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En tercer lugar, ciertos hechos que generalmente se re­ legan a las historias de las matemáticas cobran ahora vital importancia. Tan significativos son para nuestro estudio que debemos detenemos ante ellos durante un tiempo. Es un lugar común para los matemáticos el hecho de que, salvo en los dos últimos siglos, durante los cuales el álgebra supe­ rior ha liberado en gran medida el pensamiento matemático de la dependencia de representaciones espaciales, la geome­ tría ha sido siempre la ciencia matemática por excelencia. Como observa Képler *, en ella se une en cada paso la cer­ teza posible de los razonamientos matemáticos con imágenes visibles extensas. Por ello muchos incapaces de realizar ope­ raciones de pensamiento abstracto dominan fácilmente el método geométrico. En la Antigüedad, como lo revelan las obras de la literatura y los tratados especializados que han llegado hasta nosotros, la aritmética se desarrolló en estrecha dependencia de la geometría. Cada vez que Platón busca en las matemáticas un ejemplo para alguna pequeña discusión —por ejemplo en el Menón—, como en el caso de la doctrina de la reminiscencia, la proposición empleada siempre puede presentarse geométricamente. La famosa doctrina pitagórica de que el mundo está hecho de números puede parecer muy ininteligible a los espíritus modernos si no se reconoce que lo

3 Joannis Keplerl Astronomi Opera Omnia, ed. Ch. Frisch, Frank- furt y Erlangen, 1858, y sig., Vol. 8, pág. 148.

que se quiere decir es que consiste en unidades geométricas, que es precisamente la especie de atomismo geométrico reto­ mada más tarde por Platón en su Timeo. Los pitagóricos que­ rían decir que los elementos últimos del cosmos eran porcio­ nes limitadas de espacio. En la medida en que los antiguos trataban la óptica y la mecánica como ramas de las matemáti­ cas, también era costumbre pensar por medio de imágenes espaciales en estas ciencias y representar geométricamente lo que se supiera de ellas.

Cuando en la Baja Edad media hubo un gran renacimien­ to de los estudios matemáticos, se dieron por buenos los mismos métodos y supuestos, y se expresaron entusiastas es­ peranzas sobre la posibilidad de una interpretación matemá­ tica más coinplctu de la naturaleza. Roger Hacon4 adoptó en seguida estos supuestos y compartió plenamente este en­ tusiasmo. Dos siglos después de Bacon el grande y múltiple Leonardo de Vinci se destaca como conductor de esta ten­ dencia. Expresa de manera categórica la importancia de las matemáticas en la investigación científica: “quien no sea matemático de acuerdo con mis principios no debe leerme" 6; “[Oh estudiantes, estudiad matemáticas y no construyáis sin fundamento!” Leonardo realizó cuantiosos experimentos en mecánica, hidráulica y óptica; en todas estas ramas del saber da por supuesto que las conclusiones válidas deben expresar­ se matemáticamente y representarse geométricamente. Du­ rante el siglo siguiente, caracterizado por la aparición del trascendental libro de Copémico, todos los pensadores de im­ portancia dieron por supuesto este método geométrico en la mecánica y las demás ciencias fisicomatemáticas. La Nova Scienza de Tartaglia, publicada en 1537, aplica este método a ciertos problemas de la caída de los cuerpos y del

4 W. W. R. Bal!, A Short Account of the Histortj af Mathematícs, 4th cd., London, 1912, pág. 175. Cf. también Robert Steele, Roger Bacon and the State of Science in the Thirteenth Century (En Singer, Studies

in the History and Method of Science, Vol. 2, London, 1921). 8 H. Hopstock, Leonardo as Anatomist (Singer, Vol. 2).

alcance máximo de los proyectiles, en tanto que Stevinus (1548-1620) usa un claro esquema de representación de fuerzas, movimientos y tiempos por medio de líneas geomé­ tricas.

