Debido a los movimientos desordenados de las moléculas y a sus choques mutuos, las moléculas de un gas se distribuyen según sus velocidades de tal modo que entre ellas se encuentran tanto las muy rápidas como las muy lentas. A pesar del caos completo de los movimientos moleculares, a pesar del carácter casual de los choques y de los cambios de velocidad de las moléculas originados por ellos, la distribución de las moléculas según sus velocidades, como demuestra la teoría y la experiencia, resulta ser no casual, no arbitraria, sino completamente determinada. En su carácter no influyen ni los choques entre las moléculas, ni incluso el campo exterior. Resulta ser unívoco y el único posible. Y esto no sólo no contradice a la representación del carácter caótico de los movimientos moleculares, sino que precisamente se condiciona por éste.

Antes de comenzar la deducción de la ley de distribución de las moléculas según sus velocidades, aclaremos la esencia de la tarea sobre la distribución. Determinar la distribución de las moléculas según sus velocidades, parece ser que significa determinar el número de moléculas que poseen una u otra velocidad dada. Sin

igual a cero, El número de valores de velocidades distintas es infinitamente grande y el número de moléculas es finito. Por eso, el número de moléculas que corresponden a cada valor de la velocidad dado arbitrariamente, es igual a cero. A consecuencia de esto, la pregunta debe formularse de otro modo: ¿cuántas moléculas (o qué parte de moléculas) poseen velocidades comprendidas en un determinado intervalo, próximo a la velocidad dada?

Precisamente así se plantea siempre la tarea estadística. Si se exige, por ejemplo, hallar la distribución de la población de un país según su edad, esto no significa que es necesario determinar el número probable de personas que tienen una u otra edad exacta (matemáticamente exacta). Tal pregunta no tiene sentido, ya que el número de distintos valores de edad es infinitamente grande y el número de personas es finito. Se puede, solamente, determinar el número probable de personas, cuya edad está comprendida en un intervalo de valores determinado. Cuando hablamos en nuestra conversación diaria que aquel hombre tiene 18 años, con esto no queremos decir que al tiene justo 18 años, O días, O minutos, O segundos. Nuestra, afirmación significa, solamente, que su edad so encuentra en el intervalo entre 18 y 19 años. Lo mismo, por ejemplo, cuando el Ministerio de Instrucción Pública planifica el trabajo de las escuelas en el año escolar, al interesarse del número de niños de siete años de edad que ingresan en la escuela, no se interesa de aquellos niños que el 1 de septiembre, a las 8 de la mañana cumplen exactamente los 7 años. En realidad, le interesa el número de niños, cuya edad se encuentra entre los siete y ocho años.

Función de distribución. Al estudiar la distribución de las partículas según sus

velocidades, buscaremos también el número de' partículas cuyas velocidades (o cuyas componentes de velocidad) se encuentran en un determinado intervalo de valores de velocidad (o de sus componentes).

Es evidente, que el número de partículas Δn en una unidad de volumen cuyas velocidades se encuentran en un determinado intervalo desde v hasta v + Δv será tanto mayor, cuanto más grande sea el intervalo, es decir, Δn ~ Δv, o bien

Δn = aΔv (11.1)

donde a es el coeficiente de proporcionalidad.

También está claro, que Δn depende además de la misma velocidad, ya que en intervalos iguales en magnitud pero con diferentes calores absolutos de velocidad, el número de partículas será diferente, como es diferente, por ejemplo, el número de personas en los hiérvalos de edades de 99 a 100 años y de 30 a 31 años, a pesar de que en ambos casos son iguales los intervalos. Esto significa, que en la fórmula (11.1) el coeficiente de proporcionalidad debe ser función de la velocidad:

a =f (v)

Por último, e1 número Δn también debo ser proporcional al número de partículas n en la unidad de volumen. Por eso, la fórmula para. Δn deberá tener la forma:

Δn = nf(v) Δv

Corrientemente, esta fórmula se escribe en la forma siguiente:

Δn/n=f(v) Δn (11.2) La magnitud, en esta fórmula, representa la parte de partículas en la unidad de volumen del gas cuyas velocidades se encuentran en el intervalo desde v hasta v + Δv.

La función f(v) se llama función de distribución. El objeto de nuestra tarea es hallar la forma de esta función. El sentido de la función de distribución está claro de la fórmula (11.2). En efecto:

Esto significa, que (v) es igual a la parte de partículas, cuyas velocidades se encuentran en el intervalo unitario de velocidades próximo a la velocidad v.

Pasando al límite, la fórmula (11.2) se puede volver a escribir en la forma: dn/n = f(v) dv (11.3)

De lo dicho anteriormente sobre la probabilidad se deduce que la magnitud dn/n, en la fórmula (11.3) tiene el sentido de probabilidad: esto es la probabilidad de que cualquiera de las moléculas del gas, contenida en la unidad de su volumen, posea la velocidad que descansa en el intervalo dv próximo a la velocidad v. La magnitud de la función de distribución (v) se le puede adjudicar el sentido de probabilidad de que cualquier molécula de gas en la unidad de su volumen tenga una velocidad, comprendida en el intervalo unitario próximo a la velocidad v. A ella la llaman, por eso, densidad de probabilidad.

La formula barométrica obtenida anteriormente debe su forma a que las velocidades' de las moléculas no son iguales y están distribuidas de un modo determinado. El carácter de esta distribución precisamente depende de la forma de la función f (v). Utilizando la fórmula barométrica ya conocida, determinaremos la forma de la función de distribución que conduce a la relación (8.3) entre la densidad do las moléculas y la altura:

Observemos que la función de distribución se puede hallar también por otros caminos. Maxwell la obtuvo (en el año 1859) a partir de consideraciones basadas en la teoría de probabilidad. Boltzmann (en el año 1877) dedujo esta fórmula, al considerar los choques de las moléculas gaseosas, debido a los cuales se establece la distribución. Como consecuencia de esta fórmula se puede obtener la fórmula " barométrica. Para hallar la ley de distribución, utilizaremos la fórmula barométrica va obtenida con el objeto de simplificar el cálculo.

1.10.DISTRIBUCION DE LAS MOLECULAS SEGÚN LAS COMPONENTES DE