CHAPTER 3: METHODOLOGY
3.6 Genetic Algorithm
La figura 3.23 muestra el esquema del planteamiento seccional. Las hipótesis del estudio ampliado que se presenta son las siguientes:
Geometría de la sección. Genérica, definida por una poligonal que puede dejar uno o varios huecos en su interior.
Comportamiento del material ante tensiones normales. Diagrama genérico σ-ε definido por una poligonal, y que puede tener o no rama de tracción (material elástico no lineal).
Comportamiento del material ante tensiones tangenciales. Resistencia a cortante definida por dos valores uniformes: una tensión afín a la tensión normal representativa de compresión y un valor constante en la zona traccionada.
Ecuación de compatibilidad: Se admite que la sección se conserva plana durante la deformación (hipótesis de Navier).
Esfuerzos: Se obtienen por integración numérica de las leyes de tensiones en el dominio de la sección.
Respecto a los puntos anteriores conviene hacer algunas precisiones. Atendiendo a los casos de secciones de grandes dimensiones, como pilas de viaductos o pilares de catedrales, en que se construye una cáscara vista de
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ladrillo o sillería de calidad y un relleno en el núcleo central con una mampostería menos cuidada o cascote, se considera la posibilidad de que existan en la sección materiales de distintas propiedades.
En cuanto a la condición de rotura global de la sección, se considera un criterio de fallo expresado en deformaciones, de forma análoga a la práctica habitual en hormigón estructural que también ha sido aplicada a fábrica [15]. En concreto, se considera un diagrama de pivotes, con un valor límite de la deformación normal como umbral de rotura. En caso de que la sección esté sometida a compresión pura o flexo-compresión con baja excentricidad (la fibra neutra está fuera de la sección) la deformación última ε0 es menor que la aceptada en flexo-compresión con alta excentricidad, εu. Como orden de magnitud ε0 = 2‰ para compresión simple y εu=3.5 ‰ para flexo- compresión con fibra neutra localizada dentro de la sección. No se considera pivote en tracción.
La ecuación de compatibilidad de secciones planas no se cumple estrictamente, ya que, superpuesta al esquema lineal de deformaciones de la figura 3.23 se tiene el incremento de tensión ∆σ debido al cortante, producto del giro de cada pieza como sólido rígido postulado por Mann y Müller (ver figura 2.47). En el capítulo 4 se muestra experimentalmente la validez de la hipótesis de deformación plana en los ensayos CE de compresión excéntrica.
Algoritmo de cálculo
Se necesita determinar la combinación de esfuerzos que produce la rotura en flexo-compresión recta o esviada en presencia de cortante, así como el diagrama momento curvatura, en presencia de axil y cortante.
Los datos de partida son la ley tensión deformación σ-ε,y la envolvente de rotura τ-σ de la fábrica. Esta envolvente es proporcional a un diagrama V-N
de una sección rectangular de la misma fábrica. Se considera una serie de leyes tensión-deformación afines a la real, definidas en el mismo dominio de deformación que la original (mismos pivotes de rotura), pero con una resistencia menor, fi. Ver figura 3.24. Se considera además un valor de la resistencia a cortante en la zona traccionada de la sección fv0,trac, que puede evaluarse como una fracción de la cohesión o despreciarse.
En primer lugar se obtiene el máximo axil que puede resistir la sección, Nmax, valor sólo compatible con cortante y momento nulos. Para ello se obtiene numéricamente la integral (3.42) extendida a toda la sección.
Figura 3.23 Esfuerzos y esquema tensional
σ x τ ε N h e V fv0,trac Obtención de los diagramas de interacción M-N para valores constantes de V
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max ( )0 ( )0
N
σ ε
dAσ ε
A fAΩ
=
∫
= = (3.42)Se fijan ahora valores arbitrarios del axil y el cortante N0<Nmax y V0, el problema consiste en determinar el momento M0 que agota la sección para el anterior par de esfuerzos.
El algoritmo toma como variable independiente la resistencia a compresión efectiva fi, mientras la variable dependiente es el cortante resistido V. Entre dos límites extremos fmin y f se hace la hipótesis de que la función que liga fi y V es monótona. Se utiliza la técnica de Illinois [95] para obtener la solución buscada, figura 3.25.