En vista de los hechos capitales que hemos sintetizado, era natural que cuando en los siglos xv y xvi se hiciera un uso mayor de los símbolos algebraicos, los matemáticos sólo pudieran desligar lentamente su pensamiento de la conti­ nua dependencia de la representación geométrica. Estudie­ mos ahora con algún cuidado cómo tuvo lugar este desarro­ llo del álgebra. Los objetos de la investigación matemática en estos siglos se referían generalmente a la teoría de las ecua­ ciones y particularmente a los métodos de reducción y solu­ ción de ecuaciones cuadráticas y cúbicas. Pacioli, por ejemplo

(muerto en 1510), se interesaba principalmente en aplicar los crecientes conocimientos algebraicos a la investigación de las propiedades de las figuras geométricas. Consideraba problemas como el siguiente: F.I radio de un triángulo ins­ cripto mide cuatro centímetros. Los segmentos restdtantes de la división de un lado por el punto de contacto miden seis y ocho centímetros. Hallar los otros dos latios.0 Un estudian­ te actual resolverla el problema en seguida con la ayuda de una simple ecuación algebraica. Pacioli encuentra que es posible hacerlo sólo por medio de una complicada construc­ ción geométrica. Usa el álgebra sólo para encontrar las lon­ gitudes de las diferentes líneas necesarias. De igual modo en el siglo xvx siempre se buscaba la solución de las ecuacio­ nes cuadráticas y cúbicas por el método geométrico. W. W. R. Ball da un interesante ejemplo del incómodo procedi­ miento para alcanzar estos resultados en la solución que da Cardán a la ecuación cúbica xs -|- qx = r.7 Fácilmente podemos apreciar qué enorme progreso le estaba reservado al álgebra moderna cuando al fin consiguió liberarse de su

0 Ball, Short Account, págs. 211 y sig. 7 Ibia., págs. 224 y sig.

vinculación a la cspacialidad. Mientras tanto, sin embargo, se estaban revelando rápidamente las grandes posibilidades ofrecidas por los signos algebraicos, y los matemáticos se fa­ miliarizaban con procesos más complicados, aunque todavía dependientes de la ayuda de representaciones geométricas en sus trabajos. En la época de Cardán había problemas su­ ficientemente complicados para motivar frecuentes transfor­ maciones, especialmente en lo que se refiere a la reducción «le términos complejos a términos simples, sin ningún cam­ bio de valor. En el lenguaje de la representación geométri­ ca los prusudoivs lo concebían como una reducción de fi­ guras complejas a ligonis simples. Así, un simple triángulo o chullo resiill.mles se conslderalum upiivalentes de la com- biiiiuión ile lígulas unís complicadas «pie podían reemplazar. A menudo < :,h> implicaba un proceso bastante complicado. I'aia auxiliar los esliier/os de los pobres matemáticos se in­ ventaron ciertos artificios mecánicos. En 1597 Galileo pu­ blicó un compás geométrico consistente en un conjunto de­ tallado de reglas para reducir figuras irregulares a regulares, y una combinación de figuras a una figura única, con aplica­ ciones a problemas particulares como la extracción de raíces cuadradas, obtención de medios proporcionales, y similares. Esta reducción geométrica, tan característica de las mate­ máticas del siglo xvi, es fundamental para nuestra compren­ sión de Copérnico. Es un factor esencial en su doctrina de

la relatividad del movimiento.

