Chapter 4: South African Mineral Law and Policy
3. The SLP System and the implementation of the MPRDA
3.2.2 Human Resources Development
La viscosidad magnética tiene su origen en los saltos que el sistema realiza sobre barreras de energía con la finalidad de alcanzar estados de energías menores. La forma más senci- lla del problema se presenta cuando hay sólo dos mínimos disponibles (e.g. una partícula de Stoner-Wolhfarth). Se puede ver que en este caso simple la relajación es exponencial [Bertotti 98]; evidentemente esta forma funcional no está de acuerdo con la expresión de la ecuación (3.1). La discrepancia aparece porque un sistema macroscópico presenta mu- chos grados de libertad que contribuyen simultáneamente. Estas contribuciones pueden venir de partículas diferentes en un ensamble o de diferentes regiones de la estructura de
dominios en sistemas con paredes. Una aproximación conveniente consiste en describir estas situaciones mediante un conjunto de unidades biestables independientes. En otras palabras, se considera que el comportamiento metaestable del sistema, asociado a una energía libre complicada y con gran número de mínimos, puede describirse como la su- perposición de los comportamientos de muchos sistemas biestables. Esta es sólo una hi- pótesis de trabajo sin una justificación rigurosa.
Entonces, si se considera una colección de unidades biestables denotando por (+) y por (−) respectivamente los dos mínimos de energía de una dada unidad, (tal como se es- quematiza en la figura 3.2 (a)) la relajación de cada unidad está descripta únicamente por la probabilidad de salto del nivel de mayor al de menor energía despreciando la probabili- dad de saltos en la dirección inversa. Bajo esta aproximación, el tiempo de relajación re- sulta en una ley exponencial con un tiempo de relajación τ dado por [Bertotti 98]:
( )
B 0 ; E k T E e E G τ =τ − = Δ + (3.2)donde E representa la barrera que separa los dos mínimos de energía y la constante de tiempo τ0 es un parámetro difícil de estimar, que puede depender de la temperatura; sin embargo, esa dependencia es despreciable frente a la dependencia exponencial en E/kBT. Valores para τ0 dentro del rango de 10−12 hasta 10−8 s son razonables dependiendo del sis- tema en particular de que se trate.
Luego, la colección de unidades biestables se somete al siguiente experimento ideal. Primero se aplica un campo positivo grande que lleva al ensamble a su estado de satura- ción con magnetización Jsat, donde todas la unidades ocupan el estado (+). En algún tiempo que se toma como t = 0 se reduce instantáneamente el campo a −H0 (ver Fig. 3.1). Las unidades pueden dividirse en 3 grupos dependiendo del modo en que ellas reaccionan al decremento del campo. Uno de los grupos contiene las unidades para las cuales el es- tado (+) continúa siendo el estado de mínima energía aun después del cambio del campo; estas unidades no participan del proceso de relajación y pueden ser ignoradas. El segundo grupo consiste de aquellas unidades cuyo mínimo en el estado (+) es suprimido; esas uni- dades son las responsables del cambio de magnetización desde Jsat a J(0), que es la mag- netización inicial del experimento de relajación. El tercer grupo consiste de unidades para las cuales el estado (+) se vuelve metaestable después del cambio en el campo. Esas son las unidades responsables de la relajación.
Figura 3.2 (a) Energía libre de una unidad biestable con sus parámetros característicos. (b) Gráfica de la función exp(−t/τ(E)) donde se aprecia la similitud con una función escalón Θ[E − E*(t)] con E*(t) = kBTln(1 −t/τ0).
Si N es el número de unidades metaestables por unidad de volumen, la magnetización relajará a tiempos t > 0 de acuerdo a la siguiente expresión:
( )
( ) ( )
( )
( )( )
0 0 1 , t E J t J J t ∞ j E e−τ n E dE Δ ≡ − = Δ −
(3.3)donde τ(E) esta dado por la ecuación (3.2). Δj(E) es el cambio absoluto del momento magnético de la unidad cuya barrera de activación es E y n(E)dE es el número de unida- des con barreras entre E y E + dE, de modo que n(E) está normalizado:
( )
0 n E dE N.
∞
=
(3.4)La ecuación 3.3 involucra el producto Δj(E)n(E) de manera que puede expresarse en tér- minos de una distribución de barreras efectiva:
( )
j E n E( ) ( )
(
0( )
1 ,)
p E p E dE N j ∞ Δ = = Δ
(3.5)donde Δj es el cambio medio de momento magnético por unidad biestable;
( ) ( )
0 1 . j j E n E dE N ∞ Δ =
Δ (3.6)Entonces podemos reescribir la ecuación (3.3) de la siguiente manera:
( )
( )( )
0 1 . t E J t N j ∞e−τ p E dE Δ = Δ −
(3.7)El argumento de la exponencial en la ecuación (3.7) es a su vez una exponencial de la energía. Esta exponencial en función de la energía muestra una transición en torno a una energía E* tal que τ (E*) = t, semejando una función escalón (ver figura 3.2 (b)). Defi- niendo más precisamente a E* como la solución de la ecuación1τ(E*) = t +τ0, resulta:
( )
B(
0)
* ln 1 .
E t =k T +t τ (3.8)
Como dijimos, la exponencial en la ecuación (3.7) se aproxima a una función escalón i.e. es cercana a 1 cuando E > E* y cae a cero cuando E < E*. Por lo tanto, si p(E) no varía mucho en un intervalo de orden de kBT, que es el ancho de la región de transición, entonces podemos tomar como una muy buena aproximación en lugar de la exponencial la función escalón Θ[E−E*(t)], (figura 3.2 (b)) de donde
( )
*( )( )
0 . E t J t N j p E dE Δ = Δ
(3.9) 1 El pequeño factorτEsta ecuación expresa la magnetización relajada en términos de la proporción de barreras de activación superadas al tiempo t. El proceso es desarrollado por el frente de relajación E*(t) de modo logarítmico. Si definimos el valor medio de la distribución de energías en el intervalo (0, E*) como:
( )
*( )
0 1 * , * E p E p E dE E =
(3.10)entonces de las ecuaciones (3.8) y (3.10) se puede reescribir la ecuación (3.9) como:
( )
( )
* B ln 1(
0)
J t N j p E k T t τ
Δ = Δ − (3.11)
donde usamos la ecuación (3.10) para expresar E*(t).
La ecuación (3.11) tiene la misma estructura que la ecuación (3.1) e indica que se ob- tiene una relajación logarítmica, siempre que p(E) sea una distribución plana en el inter- valo (0, E). Así, p(E*) resulta independiente de E*, i.e. del tiempo. Es importante remarcar que no hay una relación directa entre τ0 y t0. La ecuación (3.11) describe un ex- perimento ideal, imposible de realizar en la práctica, donde el sistema se lleva al campo de medición de forma instantánea. En una primera aproximación, puede suponerse que J(0) corresponde a la predicción de la ecuación (3.11) para t = t0, donde t0 es algún tiempo característico que depende de la forma en que es llevado a cabo el experimento, siendo siempre t0≫τ0. Esto implica que durante un experimento real no se observa J(t) − J(0), sino J(t + t0) −J(t0).