Curvas de nivel
La representación gráfica de funciones escalares resulta casi siempre bastante simple por tratarse de curvas planas. En cambio, representar las superficies asocia das a funciones de dos variables es, en la mayoría de los casos, excesivamente complicado. Por ello, es usual, para determinadas funciones, recurrir a curvas pla nas, llamadas de nivel.
Si, por ejemplo, una función F de dos variables está dada por la expresión z = F(x;y) y se considera F(X7 ) = c, esta ecuación corresponde a los puntos de la superficie que se obtienen seccionándola con el plano de ecuación z = c, paralelo al plano coordenado z = O, o sea, al determinado por los ejes x e y.
Para diferentes valores de c se obtienen distintas curvas planas que forman una familia de curvas de nivel.
D efinición
Dado un campo escalar de dos variables por la expresión z = F(x;y), curva de nivel c es el conjunto de puntos (x;y) del dominio para los cuales es F(x;y) = c.
O sea, la cun/a de nivel c es el conjunto {(x,7 )/F(x;y) = c}.
Ejemplo 1
En este caso, la representación geométrica en el espacio tridimensional es un paraboloide circular, con vértice en el origen y eje z. : i
Las curvas de nivel, que se obtienen dándole a F valores positivos, son circun ferencias concéntricas.
Para c = 1, la curva de nivel 1 es la drcunférencia .de ecuación x^+y? = 1. Análogamente,
para c = 4, la curva de nivel 4 es la circunferencia de ecuación x^+y^ = 4, para c = 7, la curva de nivel 7 es la circunferencia dé ecuación x^+y^ = 7, etcétera.
Las tres circunferencias elegidasjestán centradas en el origen. La primera tiene radio 1, la segunda 2 y !a tercera V 7.
Ejemplo 2
Sea F :(x ;y )4 x 2 -y 2 .
Dándole a F algunos valores positivos, obtenemos: z - c A c = 1 :4x2-y2 = 1 - y 2 = 1 c = 4 :4x2-y2 = 4 <=>.x 2 - = 1 c = 15 : 4x^-y^ = 15 c=> 15 15 4 = 1
SI damos a F-valores negativosi·: resulta: - p a ra c = - 1 4x^-y^ = - 1 <=> y ^---
c = - 9 . 4x^-y^ = - 9 <=> = 1
c = - 1 7 4x^-y^ = - 1 7 <=>
17 17
4
= 1
Para c = 0 es 4x^-y2 = o » 4x^ = yZ c=> |2x|=|y|.
Para valores positivos de c, las curvas de nive[ son hipérbolas con centro en el origen y con eje en el de abscisas. Para valores negativos de e resultan hipérbolas con eje en el de ordenadas. Para c = 0 corresponden-dos rectas; las de ecuaciones y = 2x e y = - 2x, es decir, las asíntotas de las hipérbolas halladas;
La superficie es un paraboloide hiperbólico.
S uperficie de nivel
Si F es una función de tres variables, cuyos valores se obtienen mediante la fórmula u = F(x,7 ;z). la función no tiene representación gráfica usual, pero pueden hallarse sus superficies de nivel.
D efinición
Dado un campo escalar de tres variables por la expresión u = F(x;y;z), super ficie de nivel c es el conjunto de puntos (x;y;z). para los cuales es F(x;y;z) = c.
O sea, la superficie de nivel c es el conjunto {(xy;z)/F(x;y:z) = c}.
Ejemplo
Sea F:(x;y;z)-a.x2+y2+z2.
Las superficies de nivel son superficies esféricas centradas en el origen.
EJERCICIOS
1) Hallaí· cun/as de nivel pára cada una de'las siguientes'funciones. En cada caso considérar.Jsegún el-réGorridó',. los: valoresiqué pueden asignarse a z, .;
a) F:(x;y) -> - - ^ b) F:(x;y) -^ x2+ 3y^+1 c) F:(xv) ^
5y+x x2+3
2) ídem para'í
: a) F :(x ;y )^ 4 x + y -5 - b) F :(x;y)-^4H xb|yl·^ c) F:(x;y)->x2+y^2 3) Hallar superficies de nivel para;
2 2
a) F:(x;y2 ) - ^ - ^ - ^ y 2+ - ^ b) F :{x T /-^ )^ x ^ + f-z ^
c) F;(x;y;z) x ^-y ^-z ^ d) F;(x;y;z) 10*^+5^+^
III. Límite funcional doble (simultáneo)
Sea F :D ^ R una función de dos variables (DCR^) y á = (Xq,7q) un punto de acumulación de su dominio.