Finalmente, tanto en la Antigüedad como en la Edad me­ dia y hasta la época de Galileo, la astronomía se considera­ ba como una rama de las matemáticas, es decir, de la geo­ metría. Era la geometría de los cielos. Nuestra concepción corriente de las matemáticas como ciencia ideal, y de la geometría en particular como ciencia que trata del espacio ideal y no del espacio real en que se encuentra el universo, no se formuló hasta Hobbes y no se tomó en serio hasta mediados del siglo xvm, aunque anduvieron cerca de ella

unos cuantos aristotélicos adversarios de Copémico. Para todos los pensadores antiguos y medievales que han ex­ presado de una manera más o menos clara sus ideas al res­ pecto, parece que el espacio de la geometría era el espacio del universo real. En el caso de los pitagóricos y platónicos, la identidad de ambos era una importante doctrina metafí­ sica; en las otras escuelas parece haberse adoptado el mismo supuesto, aunque no se desarrollaran sus implicaciones cos­ mológicas. Euclides da por aceptado que el espacio físico (x«pío»>) es el reino de la geometría 8; los matemáticos pos­ teriores usan esta terminología y no hay indicación precisa en ninguna obra que haya llegado a nosotros de que alguien pensara de otro modo. Cuando algunos, como Aristóteles, de­ finían el espacio de una manera muy diferente9, puede no­ tarse que la definición responde todavía plenamente a las necesidades de los geómetras. El gran problema de los astró­ nomos antiguos no giraba en tomo a esto punto fundamental de la identidad del campo de la geometría y el espacio geo­ métrico, sino sobre la cuestión de si un conjunto adecuado de figuras geométricas que “salvara los fenómenos astronó­ micos” podría usarse con propiedad en el caso de que impli­ cara el rechazo de una teoría especulativa de la estructura física de los cielos.10 Es posible que en el caso de algunos que daban respuesta afirmativa a esta cuestión una fuerte dosis de positivismo les hiciera sospechar de todo supuesto metafísico sobre la materia, de modo que para ellos la rela­

9 Euclides, Elementa, Libro I, Axiomas 8 y 10, también Prop. TV; Libro XI, Prop. IH, VII; y en especial el Libro XII, Prop. II. Sir Ro- bert Heath, en su edición en griego del primer libro, duda de la autenticidad de los pasajes segundo V tercero. Sin embargo, si son interpolaciones, datan de la Antigüedad, y que yo sepa no se ha susci­ tado ninguna cuestión sobre los otros usos de u palabra en Euclides. 9 El límite del cuerpo envolvente del lado incluido. Phys. IV, 4.

t4xo; es la palabra de Aristóteles.

10 Consideraciones muy interesantes sobre el tema se hallan en P. Duhem Essai sur la notion de théorie physique de Platón á Galilée, Pa­ rís, 1908.

ción nitro el mundo de la geometría y el de la astronomía no (tu sino metodológica. Ptolomeo, por ejemplo, en el pri­ mor capítulo del Almagesto, rechaza los intentos de inter­ pretación física de los fenómenos astronómicos —interpreta­ ción física en este caso significa interpretadón metafísica—; pero no se sabe si esto tenía como principal objeto apartar a quienes hubieran trabado su libre procedimiento geomé­ trico con especulaciones acerca de las esferas homocéntricas y similares, o si realmente implicaba la abstención de todo supuesto sobre la naturaleza última del campo astronómico. Ciertamente, pocos pensadores del mundo antiguo podían alcanzar tan alto grado de positivismo como el que esta ac­ titud implica, especialmente pon pie los cielos parecen ex- piesni' id campo de la geometría en su forma más pura. El Sol y la l.uua parecen círculos periodos, y las estrellas pun­ tos luminosos en (*l espacio puro. En verdad se suponía que eran cuerpos físicos de alguna clase y que por tanto poseían algo más que características geométricas; pero, como no ha­ bía modo de investigarlas, debió ser fácil callar toda cues­ tión que implicara diferenda entre el reino de la geometría y el espacio astronómico. Sabemos en realidad que muchos consideraban la astronomía más próxima al ideal geométrico de las matemáticas puras que la aritmética. En las listas tí­ picas de las ciencias matemáticas, preparadas por Alfarabi y Roger Bacon, se halla este orden: geometría, astronomía, aritmética, música. Naturalmente esto se debe en parte a la dignidad superior otorgada a los cuerpos celestes y al hecho de que la mayor aplicación de la aritmética se hallaba en el comercio. En parte; pero no del todo. La astronomía se aproximaba más a la geometría que la aritmética. No era otra cosa, en esencia, que la geometría de los cielos. Por tanto, los pensadores aceptaban con facilidad que lo que era verdadero en geometría debía ser plena y necesariamen­ te verdadero en astronomía.

