LITERATURE REVIEW
2.2 History and Development of Dynamic Analysis of Cracked Structure The development of techniques for crack identification in real-world environments
En general las ecuaciones diferenciales parciales tienen muchas soluciones, por lo que es necesario complementarlas con condiciones de frontera y/o iniciales. A las condiciones de ‘frontera’ también se les llama de ‘borde’. Los problemas de condiciones de frontera, o borde, se considerarán formulados en un dominio Ω y las condiciones de frontera se imponen en su frontera exterior ∂Ω (Fig. ). Cuando en la ecuación diferencial interviene el tiempo, como en la ecuación de onda o la del calor, además se incluyen condiciones iniciales. Una observación interesante es que si consideramos el espacio Euclideano n 1
R + (espacio-tiempo), tomando
1 n
x + ≡t, entonces a las condiciones iniciales se les puede interpretar como condiciones en la frontera del dominio en que está formulado el problema.
Un problema de condiciones de frontera y/o iniciales se dice que es ‘bien planteado’ cuando tiene una y solamente una solución, y además ella depende de manera continua de las condiciones de frontera e iniciales, cuando las hay. Una de las obras más completas en la que se establecen problemas bien planteados para los diferentes tipos de ecuaciones, no solamente de orden dos sino de orden más alto, es la clásica de Lions y Magenes [41].
Para el caso elíptico de segundo orden, cuya forma canónica es la Ecuación de Laplace, el problema se plantea en un dominio Ω de n
R , con frontera ∂Ω. Entonces, algunos de los problemas bien planteados corresponden a problemas con condiciones de frontera (o contorno) de alguno de los siguientes tipos
A. Dirichlet: se prescribe la función en ∂Ω;
B. Neuman: se prescribe la derivada normal en ∂Ω; y C. Robin: se prescribe la combinación lineal
2 2 , 1 u u en , donde n α ∂ +β ∂Ω α +β = ∂ A(3.6)
Note que las condiciones de frontera de los casos A) y B), son casos particulares de C).
Los problemas bien planteados para la Ecuación del Calor y la Ecuación de Onda ilustran lo que es típico para las ecuaciones parabólicas e hiperbolicas, respectivamente. En ambos casos el problema se plantea en el dominio Ω ×
[
0,∞ ,)
o en Ω ×[
0,T]
, donde T >0 y las condiciones de frontera son de alguno de los tipos A), B) o C) y se deben satisfacer en ∂Ω ×[
0,∞ , o en)
∂Ω ×[
0,T]
. En el caso de la Ecuación del Calor, además se prescribe el valor u x(
, 0)
para toda x∈ Ω . Por lo que respecta a la Ecuación de Onda, además se prescriben los valores iniciales de la función y de su derivada parcial con respecto al tiempo: u x(
, 0)
y(
, 0)
u t xREFERENCIAS CAPÍTULO 1
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