El concepto de límite doble para un campo escalar de dos variables es análogo al de límite simple para una función escalar de una variable. Tampoco acá interesa si el punto (x^iyo) pertenece o no al dominio de la función considerada, pero sí exi gimos que sea punto de acumulación del mismo.
D efinición. .
El número real / es el límite de lafunción F en el punto á = (x^iy^) de acumula ción desu dominio, s iy sólo si.para-cualquiér número positivo-e, existe un número positivo:8;(emgenerai:dépendjente;dei€) tal.:quei-para todo punto (x;y), que perte- nece siriiultánéamente al dominio de F y al entorno reducido de centro á y radio 5, el valor F(x;y) pertenece al entorno de centro / yj-adio € prefijado.
Siendo x = (x,7 ) y a = (x^.y^), la definición dada puede esquematizarse así: lím^F(xy) = t <=5> V€>03S(e)>0Vx : (xeDp /\ 0 < |x -á |< 8 lF{x)-^^|<€).
o b i e n :
. V e > 0 3 5 > 0 V ( x ; y ) : ( ( x ; y ) e D p a 0 < V ( x - X o ) ^ + ( y - y o ) ^ < 5 = > | F ( x ; y ) - < f | < e ) .
Gráficamente, elegido un entorno cualquiera de centro i y radio e, es posible hallar un entomo reducido dé centro a.y radio S, tal que si (x;y)6DpnE'(á,6). enton ces F(x;y)€E(^,€).
En el espacio, la idea anterior significa que la porción de superficie correspon^ diente a ios valores de F para los puntos del entomo reducido hallado^ se encuen tra ubicada entre los planos de ecuaciones z = y z = ^+€.
Obsérvese que, igual que en una variable, el S encontrado no es único, pues cualquier otro número positivo menor que S también satisface la definición.
Debe entenderse que el único método que permite asegurar la-existencia de lí mite finito para una función, es demostrar que se cumple la definición. Ello no es sim- j|le , salvo para funciones determinadas por reglas sencillas. Daremos algunos ejem
plos de este tipo.
En general, usamos la notación lím F(x;y) = ^. Si en la expresión aparecen («oVo)
otras letras, a fin de evitar confusiones sobre cuáles son las variables, puede recu- rrirse a lím F(x;y) = e.
Ejemplo 1
Probar lím (x+y) = 5
(32)'
Para ello, debe verificarse:
V€>036>0V(x;y)eD p:(0<V(x-3)2+(y-2)2<S => lx+ y-5 |< € ). Observamos primero que lx + y -5 [ = |x -3 + y -2 |< lx -3 |+ ]y -2 | (1). Además, siendo x e y números reales, es:
lx -3 |< V (x -3 )2 + (y -2 )? (2) a |y-2 |< V (x-3 )2 + (y-2 )2 (3).
SI V (x-3)?+ (y-2)2< S , entonces |x-3 l+ !y-2 |< 2 S por (2) y (3). Eligiendo -0 < S :^^;· resulta:,:-
Ve>03S .= -|/0 < \/(X -3 )2 + (y -2 )2 < 6 => V (x-3 )2 + (y-2 )2 < -|-
=> 2V(x.-3)?+(y^2)2<eí=:¿A /(x-3)?+(y.-^2)^+A /(x-3)?+(y-2)2^-e. Por (2) y (3) es |x -3 [+ |y -2 |< e y por (1) |x+ y-5 |< € .
Queda así demostrado lím (x+y) = 5.
( 3 Í) '
Ejemplo 2
Consideramos un caso análogo al anterior, probando que lím (3x+4y) = 11.
Debe verificarse:
V € > 0 3 S > 0 :(0 < \/(x-1 )2+(y-2)2<8 => f3x+4y- 1 il< e ).
Sabemos que |x - 1|< V (x -1)2+ (y -2)2 (1) a ly -2 |^ \/{x -1 )2 + (y -2 )2 (2 ). Cálculos auxiliares: ^ 1 1 |3 x -3 + 4 y -8 | < € I3 (x -1 )+ 4 (y -2 )i: < 3 [x -1 l+ 4 |y -2 l < €
Estos cálculos indican que basta elegir 6 tal que 0 < 5 ¿ y para que se cumpla la definición,
En efecto, Ve>0 sea 0< 5s-^;
0 < \ (x-1 )2 + (y-2 )2 < 3 ^j^Jx-1 |< S A Íy-2|< S => 3|x-1|<3S a 4|y-2|<4S =» => 31x-11+4|y-2l<75 =5 3 lx -1 |+ 4 |y -2 |< 7 -|-3 |x -í|+ 4 |y -2 |< e
Por la propiedad triangular: |3 (x-1 )+ 4 (y-2 )| < 3 |x-1|+ 4¡y-2|: Luego, si 31x-1|+4[y-2|<€, entonces también |3(x-1 )+ 4 (y-2 )l< e . Es decir, |3xH-4y-11|<e si 0 < v'(x-1 )^+ (y-2 )2 < 6 .
