Nos ocupamos ahora de calcular los grupos de homolog´ıa de un producto de espacios topol´ogicos. La prueba se divide en dos partes. Por un lado, pro- baremos que los grupos de homolog´ıa de un productoX×Y coinciden con los grupos de homolog´ıa del complejoC(X)⊗AC(Y), para una cierta definici´on de
producto tensorial de complejos que veremos a continuaci´on, y por otra parte demostraremos un resultado que nos determinar´a la homolog´ıa de un producto tensorial de complejos a partir de la homolog´ıa de cada factor. Por razones t´ecnicas hemos de empezar por esta segunda parte. Ante todo definimos el producto tensorial de dos complejos.
Observemos que si CyC0 son dosA-m´odulos graduados, entonces
C⊗AC0=L
i,j
6.2. La homolog´ıa de un producto 155 Para dotar a este producto de estructura de m´odulo graduado convendremos que la dimensi´on de un producto tensorial de cadenasc⊗c0 es la suma de las dimensiones de los factores. Equivalentemente, definimos
(C⊗AC0)p= L i+j=p Ci⊗ACj0. De este modo, C⊗AC0= L p∈Z (C⊗AC0)p
es un complejo graduado. En lo sucesivo supondremos siempre esta graduaci´on en los productos tensoriales de m´odulos graduados.
Teorema 6.3 SiC,C0 son complejos deA-m´odulos, entoncesC⊗AC0 adquiere
estructura de complejo con el operador frontera dado por
∂p(c⊗c0) =∂ic⊗c0+ (−1)ic⊗∂jc0, c∈Ci, c0∈Cj.
Demostraci´on: En primer lugar, es f´acil ver que∂p es un homomorfismo bien definido sobre cada productoCi⊗ACj coni+j=p, luego se extiende de forma ´unica a un homomorfismo en cada m´odulo (C⊗C0)
py, por consiguiente a un homomorfismo graduado en C⊗C0. Claramente tiene grado −1. Falta probar que∂2= 0. Ahora bien,
∂p(∂p+1(c⊗c0)) =∂p(∂ic⊗c0+ (−1)ic⊗∂jc0)
= (−1)i−1∂ic⊗∂jc0+ (−1)i∂ic⊗∂jc0= 0.
En lo sucesivo consideraremos a los productos tensoriales de complejos con la estructura de complejo dada por el teorema anterior. La prueba muestra la necesidad del signo (−1)i en la definici´on de la frontera del producto.
Es f´acil ver que dos homomorfismos de complejosf :C−→C1,g:C0−→C01
inducen un homomorfismo de complejosf⊗g:C⊗AC0−→C1⊗AC01 de forma
natural, de modo que el producto tensorial de complejos es funtorial. Tambi´en hemos de observar que siC0 es el complejo dado por
Cp0 =
Ω
M sip= 0, 0 sip6= 0,
donde M es un cierto A-m´odulo y el operador frontera es trivial, entonces se cumple que C⊗AC0 = C⊗AM, donde el producto de la derecha es el que
consider´abamos en el cap´ıtulo anterior. De este modo, los resultados sobre productos tensoriales de complejos generalizan a los resultados sobre producto de un complejo por un m´odulo.
Similarmente podemos definir un funtor de torsi´on TorA(C,C0) sobre la ca- tegor´ıa de pares de complejos deA-m´odulos que satisface propiedades an´alogas a las que acabamos de comentar para el producto tensorial. Concretamente,
TorA(C,C0)p= L i+j=p
TorA(Ci, Cj),
∂|TorA(Ci,Cj)= Tor(∂i,1) + (−1)
iTor(1, ∂j).
Vamos a generalizar el teorema 5.37 a productos tensoriales de complejos. En primer lugar observamos que podemos definir un homomorfismo
µ:H(C)⊗H(C0)−→H(C⊗C0) medianteµ°[c]⊗[c0]¢= [c⊗c0].