Para un valor cualquiera prefijado del axil N0<Nmax se determina la mínima resistencia a compresión fmin, necesaria para equilibrar el axil N0.
0 min
N
f
A
=
(3.43) σ τ ε f fi τi fmin τfminFigura 3.24 Leyes tensión-deformación y envolvente σ-τ consideradas en el algoritmo de cálculo de los diagramas de interacción
fi f fmin V V0 f0
Figura 3.25 Algoritmo de búsqueda de la resistencia efectiva a compresión que da como resultados el cortante y axil prefijados
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Con este valor fmin, se determina la tensión tangencial última compatible τfmin. A continuación se halla el cortante último para esa tensión tangencial, mediante la integral (3.44).
dA V(
τ
fmin)∫
τ
fminΩ
= (3.44)
Si el cortante prefijado V0 es menor que el valor anterior, la solución se encuentra en el intervalo (fmin, f). Para cada valor de prueba fi, se calculan, en primer lugar el valor de la curvatura χy la profundidad de la fibra neutra x
tales que el plano de deformación sea de agotamiento (pasa por un pivote de rotura y sólo uno) y el axil sea el dado N0. A continuación, una vez conocidas la partes traccionada y comprimida de la sección se halla el cortante resistido mediante 3.45. τi se calcula a partir de fi y de la envolvente
τ-σ. 0,
( )
i i v trac comp tracV
τ
τdA
f
dA
Ω Ω=
∫
+
∫
(3.45)Finalmente, cuando el cortante de prueba difiere del real menos que una tolerancia prefijada, para el plano de deformación hallado se calcula el momento respecto a la fibra baricéntrica mediante (3.46)
0 0 ( ) f ( , ) M f
σ
x y ydA Ω =∫
(3.46)donde σf0 denota la ley tensión-deformación caracterizada por una resistencia f0.
La figura 3.26 muestra el diagrama de flujo del proceso.
La viabilidad del algoritmo depende de la hipótesis de que la función que relaciona el cortante y la resistencia a compresión efectiva sea monótona en el intervalo elegido. No es posible demostrar que esta hipótesis se cumple para cualquier geometría de sección y parámetros mecánicos de la fábrica, pero la experiencia ha mostrado que aún en casos problemáticos siempre es posible encontrar un intervalo de f para el que dicha función es efectivamente monótona decreciente.
Los diagramas momento-curvatura son esenciales para la caracterización del comportamiento de la sección desde niveles tempranos de carga, cargas de servicio hasta el agotamiento.
Los diagramas obtenidos parten de la hipótesis de que el axil y el cortante se aplican desde un principio (curvatura nula) y a partir de ese estado comienzan a crecer las excentricidades. Esto se hace así por conveniencia de cálculo, pero en realidad es más plausible que los cortantes crezcan proporcionalmente a las excentricidades. La consideración de que el cortante máximo y el axil actúan desde el principio queda del lado de la seguridad. En primer lugar se fijan el axil y el cortante N0 y V0, por el procedimiento anterior, se determinan entonces la curvatura última χ0 y el momento último que agota la sección conjuntamente con los esfuerzos prefijados M0. Por supuesto, se determina igualmente el valor efectivo de la resistencia a compresión que se tiene en agotamiento f0.
Obtención de las relaciones Momento-Curvatura para valores constantes del axil y el cortante
3-38 σ τ σ ε Nmax=A·f Escoger esfuerzos N0 V0
Encontrar extremos de la variable independiente
[fmin , f]
Encontrar extremos de la variable dependiente τfmin ⇒ V(τfmin) V0≤ V(τfmin) NO SI Esfuerzos incompatibles
Encontrar resistencia a compresión y plano de deformación en agotamiento que satisfaga los esfuerzos prefijados
N0y V0
f0χ0 x0
Calcular momento flector correspondiente al plano de deformaciones y resistencia encontrados M0 N0 V0 M0 FIN
Figura 3.26 Diagrama de flujo del algoritmo utilizado para la obtención de los diagramas de interacción M-N en presencia de un cortante V.