Entiéndase que en los cálculos auxiliares colocamos signos de interrógación pues las implicaciones que utilizamos en la demostración son recíprocas de las que corresponden allí y, por lo tanto, no tienen necesariarnente el mismo valor de verdad!
Ejemplo 3
Siendo F:(x;y) - » x^+xy, probar que lím F(x;y> = 6.: (3t~ 1)
Intentamos previamente algunos cálculos auxiliares que nos permitan encon trar S para cada €. Estos cálculos son similares a los efectuados en los ejemplos an teriores y dan un procedimiento general, aplicable a funciones polinómicas.
Para ello, como el consecuente de la definición de límite para este caso es |x^+ xy-6|< €, tratamos de acotar jx^+ xy-ej utilizando |x -3 j y |y+1|.
Podemos anotar:
|x2+xy-6| = |(x-3 )2 + 6 x -9 + (x -3 )(y + 1 )+ 3 y + 3 -x -6 | = = |(x-3)2+ (x-3)(y+ 1)-f5x+ 3y-12| = = |(x-3)2+ (x-3)(y+ 1)+ 5(x-3)+ 3(y+ 1)|. Por consideracioneis anteriores sabemos que
|x -3 [:< V (x -3 )2 -r(y + 1 )2 < S A |y 4 -1 |< \/(x -3 )2 + (y + 1 )2 < 8
Exigimos, para simplificar, 0<8:s1. Luego, |x-3|:s1 a |y+1|^1. · Obtenemos:
Ix^-t-xy-ei - |(x -3 )(x -3 )-H (x -3 )(y + 1 )+ 5 (x -3 )+ 3 (y + i)|< : < lx - 3 l · 1+ÍX-31 - 1-i-5|x-3|+3ly+1l.
Por lo tanto, |x2-Hxy-6j<l08. -
Luego, basta elegir 8 tal
que
0 < 8 < - ^ a 8^1, o sea.::para-cada; e,-S es el menor entre los números positivos 1 y ^10
10\.'(x'-3)2^(y+1)2<105 => lx -3 ||x -3 !H x -3 |ly ^ -1 h 5 !x -3 h 3 !y + 1 |< e Ì(x-3 )2 + (x-3 )(y+ 1 )+ 5 (x-3 )+ 3 (y+ 1 )Ì< e ^ ¡x2+xy-6|<€.
Ejemplo 4
Probar que fím (x^+2y) = 5.
(1:2)
En este caso procedemos de una manera ligeramente distinta, partiendo direc tamente del antecedente de la definición de límite.
0 < V ( x - l ) 2 - ^ ( y - ^ 2 ) 2 < s ^ |X -1 |< S A | y - 2 | < 8 => => 1 - S < X < 1 + 5 A 2 - 8 < y < 2 + 5 Si O h ^ 1. de la expresión anterior: (1 -S )2 <x2<(H-8)2 a 2 (2 -8 )< 2 y < 2 (2 + 8 ) => => 1-2S+S2<x2<Hi28-tT5^A 4-28^2y<4+28^=>s, sumando => 5-48+82<x2+2y<5+48+82 =^‘ -48+82<x2-f-2y-5<4S+82; Si 0<8<1 es 8^^8 y siempre -5<S^.
; Luego,\ para:;0<8<1:-.5S<x?H^2y^5<:5S-=>; |x?-¡-2y-5¡<5S = e.' Por: lo ;tanto,::para"todo::.€>0 esr 0 < 8 ^" mínimo (1;-^).
5 Ejemplo 5 x^v^ Probaremos lím -— -— = o. (0:0) x2^.y2 x Y
Debemos demostrar: V€>038>0:(^0<V'x2+y2<8 => — ^ ---O <eY
• \ x2+y2 /
Si x e y son núnrieros reales, es x^sx^+y^ a y^sx^+y^.
xV
Luego, x^y^<(x^-i-y^)(x^+y^) y también — ^--- < x ^ + y 2 (1) si x^+y^^^O.
x^-i-y^ ■
Como x^+y2 = jxp, basta elegir 0< 6< V e .