En efecto, la aplicaci´on°[c],[c0]¢7→[c⊗c0] est´a bien definida porque sices un ciclo y c0 =∂c00 es una frontera, entoncesc⊗c0 =c⊗∂c00 =∂(c⊗c00), y similarmente al rev´es. Es claro que es bilineal, luego induce el homomorfismoµ
indicado.
Teorema 6.4 (Teorema de K¨unneth) SeanCyC0 dos complejos deA-m´o-
dulos y supongamos queC0 es libre. Entonces existe una sucesi´on exacta funto-
rial 0−→°H(C)⊗AH(C0)¢p µ −→Hp(C⊗AC0)−→TorA ° H(C), H(C0)¢p−1−→0.
SiC tambi´en es libre, entonces la sucesi´on se escinde.
Demostraci´on: Basta seguir punto por punto el argumento de 5.37. Consi- deramos el complejoZ0formado por los m´odulos de ciclosZp(C0) con el operador frontera trivial y sea F0 el complejo cuyo m´odulo de dimensi´onp esF
p−1(C0),
tambi´en con el operador frontera trivial. TantoZ0 comoF0son complejos libres y tenemos la sucesi´on exacta
0−→Z0 −→i C0−→∂ F0−→0. (6.7) Como F0 es libre, el teorema 5.26 nos da que la sucesi´on se escinde (m´as concretamente, que se escinde la sucesi´on de restricciones a cada dimensi´on). Usando repetidas veces el teorema 5.25 junto con el hecho obvio de que la suma directa de sucesiones exactas es una sucesi´on exacta, obtenemos la sucesi´on exacta
0−→C⊗AZ0−→1⊗i C⊗AC0−→1⊗∂ C⊗AF0−→0. (6.8)
Consideramos ahora su sucesi´on exacta de homolog´ıa −→Hp(C⊗AZ0)−→Hp(C⊗AC0)−→Hp(C⊗AF0)
δ∗p
−→Hp−1(C⊗AZ0)−→
Observemos que C⊗AZ0= L
j∈Z
Dj, dondeDj es el complejo dado por
6.2. La homolog´ıa de un producto 157 con el operador frontera dado por∂p(c⊗z) =∂p−jc⊗z. Por consiguiente
Hp(C⊗AZ0)∼= L j∈Z Hp(Dj)∼= L j∈Z Hp−j(C)⊗AZp(C0) = L i+j=p Hi(C)⊗AZj(C0), donde hemos usado el teorema 5.37, que nos da el isomorfismo
Hp(Dj)∼=Hp−j(C)⊗AZp(C0), (6.9) puesto queZp(C0) es libre y, por consiguiente, el producto de torsi´on que aparece en el teorema es nulo.
Similarmente,C⊗AF0= L
j∈ZE
j, dondeEj es el complejo dado por
Epj=Cp−j⊗AFp−1(C0), con lo que Hp(C⊗AF0)∼=L j∈ZHp(E j)∼=L j∈ZHp−j(C)⊗AFp−1(C 0) =L i+j=p−1 Hi(C)⊗AFj(C0), A trav´es de estos isomorfismos, la sucesi´on exacta que hemos obtenido se convierte en −→ L i+j=p Hi(C)⊗AZj(C0)−→Hp(C⊗AC0)−→ L i+j=p−1 Hi(C)⊗AFj(C0) δ∗p −→ L i+j=p−1 Hi(C)⊗AZj(C0),−→
Vamos a calcularδ∗p. Partimos de [z]⊗∂j+1c0∈Hi(C)⊗AFj(C0). A trav´es de (6.9) se corresponde con [z⊗∂j+1c0] ∈ Hp−1(Dj) (donde p−1 = i+j).