Ahora bien, si la astronomía no es más que una rama de LAS MATEMÁTICAS ANTES DE COPERNICO 47

la geometría y si se prosigue uniformemente la transforma­ ción y reducción de ecuaciones algebraicas con el método geométrico aludido, indicando que se los sigue consideran­ do como problemas geométricos, no habrá que esperar mu­ cho para que aparezca un pensador que se pregunte por qué no será posible esta reducción en la astronomía. Si la astronomía es una rama de las matemáticas, debe participar de la relatividad de los valores matemáticos; los valores re­ presentados en nuestra carta celeste deben ser puramente relativos y no habrá diferencia en lo que toca a la verdad si se toma uno u otro punto de referencia para todo el sistema espacial.

En la Antigüedad el mismo Ptolomeo ya había adoptado esta posición. Contra los defensores de las diferentes cosmo­ logías celestes se había atrevido a proclamar que es legitimo interpretar los hechos de la astronomía según el esquema geométrico más sencillo que “salve los fenómenos”, sin pre­ ocuparnos por los trastornos metafísicos que pudiera aca­ rrear.11 Su concepción de ln estructura física de la Tierra, sin embargo, le impedía llevar seriamente este principio de rdutividud hasta sus últimas consecuencias, como lo reve­ lan ampliamente sus objeciones a la hipótesis de que la Tie­ rra se mueve.12 Copérnico fue el primer astrónomo que lo hizo, con plena conciencia de sus revolucionarias implica­ ciones.

Veamos brevemente qué significa este principio de relati­ vidad matemática en la astronomía. Lo que los astrónomos observan es un conjunto de relaciones regularmente cam­ biantes entre el punto de observación y los cuerpos celestes» A falta de un motivo poderoso en sentido contrario toman como punto de referencia científico el mismo punto desde donde hacen las observaciones, y al descubrir en los co-

En su MathenuUical Composition, Boolc 13, Ch. 2.

12 Por ejemplo, "si hubiese movimiento serta proporcional a la gran masa de la Tierra y dejaría en pos de sí a los animales y a los objetos lanzados en el aire”.

las matemáticas antes de copérnico 49 mienzos mismos de la astronomia que la Tierra debe ser un globo, se convirtió en la térra firma desde donde se levanta la cartografía de los movimientos celestes, y en el centro inmóvil al que se refiere todo lo demás. Operando sobre este supuesto y apoyados por todas las consideraciones mencio­ nadas anteriormente en este capitulo, los astrónomos tenian

que expresar geométricamente este sistema de relaciones cambiantes tal como lo había hecho Ptolomeo. Su sistema de deferentes, epiciclos, excéntricas, ecuantes y demás detalles constituyen una representación de los hechos casi tan sim­ ple como pueda imaginarse si se parte de este supuesto. El descubrimiento de Copérnico consistía en que se podían ob­ tener los mismos resultados por una reducción matemática de la complicada geometría planetaria de Ptolomeo. Tome­ mos un ejemplo sumamente sencillo en lo que atañe a los movimientos celestes, pero que nos servirá para ilustrar este punto. Desde E como punto de referencia observamos el movimiento de un cuerpo celeste D, de modo que cuando se opone a otro cuerpo S, por ejemplo en G, parece mucho mayor que cuando está del otro lado de su órbita, en F.