En efecto, Ve>038 = V F ta l que (x;y)€Dp a 0<Vx2+y2<s => 2 2
=> V x ^ + y ^ < V e '^ x^+y^<e => — - - —r< x2+y2<€ por (1) => x2+y2 => |F(x;y)-0[<e. ♦ Ejémplo 6 xy 1 Démostraremos que lím— - — - =.—
<1:1) x2+y2
2
Efectuamos algunos cálculos auxiliares previos a la demostración, considerando el consecuente de la definición de límite para el ejemplo elegido.
xy x2+y2 í 2x y -x 2- y 2 2(x2:fy 2) |2x y -x 2_ y2| 1 <
€
? < e < € (2) l2( x - 1)(y -1) + [- ( x - 1) ^ ]+ [- (y - 1)2]| < € |2( x - 1) { y - 1)|+ |x -1|2+ |y - 1l2 < e 2|x - 1| * 1+ |x -1| - 1+ |y - 1|-1 < e (1)Pensando en obtener una cadena de implicaciones, que; partiendo de (1) lle^ gue a (2), exigimos las siguientes condiciones, que deben cumplirse simultánea mente:
0 < S < -| A 2(x2-í-y2)>1 A ix-1 |< 1 A ly-1 l< 1
(a) (b) (c) (d)
Consideremos primero las condiciones (c) y (d), que también significan ix -1 |^ - o sea, que los puntos (x;y) deben ser interiores a un círculo centrado en (1;1) y radio \ / 2!
Pór lo tanto, de las condiciones a, c y d, puede pensarse que S sea el mínimo entre y
Veamos qué sucede si se cumple también la condición b.
Obsérvese que la condición b: x2-fy2> -l exige que los puntos (x;y) del do- minio no sean interiores al círculo centrado en el origen de radio
V 2 que esto se verifique, basta elegir 0<S<—— .
v 2 . Para
Luego, la conjunción de las proposiciones a, b, c y d, nos pennite elegir 8 = mínimo { ~ i
Verifiquemos ahora que este 8, elegido para cada e>0, satisface la definición de límite: V€>03S = mín - ^ ^ / 0 < V ( x - 1 )^+ (y-1 f< B => V ( x - l) 2 + ( y - 1 ) 2 < 4 = * 4 V (x -l)2 + ( y -l) 2 < € 4 => 2 V ( x - 1 )2 + (y -1 )2 + V (x -1 )2+(y-1 )^+ V (x- 1 )2+ ( y -1 )2<€ => => 2 |x -1 |+ |x -1 |+ |y -1 l< e 2|x-1| · 1+ jx-1| · 1+|y-1| · 1<c =>
^ :^ 2 |x -^ l ||y - í|+ |x ^ l ||x+1 |+ |y - i ||y - lj< € ^ ''2txr- i ||y—l |+ { x - i )24-(y^t)?<€ ^ 2 |x-1 ||y-1 |+ |-{x^1 )2 |+ (-(y-1 )2 |< € =>H2(x.-í)(y-1)-{x-^^
porb |2(x2+y2)| -<€=:>-
2xy -x 2- y 2 2(x2+y2) <e xy
Propiedades del límite doble finito
Las propiedades demostradas para lírnite finito de funciones escalares (Cálcu lo 1 - cap. 4) subsisten, con demostraciones análogas, para límite finito de campos escalares. La única diferencia está en la interpretación de la expresión |x-á|. 1) Si lím F(x;y) = entonces existe un entorno del punto (a;b) donde la función F
(a:b)
está acotada. (Ver pág. 85.)
2) Si lím F(x;y) = ^. lím G(x;y) = y D- = D . entonces
(a:b) (a:b)
lím [F(xy)+G (x;y)] = £+£'. (a:b)
Propiedades similares pueden probarse para la restay el producto. Tcunbién para el cociente si el límite del divisor no es nulo.
3) lím |F(x;y)| = llím F(x;y)|.
(a;b) (a;b)
4) Si lím F(x;y) = ^ a ^> 0, entonces existe un entorno reducido del punto (a;b) don-
{a;b)
de los valores de la función son positivos para ios puntos de ese entorno. Sucede algo análogo si €<Q.
5) Si para todo (x;y): F(x;y)>0, entonces lím F(x;y)>0.
(a:b)
6) Toda función es igual a su límite más un infinitésimo en el punto. O sea, si lím F(x;y) = i, entonces F{x;y) = ¿+ M(x;y) con lím M(xy) - 0.
(a:b) (a:b)
Estas propiedades se extienden a funciones de n variables con n>2.