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El intervalo de curvaturas entre cero y la curvatura última se divide en un número grande de partes iguales.
Para cada valor de la curvatura se opera buscando un valor de la fibra neutra que satisfaga en cada caso que la resultante de tensiones normales iguala al axil prefijado N0. Una vez hallado el plano de deformación (curvatura impuesta y fibra neutra deducida para satisfacer el equilibrio de axiles) se evalúa numéricamente la integral 3.46 para obtener el momento.
Durante todo el proceso se utiliza la ley tensión-deformación que tiene como valor máximo el deducido en agotamiento f0. Ésta, como se ha dicho, es una elección conservadora, ya que la influencia del cortante en la máxima tensión normal admisible por el material será menor en todos los puntos del diagrama que en el último, que es de agotamiento.
La figura 3.27.a muestra un ejemplo de diagramas momento curvatura deducidos para diferentes niveles de axil y un cortante adimensional de 0.05 en una sección de bóveda de un puente de fábrica de ladrillo de resistencia 11.5 N/mm2. La figura 3.27.b muestra otra representación del mismo diagrama en su forma momento-rigidez secante en que se aprecia la influencia del axil en la rigidez de la sección así como la degradación progresiva de la rigidez conforme aumentan las curvaturas, y las excentricidades.
En ciertos casos, la asimetría geométrica de la sección o la naturaleza de los esfuerzos exteriores exigen tratar el problema de la flexión esviada. Los algoritmos utilizados son análogos a los presentados pero el plano de deformación se caracteriza, además de por la curvatura y la profundidad de la fibra neutra, por el ángulo que forma la dirección del eje neutro con los ejes principales de la sección, θ.
Numéricamente se hace preciso anidar los procesos iterativos, iterando en cada paso para hallar el ángulo θ.
Ampliación del algoritmo a casos de flexión esviada
BOVEDA Momento - Curvatura
Nk= 500.0 Nk= 1000.0 Nk= 1500.0 Nk= 2000.0 Nk= 2500.0 1/r [km-1] 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Mk [ kN ·m ] 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0
BOVEDA Momento - Rigidez secante
Ec·Ib [kN·m²]= 1.907E6 Nk= 500.0 Nk= 1000.0 Nk= 1500.0 Nk= 2000.0 Nk= 2500.0 Mk [kN·m] 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 EI / Ec· Ib 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 a b
Figura 3.27 Diagramas momento-curvatura y momento-rigidez secante para una sección de 1.0x1.0 m². Los axiles adimensionales varían entre 0.05 y 0.20 y el cortante adimensional es de 0.05.
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El planteamiento teórico no se modifica sustancialmente, pero tampoco existen datos experimentales que hayan tratado el fenómeno, al menos hasta donde conoce el autor. Los detalles algorítmicos sí se complican considerablemente. La resolución del problema se trata en el punto 3.6.2 que describe la implementación informática del análisis.
Los ejemplos prácticos en que se presenta la flexión esviada son ciertos casos de carga en soportes, como en pilas de iglesias o catedrales con empujes en el plano de la sección transversal y de la sección longitudinal (aunque éstos últimos suelen estar compensados, excepto en el vano adyacente al crucero) o pilas de viaductos. Normalmente, en muros o pilas, la flexión es predominante sólo en un eje.
Influencia de la esbeltez
En la obtención de los diagramas de interacción puede incorporarse el efecto de la esbeltez de la pieza. Para ello pueden emplearse los métodos descritos en 2.3.3.
Una posibilidad es construir el diagrama de interacción como se ha descrito más arriba para luego aplicar a los momentos solicitantes de primer orden el coeficiente de amplificación dependiente del nivel de axil y la esbeltez del elemento.
Otra posibilidad, con mayor sentido físico, es construir los diagramas momento-curvatura (directriz mecánica de la sección) para, a continuación representar la directriz geométrica y deducir el punto de fallo (ver ejemplo de aplicación en 6.1).
Al utilizar tanto los diagramas de interacción o momento curvatura que consideran la influencia del cortante se tienen en cuenta simultáneamente todos los fenómenos.