Podemos representar este movimiento por una combinación de dos circuios ABC, con E como centro, y ABD, que tiene su centro en la circunferencia del anterior. Supongamos que cada uno de estos círculos gira en el sentido indicado por las flechas, empleando igual tiempo de revolución. El punto D en el circulo ABD recorrerá entonces un camino DGCF que, si los radios y las velocidades están bien elegi­ dos, corresponderá bastante bien a los hechos observados. Pero es patente que debe haber algán punto en la direc­ ción del cuerpo S, que es el centro del camino circular re­ sultante DGCF, y que si se toma como punto de referencia se podrá representar los hechos con un solo circulo en vez de dos. Supongamos que los hechos no impiden situar este punto en el centro de S. Supongamos además que, estimu­ lados por esta simplificación de los movimientos representa­ dos, observamos que ciertas irregularidades del movimiento del planeta D, que sólo habíamos podido representar con otros nuevos circuios, se completan exactamente en el mis­ mo tiempo en que el cuerpo S completa una importante va­ riación anual en su movimiento aparente alrededor de E. Consideramos que S está en reposo, con nuestro punto de referencia E y él planeta D girando a su alrededor y de repente observamos que las irregularidades del planeta y la variación anual en el movimiento de S se cancelan entre sí. De este modo, en lugar de un sistema alrededor de E como punto de referencia, que ya se estaba complicando de­ masiado, tenemos un sistema sencillo de dos movimientos circulares alrededor de S. Así fue precisamente como Co- pémico ideó la nueva astronomía. Como resultado de su obra todos los epiciclos requeridos por el supuesto de que hay que mantener E como punto de referencia en vez de S quedaban eliminados. Matemáticamente no hay problema de cuál de ellos es el verdadero. En la medida en que la geometría es matemática ambos son verdaderos, pues ambos representan los hechos; pero uno es más sencillo y armonioso que el otro.

El acontecimiento particular que llevó a Copérnico a con­ siderar un nuevo punto de referencia en la astronomía fue su descubrimiento de que los antiguos no se habían puesto de acuerdo sobre el asunto. El sistema de Ptolomeo no había sido la única teoría propuesta.18

"Por tanto, después de considerar por mucho tiempo la incertidum- l>ri* do la matemática tradicional, comencé a cansarme de que no hu- lili'tii mui explicación más definida del movimiento de la máquina del nmiulii liumiiludii paro nosotros por d mejor y el más sistemático de |<* cuiittiiit-lnii'», cutre los filósofos que en otros aspectos habían estu­ diado mu lauta i-vniitnd lo* menores detalles de la esfera. Por tanto ni*» i iilii-i'ii.'- ii la l.uc.i de releer los libros de torios los filósofos

i|ii<‘ pinlli i...>■•■((1111. |Milu diM iilnir ti alguno iilguim vez hubia

iiplnoiln i(in* lim iiiiivliiili iitiii de Iii» enfrias celestes fueran diferentes

de lo ijitn mi i| o h i Ion i|u liu rs 1’iiM'AiiIiiiii luiilemátieiis cu las escuelas. Y

|ii Iiim-iii i iiiiiiiIii'* i|iie, ile tu iii'ido eoii Cicerón, N iccto Iwhiu pensado

11111* la T im a se m ueve. Más lardo descubrí que, de acuerdo con Piu­ lan o, olios linl>loii sostenido Iii misma o p in ió n ...

"Cor rooslgoii'iite, partiendo de esta circunstancia yo también co­ mencé a |M*nsar en la movilidad de la Tierra. Y aunque la opinión parecí» absurda, como sabía que otros antes que yo habían gozado de la lilicrtad de imaginar los círculos que quisieran para deducir de ellos tos fenómenos astronómicos, pensé que con igual facilidad me seriu permitido experimentar si, suponiendo que la Tierra tiene algún movimiento, no se podrían encontrar más firmes demostraciones de las revoluciones de las esferas celestes que las empleadas por los demás.

"Asi, suponiendo los movimientos que atribuyo a la Tierra más ade­