Igual que para funciones de una variable, el cálculo directo de límite doble se apoya en las propiedades anteriores. Para el caso en que el límite resulte indetermi nado: cociente de infinitésimos, cociente de infinitos, etc. (Cálculo 1 - cap. 4), pue de recurrirse a simplificaciones o artificios previos. El cálculo directo se apoya tam bién en la continuidad de la gran mayoría de las funciones que se utilizan.
Ejemplos 1) lím 5x^y-3y2 37 (2:i) 2x2+y3 9 ' x^+2y2-1 si (x;y) ( - 1;2) 7 si (xy) = (-1 :2 ) 2) Sea F:(xy) lím F(x;y) = 6 ( -1:2)
(ofl) X (Ofl) (3+y2) sen X
Generalización del concepto de límite
lím F(x;y) = oc « Ve>03S>0V(x;y);((x;y)€Dp a 0< V (x-X o)^+ (y-yo)^< 5 =" => |f(x7)I>«). Análogamente pueden definirse:
lím F(x;y) = +^c c=> Ve>03S>0V(x;Y):({x;y)€Dp a 0 < V (x -x /+ (y -y o )2 < S =5 F(x:y)>e).
lím F(x;y) = - 3: <=. Ve>036>OV(x:y):((x;y)6Dp a 0<v'(x-xo)2+(y-yo)2<6 =>
Í^O^VOJ I-/ V \ F(x;y)<-e). Ejemplo Probar que lím—— 1— - = +2C; ■ (0;0): x2+y2 V€>0 sea 0<8i< ^
0< v ''x 2+y?<S => 0< V x 2+y2< — rr--=> x^+y2< — => —— ^— >e.
V e ^ x^+y2
También pueden darse definiciones adecuadas para las siguientes expresiones: lím F{x:y) = lím F(x;y) = lím F(x;y) = -^ x, y lím F(x;y) = -
(x;x) (x:x) (>::x) (x;x)
El último caso, por ejemplo, significa:
lím F(x;y) = - x a=> V€>038>0V(x:y):((x;y)€Dp a Vx2+y2>8 F (x ;y )< -6).
Es decir, para cualquier número positivo prefijado e, es posible hallar un círculo centrado en el origen y radio 8. tal que todos los puntos (x;y) del dominio de F. ex teriores a dicho circulo, tienen su imagen, F (x;y)< -e.
EJERCICIOS
1) Probar la existencia de ios siguientes límites hallando 8(e) en cada caso: a) lím (7x-2y) = 11 b) lím (3 x2 -xy)= 4
( - 1:1)
c) lím (5x—2y2+x2) = 12 d) lím (x^-Sxy+S) = 15
(2;-i) (-2:1)
2) Hallar 8(é) para demostrar:
a) lím— - =-+oeo- b) lím ^ ^ — — = + * (0:0): V x 2+ y2 (1:2) x2H_y2^2X^4y^.5 3) Calcular, si es posible::
a) lím
c) lím ' . (0:0) 3 sen (xy) d) lím - (0 :1) xy-x^+ 3 x2+y2- e) lím (0:0) y sen
(7)]
IV. Límites sucesivos o reiterados
A veces conviene considerar intuitivamente la idea de límite doble y compararla con la de límite simple.
Al buscar un límite simple se observa a qué número se aproximan los valores f(x) cuando x se “acerca", por derecha y por izquierda, al punto de acumulación ele gido. La misma idea en el plano significa aproximarse al punto por “cualquier camino que se elija". Es decir, pueden elegirse rectas paralelas a los ejes (límites sucesi vos), rectas cualesquiera que pasen por el punto (límites radiales), y también curvas planas, de cualquier tipo, incluidas en el dominio, a Jas cualés pertenezca el punto. Por supuesto, la posibilidad de elegir un camino diferente no se agota nunca.
Esta idea es muy útil para.probar que una función carece.de límite doble, pues, sí una función tiene, por ejemplo, límites radiales distintos, entonces no puede tener límite doble. En efecto, la unicidad del límite asegura que los valores de la función tienen que aproximarse al mismo número, a lo largo de cualqijier curva que pase por el punto.
Calcular límites sucesivos significa fijar primero una de las variables y calcular límite simple para la otra. Este límite define, a su vez, uria nueva función para la pri mera variable, cuyo límite simple sé calcula finalmente.
Consideramos, en primer lugar, algunos ejemplos que aclaren esta idea de lí mites sucesivos o reiterados.
