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Probaremos a continuación la anteriormente mencionada caracterización de aquellos grupos de Lie que admiten una métrica invariante a izquierda plana. Antes, precisamos un lema.

Lema 3.50. Sea G un grupo compacto de isometrías de Rn. Entonces la acción de G en Rn tiene un punto fijo.

Demostración: Seax ∈Rn fijo, entonces la aplicación g → gxes continua. Sea µl la medida de Haar normalizada en G, es decir tal que R

Gdµl = 1. Sea v∈Rn y consideremos RGgv dµl. Integrando componente a componente, el resultado es un vector v0 ∈ Rn que depende de v. Por invariancia a izquierda de la medida parah−1∈Gy usando queG actúa por isometrías resulta

h−1v0 =h−1 Z G gvdµl= Z G h−1(gv)dµl= Z G( h−1g)vdµl= Z G gvdµl =v0.

Por lo que h−1v0=v0, y de aquí hv0 =v0 para todoh∈G.

Damos ahora una demostración de la caracterización de grupos de Lie que admiten una métrica invariante a izquierda plana probada por Milnor en [26].

Teorema 3.51. Una métrica invariante a izquierda en un grupo de Lie es plana si y sólo si su álgebra de Lie se descompone como una suma directa ortogonalb⊕u, dondebes una subálgebra abeliana, u es un ideal abeliano y la transformación linealadb es antisimétrica para todo b∈b.

Demostración:

⇒) Sea G un grupo de Lie con una métrica invariante a izquierda plana. Consideramos el cubri- miento universal ˜G con la métrica de cubrimiento, la cual es invariante a izquierda. Entonces, como variedad riemanniana ˜Gresulta isométrico a Rn para algún n∈N. En particular, cualquier subgrupo compactoH de ˜Ges trivial. En efecto, al hacer actuarH por multiplicación a izquierda en ˜G, podemos considerar a H como un subgrupo compacto de isometrías de Rn , y por el Lema 3.50 H tendría un punto fijo, pero la acción de multiplicar a izquierda no tiene puntos fijos, por lo tantoHdebe ser trivial. Ahora, sea h,i el producto interno en gcorrespondiente a la métrica de cubrimiento en ˜Gy sea ∇ la conexión de Levi-Civita de ˜G. Definimos una transformación lineal

ϕ:g→so(g)

dada por

ϕ(X) =∇X

donde so(g) es el conjunto de todas las transformaciones lineales antisimétricas de g en g.

La aplicaciónϕ está bien definida pues por compatibilidad de∇con la métrica, dadosX, Y, Z ∈g

se tiene que h∇_XY, Zi=XhY, Zi − hY,∇_XZi, pero XhY, Zi= 0 y por lo tanto h∇_XY, Zi=−hY,∇_XZi.

Si (G,h,i) es una variedad plana, entonces R ≡ 0. Como la proyección π : ˜G → G es una isometría local, la variedad ( ˜G,h,i∼) también es plana por lo que

∇_[X,Y]=∇X∇Y − ∇Y∇X.

Esto dice que ϕes un homomorfismo de álgebras de Lie y por lo tantou= Kerϕes un ideal. Como la conexión ∇es sin torsión,

[u, v] =∇uv− ∇vu= 0, parau, v∈u. por lo que u es conmutativo.

Seab el complemento ortogonal de u. Para cadab∈b la identidad

[b, u] =∇bu− ∇ub=∇bu

muestra que ∇b manda u en u. Por lo tanto ∇b manda b en b ya que h∇bb0, vi = −hb0,∇bvi = 0. Se sigue que b es una subálgebra de Lie degpues ∇es sin torsión.

La aplicaciónϕ

bes un isomorfismo, debido a que sib∈bsatisface∇b = 0 entoncesb∈b∩u={0}. Esto nos permite considerar a b como una subálgebra de Lie deso(g). Como so(g) es el álgebra de Lie

del grupo ortogonal, el cual es compacto, posee un producto interno bi-invariante, por lo que b posee

un producto interno bi-invariante. Por el Lema 3.43, bse parte como una suma directa b1⊕ · · · ⊕bk de ideales simples o abelianos. Si alguno de estosb_i fuera un ideal no abeliano, entonces el correspondiente

trivial deBi a ˜G. Pero de esta manera, ˜Gtendría un subgrupo compacto no trivial, lo cual es absurdo. En conclusión cadab_i es un ideal abeliano y así b es una subálgebra de Lie deg abeliana.

Por último, para cada b ∈ b, resulta adb antisimétrica pues adb

b es trivial al ser b abeliana y adb

u=∇b, la cual es una transformación antisimétrica.

⇐) Sigadmite un producto interno tal quegse escribe como una suma directa ortogonalg=u⊕b,

con b una subálgebra abeliana,u un ideal abeliano y adb antisimétrica para todo b∈b, queremos ver

que la métrica invariante asociada en G es plana. Primero mostraremos que siu ∈u yb ∈b entonces ∇u = 0 y ∇b = adb. Notemos que esto implica que ∇[x,y]= 0 para todo x, y ∈g. En efecto, [g,g]∈u

pues b es una subálgebra abeliana yu es un ideal.

Veamos que ∇_u = 0. Usaremos la fórmula de Koszul: para x, y∈g,

2h∇_ux, yi=h[u, x], yi − h[x, y], ui+h[y, u], xi, Miremos el miembro de la derecha.

Si x, y ∈ b, al ser u un ideal, b una subálgebra y ser la suma ortogonal, resulta cada uno de los

términos igual a 0.