Ahora aplicamos el homomorfismo de conexi´on de la sucesi´on (6.8), para lo cual tomamos una antiimagen dez⊗∂c0 por 1⊗∂, por ejemploz⊗c0. Calculamos su frontera enC⊗AC0, que es (−1)iz⊗∂c0y tomamos su clase (−1)i[z⊗∂c0] en
Hp−1(C⊗AZ0). Esta clase se corresponde con (−1)i[z]⊗∂c0 ∈Hi(C)⊗AZj(C0). En definitiva,δ∗p= L
i+j=p−1
(−1)i⊗γ
j, dondeγj :Fj(C0)−→Zj(C0) es la inclusi´on. De este modo, tenemos la sucesi´on exacta
0−→L i+j=p Hi(C)⊗AZj(C0)±Im°(−1)i⊗γj¢−→Hp(C⊗AC0) −→ L i+j=p−1 N°(−1)i⊗γj ¢ −→0 (6.10)
Ahora aplicamos el teorema 5.34 a la sucesi´on exacta
0−→Fj(C0)
(−1)iγj
−→ Zj(C0)−→Hj(C0)−→0, lo que nos da la sucesi´on exacta
0−→TorA(Hi(C), Hj(C0))−→Hi(C)⊗AFj(C0)
(−1)i⊗γ j
Hi(C)⊗AZj(C0)−→Hi(C)⊗AHj(C)−→0. De aqu´ı se sigue que
Hi(C)⊗AZj(C0) ± Im°(−1)i⊗γj ¢∼ =Hi(C)⊗AHj(C), N°(−1)i⊗γ j ¢∼ = TorA(Hi(C), Hj(C0)).
A trav´es de estos isomorfismos, la sucesi´on (6.10) se convierte en la del enun- ciado. S´olo falta comprobar que el homomorfismoµes el descrito en el p´arrafo previo al teorema. En efecto, un [z]⊗[z0]∈Hi(C)⊗AHj(C0) se corresponde con
£
[z]⊗z0§∈Hi(C)⊗AZj(C0)±Im°(−1)i⊗γ
j¢, que a su vez se corresponde con
£
[z⊗z0]§∈H
p(C⊗AZ0)/Imδ∗p y su imagen enHp(C⊗AC0) es [z⊗z0]. Es f´acil ver que la sucesi´on es funtorial.
Supongamos ahora queCes libre y veamos que la sucesi´on se escinde. Como
F(C) yF(C0) son libres, el teorema 5.26 nos da que la sucesi´on (6.7) se escinde, al igual que su an´aloga sin primas. Por el teorema 5.24 existen homomorfismos
p:C−→Z(C) yp0 :C0 −→Z(C0) tales quep(c) =cparac∈Z(C) yp(c0) =c0 parac0∈Z(C0). Entonces la composici´on
Z(C⊗AC0)−→C⊗AC0−→p⊗pZ(C)⊗AZ(C0)−→H(C)⊗AH(C0)
transformaF(C⊗AC0) en 0, luego induce un homomorfismo
f :H(C⊗AC0)−→H(C)⊗AH(C0)
tal queµ◦f = 1, luego la sucesi´on se escinde.
Ahora pasamos a la segunda parte del argumento, que nos relaciona los productos de espacios topol´ogicos con los productos tensoriales de complejos: Teorema 6.5 (Teorema de Eilenberg-Zilber) Los funtores de cadenas sin- gularesC(X×Y)yC(X)⊗AC(Y) son naturalmente homot´opicos
Esto quiere decir que existen cuatro transformaciones naturales
φ(X, Y) :C(X×Y)−→C(X)⊗AC(Y),
ψ(X, Y) :C(X)⊗AC(Y)−→C(X⊗Y),
∆1(X, Y) :C(X×Y)−→C(X×Y),
∆2(X, Y) :C(X)⊗AC(Y)−→C(X)⊗AC(Y),
de modo que φ y ψ son homomorfismos de complejos, ∆1 es una homotop´ıa
entreφ◦ψy la identidad y ∆2es una homotop´ıa entreψ◦φy la identidad. En
particular, φ y ψ inducen isomorfismos mutuamente inversos entre los grupos de homolog´ıa singularHp(X×Y)∼=Hp(C(X)⊗AC(Y)).