Ejemplo 1
Sea F:(x;y) -> 4 -x ^ -y ^ cuyo dominio es y calculamos límites sucesivos en 3
Fijamos primero la variable y. Es decir, tomamos un valor fijo de y, ai cual lla mamos y^, -En el.plano de ecuación y ^ y^ consideramos la función de una variable X, dada por la fórmula F(x;yg) = ^ -x ^ ^ y ^ y buscamos su límite en x = 1.
O sea, Km^ (4-x2 -y2 ) = 3 -y§ .
En nuestro caso, lo mismo sucede para cualquier otro valor fijó de y, es decir, queda definida una nueva función g, de una variable y/siendo g(y) = 3 -y^.
3 Puede buscarse ahora el límite en y = ~ í Es Jim g(y) = lím (S^y^) =
3 3 4
Resumiendo, los dos límites que hemos calculado sucesivamente:
= lim 3 lím ( 4 - x 2 - y 2 ) %-* 1 3^ 4 '
En forma análoga,·^ podemos considerar pnmeró valore fijos de x y detenninar, en cada uno de los planos correspondienteis, funciones de una sola variable y.
Queda, finalmente, = lím lím (4-^x2-y2) Ly
3/2
t i t i i
Hemos encontrado, entonces, los dos límites sucesivos.
En el primer caso, la notación significa que la primer variable que actúa en el límite es la variable 1 o sea x, y en segundo término la variable 2, o sea y.
^21 indica que se calcula priméro el límite para y, luego para x.
Ejemplo 2
Sea F;(x;y) —► 5x^y-xy^. Buscamos ambos límites sucesivos en (3.1 ).
= lím ^21 = lím lím F(x;y)l = lím (45y-3y2) = 42. . y-*i lím F(x;y)l = lím (Sx^-x) = 42. X—*3
En general, consideremos F:A -> R tal que z = F(jt,7 ) con AGR? y (a;b) punto de acumulación (superficial) de su dominio.
Tal como hicimos en los dos casos particulares, fijamos y = 7 ^ buscando el lí mite en a de la función de variable x. Si este límite de una variable x existe, depende del valor y¡j siendo lím F(x7 g) = g(yo). Obsérvese que g(yj,) es el límite en a de F(x;yo)· y no es necesariamehte igual a F(a,7 o). (En los ejemplos dados resultó g(yo) = F(a;yj,) por ser F continua en ambos casos.)
Si hacemos variar ahora y^, es decir, si consideramos distintos valores fijos de y, queda definida la función g, de una variable y, de.la siguiente manera:
Buscamos ahora.'lím ' g(y).; Si existe, resuitaJím : riím - F(x;y)
y— ü - y-^b|_x¡-a
Éh fórmaranáloga; se■ puede■ consiclerar;e^otro orden en los límites sucesivos.
♦ Para calcularvlímites sucesivos envun punto (a;b), no basta exigir que sea de acumulación del dominio. Tampoco basta qué el conjunto sea deniso en sí.
En efecto, sea F :A ^ R con ACR^ a. A = {(x;y)/y = 2}, Si se trata de calcular límite doble en (1;2), por ejemplo, este punto es de acumulación del dominio. Por otra parte, también A es denso en sí, pues todos sus puntos son dé acumulación. Sin embargo, no tiene sentido pensar en límites sucesivos.
Consideremos = lím flím F{x;y) . Para calcular lím F(x;y), observamos que
X—i L y —2 J y — 2
2, en el caso propuesto, no es punto de acumulación para el dominio de ninguna función de variable y (fig. 1). Por lo tanto, no se cunnple la condición de punto de acumulación que exige la definición de, límite en una variable, y no es posible cal cularlo.
Lo mismo sucede en 12para calcular lím F(x;y) si y
X — 1
2 (fig. 2).
En realidad, para calcular ^ 2i* ®s necesario exigir que, en cualquier paralela al eje y, existan infinitos puntos del, dominio, y, que la intersección de cada paralela con la recta y = 2 sea punto de acumulación del dominio. Para d®be suceder lo mis mo con las paralelas al eje x.
Para simplificar, aunque la exigencia es mayor, pedimos, para calcular límites sucesivos y, más adelante, radiales, que el punto sea de acumulación “superficial". Esto significa que, en todo entorno reducido del punto, la intersección de dos rec tas cualesquiera es punto de acumulación del dominio. Esto no se verifica pára (1 ;2) en el caso presentado, pues es de acumulación sólo sobre una recta y no sobre una superficie.
Estudiaremos ahora la relación que existe entre los límites sucesivos y el límite doble.
Si el límite doble existe en un punto, dicho límite es único. Por lo tanto, para que pueda verificarse la definición de límite doble si existen límites sucesiyos, deben coincidir con el número Luego, si los límites sucesivos existen, pero no son iguales, no existe límite doble.