Six∈bey ∈u, al ser adxantisimétrica los dos primeros términos se cancelan y el último es 0 pues u es abeliano. La situación es completamente análoga si x∈u e y∈b.

Six, y∈u, al ser u abeliano, resulta cada uno de los términos igual a 0.

Veamos que ∇_b = adb. Por la fórmula de Koszul,

2h∇_bx, yi=h[b, x], yi − h[x, y], bi+h[y, b], xi. Miremos el miembro de la derecha.

Six, y∈b, cada uno de los términos es 0 puesb es abeliana.

Si x∈b ey ∈u, al serb abeliana, u un ideal y la suma b⊕u ortogonal, cada uno de los términos

es igual a 0.

Luego ∇bx= 0 = adbx, six∈b.

Si x ∈ u e y ∈b, de manera completamente análoga al segundo caso cada uno de los términos es

igual a 0.

Si x, y∈u, al ser una suma ortogonal y u un ideal resulta h[x, y], bi = 0 y al ser adb antisimétrica resulta 2h∇_bx, yi= 2h[b, x], yi.

Por lo tanto∇bx= adbx, six∈u y así resulta∇b= adb.

De aquí se sigue que el tensor de curvatura es idénticamente nulo. En efecto, como R es un tensor, basta calcularlo para campos invariantes a izquierda. Sean x, y, z ∈ g. Si x o y pertenecen al idealu,

hemos visto que ∇_u = 0 para u ∈ u, por lo que en este caso R(x, y)z = 0 automáticamente. Luego basta considerar el caso en que x, y∈b, en donde vale∇_x= adx y∇_y = ady.

R(x, y)z=∇_x∇_yz− ∇_y∇_xz= [x,[y, z]]−[y,[x, z]] =−[x,[z, y]]−[y,[x, z]] = [z,[x, y]] = 0, usando la identidad de Jacobi y que b es una subálgebra abeliana.

En [3], Barberis, Dotti y Fino refinaron este teorema descomponiendo aún más el álgebra de Lie g en el caso en que es plana. A fines de usar esta versión en el próximo capítulo, reproduciremos una

versión de su demostración a continuación. En este trabajo diremos que un álgebra de Lie es plana si el grupo de Lie simplemente conexo asociado posee una métrica invariante a izquierda plana.

Teorema 3.52. Sea g un álgebra de Lie plana. Entonces g se descompone como una suma directa ortogonal,

g=z(g)⊕b⊕[g,g]

donde b es una subálgebra de Lie abeliana, [g,g]es abeliano y satisfacen:

(1) ad :b→so([g,g]) es inyectiva y [g,g]es de dimensión par y dimb≤ dim([₂g,g]); (2) adX =∇X para todoX ∈z(g)⊕b.

Demostración: Por el Teorema 3.51 un álgebra de Lie plana g se descompone como una suma

directa ortogonal,g=b⊕udondebes una subálgebra de Lie abeliana,ues el ideal abeliano definido por u={u∈g| ∇u= 0}y adX es antisimétrica para todoX ∈b. Como se vio en la demostración anterior, ∇X = adX paraX ∈b. Luego, para X∈b, si adX = 0 entonces∇X = 0 por lo queX ∈b∩u ={0}, en consecuencia resulta que ad :b→so([g,g]) es inyectiva.

Ahora, notemos que [g,g]⊂ u pues u es un ideal y b es abeliana. Esto dice que u se descompone

ortogonalmente como

u=v⊕[g,g].

Veamos que v=z(g). En efecto, al ser adX : [g,g]→[g,g] antisimétrica para X∈b, preservav. Por lo

tanto,

[X,v]⊂v∩[g,g] ={0}, por lo que v⊂z(g). Por otro lado, siY ∈z(g) entonces

0 =h[Y, X], Ui=hY,[X, U]i, paraX∈b, U ∈[g,g],

es decir que z(g) ⊥ [b,[g,g]]. Pero resulta que [g,g] = [b,[g,g]], pues como adb preserva v para todo

b ∈ b, debe preservar su complemento ortogonal. Además resulta de analizar los distintos casos que

para todo x, y ∈ g se tiene que [x, y] ∈ [b,[g,g]]. Por lo tanto z(g) ⊥ [g,g]. Dado que z(g)∩b ={0}, pues adX es inyectiva enb, resulta v=z(g).

Para probar que la dimensión de [g,g] es par, asumimos que dim[g,g] = 2m+1. Como{adX |X∈b} es una subálgebra abeliana deso([g,g])∼=so(2m+1), podemos verla incluida en una subálgebra abeliana

maximal. Todas las subálgebras abelianas maximales deso(2m+ 1) son conjugadas y tienen dimensión igual a la dimensión de una subálgebra de Cartan, ver [23]. Una de ellas es la familia de matrices de la

forma _          0 a1 −a1 0 ... 0 am −am 0 0           , cona1, . . . , am∈R.

Por lo tanto existe una base B={e1, f1, . . . , em, fm, z} de [g,g] tal que para X∈b se tiene

[adX]B =           0 α1(X) −α1(X) 0 ... 0 αm(X) −αm(X) 0 0           α1, . . . , αm ∈b∗.

Por lo tanto adX(z) = 0 para todoX ∈b. Se sigue que z∈[g,g]∩z(g), lo cual es absurdo, de lo que

se sigue que dim([g,g]) es par. Se sabe que la dimensión de la subálgebra de Cartan deso(2n) esn, de lo que se sigue que dimb≤ dim([₂g,g]). Finalmente, por la fórmula de Koszul resulta∇Y = 0 = adY para Y ∈z(g). En conclusión adY =∇_Y para todoY ∈z(g)⊕b.