Demostraci´on: Vamos a aplicar el teorema de los modelos ac´ıclicos. Para ello probaremos que ambos funtores son libres con modelosM={(∆i,∆j)}i,j≥0,
6.2. La homolog´ıa de un producto 159 donde, recordemos, ∆p es elp-s´ımplice can´onico. Concretamente, una base de
Cp(C×Y) es la aplicaci´on diagonald : ∆p −→ ∆p×∆p. Para comprobarlo basta ver que, cuando (f, g) recorre hom°(∆p,∆p),(X, Y)¢, entoncesCp(f, g)(d) recorre losp-s´ımplices singulares enX×Y. Ciertamente,Cp(f, g)(d) =d◦(f×g) es un p-s´ımplice singular. Rec´ıprocamente, si σ : ∆p −→ X ×Y es un p- s´ımplice singular arbitrario, basta componerlo con las proyecciones para formar
f =σ◦πX,g=σ◦πY y es claro queσ=Cp(f, g)(d).
Por consiguiente, C(X ×Y) es libre con modelos {(∆p,∆p)}p≥0, luego
tambi´en con modelosM.
Hemos visto que la identidadσi: ∆i−→∆ies una base del funtorCi. M´as concretamente, sif : ∆i−→X es uni-s´ımplice, entoncesCi(f)(σi) =f.
As´ı pues, para todo espacio X, una base de Ci(X) est´a formada por los i- s´ımplices singularesCi(f)(σi), dondef ∈hom(∆i, X). Similarmente, una base deCj(Y) la forman losj-s´ımplices singularesCj(f)(σj), cong∈hom(∆j, Y).
Por el teorema 5.19, tenemos que una base de Ci(X)⊗ACj(Y) la forman los productos tensorialesf ⊗g=Ci(f)(σi)⊗Cj(g)(σj) y una base del m´odulo (C(X)⊗AC(Y))p la forman los productos
(C(f)⊗C(g))p(σi⊗σj), i+j =p, donde (f, g) ∈ hom°(∆i,∆j),(X, Y)
¢
. Por consiguiente, una base del funtor
C(X)⊗AC(Y) lo forman los productosσi⊗σj∈C(∆i)⊗AC(∆j).
Por otra parte,C(∆i×∆j) es obviamente libre y es ac´ıclico en dimensiones positivas, porque ∆i×∆j es contractible. Por el teorema 5.19 tenemos tambi´en queC(∆i)⊗AC(∆j) es libre y por el teorema de K¨unneth tenemos que
H°C(∆i)⊗AC(∆j)
¢∼
=H(∆i)⊗AH(∆j),
claramente ac´ıclico en dimensiones positivas. Tambi´en por el teorema de K¨un- neth, tenemos el isomorfismo naturalH0
°
C(X)⊗AC(Y)¢=∼H0(X)⊗AH0(Y).
As´ı mismo tenemos el isomorfismo natural
H0(X)⊗AH0(Y)−→H0(X×Y)
dado por [p]⊗[q]7→[(p, q)]. Al componerlos obtenemos un isomorfismo natural
α:H0
°
C(X)⊗AC(Y)¢−→H0(X×Y).
El teorema de los modelos ac´ıclicos nos da entonces que existen los homo- morfismos naturales de complejos φ, ψ que buscamos. La composici´on φ◦ψ
induce en H0 el isomorfismo natural α◦α−1 = 1, es decir, el mismo que la
identidad, luego, de nuevo por el teorema de los modelos ac´ıclicos, concluimos queφ◦ψes naturalmente homot´opico a la identidad, y lo mismo sucede con la composici´on en sentido contrario.
Combinando los dos teoremas anteriores tenemos lo siguiente: Teorema 6.6 SiX eY son dos espacios topol´ogicos, entonces
Hp(X×Y)∼= L i+j=p Hi(X)⊗AHj(Y) ⊕ L i+j=p−1 TorA°Hi(X), Hj(Y) ¢ .