Ejemplo
3x^+y2
Sea F:(x;y)— ---— y (0;0) punto de acumulación (superficial) de su do- x2+y2 mimo. = lím (lím y^OXx—o x2+ y2 / y-^o ^2 = lím (lír y^OXx =
' t Á
1 = 1 lím ----—— ) = lím 3 = 3 y— o x 2 + y z / x— OTéngase en cuenta qué la desigualdad de los límites sucesivos asegura que no existe límite doblé, pero su igualdad no informa sobre la existencia del límite doble. Teorema 1
Sea F:A -> R con ACR^ y<a;b) punto de acumulación (superficial) de su domi nio. Si existe lím F(x;y) = y existe = lím /lím F(x;y)V entonces ambos son
iguales. y-t> x^a /
Demostración
Por definición de límite doble ñ
V6>035>0V(xy).: ((x;y)eDp a 0 < V (x-a )2 + (y-b )2 < ó => |F (x;y)-/fl< e). O sea,: ¿-€<F(x;y)<^>Fe' si·.{x;y)€E^((á-b);ó)i: r ■
Considerando, exclusivamente la"^ariable' x;:-por propiedades del limité simple, es ^ -€ s lím F(x;y)£^+eya que..por hipótesis,-existe lím -F(x;y).
x - ^ a x - * a
Comoi también púrhipótesisivexiste^límvv^lím óF(x;^ ^ lím flím F(x;y) I < ¿’+e.
y - . b \ x - * a /
Luego, Ve>0: E'((a;b),5).
O sea, Ve>0: Por ser ¿^,2 y ^ números reales, resulta ^=<f,2· En forma análoga, si existe ^ y existe / jv puede probarse/ = ¿’21·
Puede darse el caso en que exista límite doble y no existan los límites sucesivos.
Ejemplos
1) F :(x;y)-»xsen y . Puede probarse € = = 0. No existe
2) F:(x;y) -> y sen £ = ¿’g, = O· No existe
3) F:(x;y) ^ (x+y)(sen ^ + sen y ) .
Puede probarse ? K O: No existen ni rñ €^y
♦ Teorema 2
Sea: F:A -> RV con ;AGR2 yi (á;b) iun punto de acumulación (superficial) de su dominio. Si existe límite doble ^ en (a;b) y existe, en un entorno reducido de b (sobre la recta de ecuación x = a) la función g, tal que g(y) - líni F(x;y), entonces también existe (lím F{x7 ) ) y coincide c o n /.
y—b \x —a /
Demostración
Por definición de límite doble. Ve>03fi::^d tal que; (x;y)eE· ((a:b),8) ==■' |F (x :y )-í|< 4 ·
O sea, ¿ - -|-< F íx.'y)< ^+ -|· si (x,>>),€£'((a,b),8). Fijando y. buscamos lím .
X— a
Resulta:
e - ^ ^ lím F (xy)^^’-h |- s i (x;y)eE'((a;b),6).
Tambiéri ¿'-€<Iím F(x;y)<¿'+e, o sea:Y ,-e<g(y)<^+e, relación que se veri- X—
fica si y es la ordenada de un punto del dominio que pertenece a la recta de ecua ción X = a y al entomo reducido.
Luego, V€>036>0: (0 < |y-b l< 5 => |g(y)-^l< e ). O sea, 3lím g(y) = i.
y-.b Por lo tanto
Consecuencia
Si F es infinitésimo en (a;b) y lím F(xv) = O, entonces existe lím YUm F(x;’
y -b V x -a
En algunos casos conviene considerar, para negar la existencia del límite doble, límites radiales. Estos son límites siniples para re^'cdones de la función sobre con juntos unidimensionales. . ' ^
Ejemplo 1
Sea F;(x;y) xy
x^+y2y (0;0) punto de acumulación (superficial). Podemos calcular
Consideremos ahora, en R^, las infinitas rectas que pasan por el origen, cual quiera de ellas con ecuación y = mx.
Los valores de F sobre una de esas rectas están dados por
F(x;y) = F(x;mx) = mx*" x2+m2x2
Para :X 7^0 es' F(x;mx) = m l+ m ^
Por ejemplo, sobre: já , recta, de ecuación vy,= x - es F(x;y) = —,
sobre la recta de ecuación y = 2x es F(xy) = , 5 sobre la recta de ecuación y = 3x es F(x;y) =
10 etcétera.
