La expansión convencional de Fourier presentada hasta ahora no sirve para contornos complejos –como los de la mayoría de lagos-, porque muchos de sus puntos poseen dobles imágenes (Rohlf et al., 1984). Por ello, se recurre a variantes relativamente recientes del análisis de Fourier. Así, en las representaciones "intrínsecas" de Fourier -i.e., la medida de la curvatura en función de la longitud de arco, como por ejemplo, la funciónϕ (Lohmann, 1983), o el método “EFA”- no se utiliza un centro o centroide, y en consecuencia, ningún armónico depende de ellos. En efecto, mientras que la función radio r(θ) del análisis convencional de Fourier requiere la elección de un centro (e.g., el centro de masas de de la figura), y cualquier variación en su posición genera una nueva fuente de variación de forma, esto no ocurre, por ejemplo, con la funciónϕ, puesto que no requiere un centro.
El análisis elíptico de Fourier o “EFA” fue propuesto y desarrollado por Kuhl y Giardina en 1982. Se basa en las descomposiciones de las diferencias en las coordenadas x e y, tomadas como funciones paramétricas de la distancia t acumulada de la cuerda, entre los puntos a lo largo del contorno (véase Kuhl et al., 1982); las coordenadas de estos puntos son
x(t) = A0+
∑
= N n 1 an(cos n.t) +∑
= N n 1 bn(sen n.t) y(t) = C0+∑
= N n 1 cn(cos n.t) +∑
= N n 1 dn(sen n.t)donde A0y C0son las coordenadas del centro de masas del objeto; t toma valores entre
0 y 2π. El nombre del método proviene del primer término de la serie, que describe una elipse; los términos siguientes miden las desviaciones de dicha elipse. Por lo demás, an,
bn, cn y dnson los coeficientes elípticos de Fourier del enésimo armónico; para la
proyección del contorno en abcisas, dichos coeficientes se definen como
an= T / 2 n2π2
∑
= k p 1 ∆xp/∆tp (cos 2πntp/T - cos 2πntp-1/T ) bn= T / 2 n2π2∑
= k p 1 ∆xp/∆tp (sen 2πntp/T - sen 2πntp-1/T ),donde k es el número de pasos en el contorno (indexados por medio de p),∆xpes el
desplazamiento a lo largo del eje de abcisas del contorno entre los pasos p-1 y p,∆tpes
la longitud del segmento lineal entre dichos pasos, tpes la longitud acumulada de
dichos segmentos en el paso p, y T es la longitud total del contorno aproximada por un polígono. Los coeficientes para la proyección del contorno en ordenadas se obtienen de
forma análoga, utilizando incrementos de y.
En la presente memoria hemos utilizado el programa EFA de Rohlf et al. (1993), basado en el mencionado algoritmo de Kuhl y Giardina; independientemente, hemos verificado algunos de los resultados con un programa propio, basado en el mencionado algoritmo.
El EFA no tiene los inconvenientes de los métodos convencionales de Fourier (i.e., basados en una función con origen en el centroide del objeto, y por lo tanto no intrínsecas). Además, el EFA permite el cálculo de los coeficientes de las amplitudes de Fourier sin necesidad de aplicar la transformada rápida de Fourier (Ferson et al., 1985).
En cambio, no permite la interpretación de cada armónico, por lo cual no se puede describir, por ejemplo, el armónico 1 como “alargamiento”, como se hace en Fourier convencional.
Los coeficientes EFA sirven a la vez como descriptores para un análisis multivariante (e.g., clasificación por “clusters”; a nálisis en componentes principales), y como elementos de la transformada de Fourier inversa para reconstruir los contornos. En el EFA se utilizan los 4 coeficientes de los n armónicos, que definen 4n variables para el análisis multivariante. En Fourier convencional se usan sólo 2 coeficientes (a: parte real; b: parte imaginaria), y cuando se combinan en una sola variable de amplitud, dan lugar a n variables.
El EFA también admite hacer los coeficientes independientes del tamaño, requisito de todo análisis morfométrico en el que se pretendan comparar formas. Cualquiera que sea el algoritmo de Fourier utilizado, si no se estandariza respecto al tamaño, las clasificaciones quedan manifiestamente influidas por el tamaño de los lagos, i.e., se agrupan grandes con grandes, etc.
Se suele hacer la normalización de los 4 coeficientes EFA para cada armónico, respecto al primer armónico, con el fin de hacerlos invariantes a cambios de tamaño (y opcionalmente, de posición del origen, y a rotaciones, en objetos cuya homología se desee preservar (en biología)). Después de la transformación 3 coeficientes son constantes (a1=1; b1=0; c1=0), y se ignoran, mientras que el último coeficiente del
primer armónico (d1) representa la excentricidad de la elipse.
La estandarización de cada coeficiente respecto a su media y desviación típica aumenta la contribución relativa de los armónicos que explican demasiada varianza (en este caso los impares). En un análisis en componentes principales ello aumenta la dimensión efectiva del espacio, explicando así los 3 primeros ejes una menor proporción de la varianza total; ello se debe a que dan igual peso a todos los armónicos, y por tanto exageran las diferencias entre objetos en los armónicos superiores, que son los más sensibles a pequeñas irregularidades, a errores de medida, y ruido en general. El hecho de que cada objeto tenga distinto número de puntos en su contorno para hacer un análisis de Fourier no afecta a las comparaciones entre lagos.
Los coeficientes de Fourier sirven como una descripción abreviada de la forma de un contorno, el cual se expresa normalmente como un vector de coordenadas. Con el EFA se puede reducir la información de un contorno de unos mil pares de coordenadas, por ejemplo, a unos 24 cuadrupletes de coeficientes, i.e., se trata de una reducción del orden de 20 veces, o sea, el doble de la conseguida, por ejemplo, mediante una transformación logarítmica, que sólo reduce del orden de 10 veces. El EFA es una
descripción tan completa de la forma como la obtenida mediante las coordenadas cartesianas, sólo que más económica; en comparación, las descripciones de la forma mediante variables (distancias o ratios) son muy parciales y no se pueden justificar únicamente en base a su economía (por ejemplo, cuando sólo se usa un par de distancias como la longitud y el ancho).
El EFA es sensible a una gran complejidad en la forma de un contorno, a la vez que discrimina sutiles diferencias entre contornos con formas muy parecidas.