Es decir, F es constante a lo largo de cualquier recta que pasa por el origen y la constante es distinta para rectas distintas. Por lo tanto, en ningún entomo redu cido del origen los valores de F se acercan a un número <f y F no tiene limite en el origen.
Cada una de las constantes halladas es el lím F(x,mx), es decir, de una res- x-^O
triccióri de F al conjunto C^ = {(x;y)/y = mx},-Cada uno de estos limites es un limíte radial.
Ejemplo 2
— . 3xy2
Consideremos F:(x;y) —»--- y buáquemos límites sucesivos y radiales en x^+y^
el origen.
Es ^^2 “ ^21 = ^mx = 0. o sea, todos coinciden, lo cual no informa sobre la exis tencia de límite doble.
Sea A = {(x;y)/y2 = x}. La restricción de F sobre A está dada por F(x;y) = = F(y2;y). Calculemos su límite en el origen, que es punto de acumulación de A.
lím F(y2;y) = lím . y —o y—o 2y* 2
Como este límite es distinto de los anteriores, afirmamos que F no tiene límite doble en el origen.
Ejemplo 3
xy-1 Calcular lím
x3_y2
El límite propuesto es indeterminado. Buscamos límites radiales y consideramos la restricción al conjunto A = {(x,y)/x f= 1} que corresponde a la recta de ecuación x = 1, que pasa por el punto (1;1).
lím lím
y — 1 -j _yZ y — 1 1 +y 2
Sobre B = {(x;y)/y = 1} es lím = lím ^------- =
x-1 x3_1 x- 1 3
Por lo tanto, no existe límite doble en (1;1).
Podríamos haber considerado la recta de ecuación y = 3 x-2 , que también pasa por el punto. O sea, la restricción de F a C = {(x;y)/y = 3x-2}.
3x2_2x—1 4
Es lím F„(x;y) = lím --- :---= - —, distinto de los anteriores.
x - , 1 c ^ x3 -9x2+12x- 4 3
Para funciones de n variables se extiende la definición de límite doble a límite múltiple utilizando entornos n-dimensionales.
EJERCICIOS
1) Verificar que no existe límite doble en el origen, mediante límites sucesivos
a) F : ( x ; y ) - ^ b,
2xyZ
2) Sea F;(x;y) . Calcular límite en el origen para sus restricciones a los x2+y3.
siguientes conjuntos: A = {íx;y)/y = 3x}, B = {(xy)/y = x^}, C = {(x,7)/y 2 = x}. ¿Se obtiene alguna conclusión?
3x+2v 5
3) Idem para F:(x7 ) -——5^ sobre A = {(x;y)/y = 4x}, B = {(x7 )/y = - - j x}-
2x—y—1
4) Idem para F:(x;y) en (1 ;1 ) sobre A = {(xiy)/y = -x ^ + 2}, x2-ry2
B = {(x y )/y = 2x - 1}.
X^—y '
5) Idem para F:(xy) -r»^--- ^ en (1 ;1) sobre^"" A - {(x;y)/y = x}, x -y ^
B = {(x ;y )/y = 2^x2}.
X_y2_1
6) Idem para F:(x;y) v ^ — ^^--- en (2;1|· sobre- A = {(x;y)/y = 2x-3 }, x2-4y
B = {(x;y)/y = x2 -3 }.
7) Investigar si existe límite doble en el origen para: a) F:(x,7 ) - »— b) F:(x;y) ^
c) F:(x7)
x^+2x2y+y2 x^+y2 x2y2+ (x -y )2
8) Investigar si existe límite doble en (1;1) para
, 1-x y > x^+«y- 2 ' ( - ^ 2·='
a ) R ( x ; y ) - . ^ b)F:(x;y)-. - ^ - ^ c ) R ( x ; y ) J * >' 3, ,xl = lyl
V. Continuidad
La función de vector F es continua en el punto á de acumulación de su dominio si y sólo si se verifican las tres condiciones siguientes:
1) 3F(á):
2) 3 lím /(x ).
3) lím,F(x) = F(á).
En R2 la definición puede precisarse así:
F continua en (a;b) <=> Vc>03S>0V(x;y): ((x7 )eDp a V {x-a )2 + (y-b )2 < s => - V => lF(xy)-F(a;b)I<€). Si existe límite doble pero la función no es continua, la discontinuidad se deno mina evitable. Si no existe límite doble, la discontinuidad es esencial.
Función de vector acotada
Una función de vector, igual que una función escalar, está acotada si su reco rrido es un conjunto acotado. Como el recorrido de una función de vector, o campo escalar, es un conjunto de números reales, al estar acotado y no ser vacío, tiene su