¿Sabes cómo identificar la pendiente en una ecuación? ¿Sabes identificar el intercepto de y? Analicemos la situación.
y= −2x − 8
En esta sección aprenderás cómo encontrar la pendiente y el intercepto de y analizando una ecuación. Repasare- mos esto otra vez al final de la sección.
Orientación
Hemos visto ecuaciones lineales en forma de función. También hemos creado tablas de valores y gráficas para representarlos. Hemos encontrado los interceptos de x e y y hemos estudiado sus pendientes. Una de las formas más útiles de una ecuación lineal es la forma pendiente-intercepto, la cual usaremos en esta sección junto a la forma estándar.
¿Recuerdas la forma estándar ?
La forma estándar de una ecuación es cuando la ecuación está escrita en la forma Ax + By = C .
Esta forma de la ecuación nos permite encontrar muchas soluciones posibles. En teoría, podríamos sustituir x e y por cualquier valor y crear el valor de C . Cuando una ecuación está escrita en forma estándar, es difícil determinar la pendiente y el intercepto y .
Piensa hacia atrás. Recuerda que la pendiente es la inclinación de la recta y que el intercepto de y es el punto en donde la recta cruza el eje y .
Aquí podemos calcular la pendiente de la recta usando la elevación sobre el recorrido y ver que es 3. El intercepto de y es 1. Nota que podemos encontrar estos valores en nuestra ecuación también.
Cuando una ecuación está en forma pendiente-intersecto, podemos encontrar la pendiente y el intercepto de y analizando la ecuación.
y=mx+b
Aquí m es el valor de la pendiente y b el valor del intercepto y .
Para cualquier ecuación escrita en la forma y = mx + b , m es la pendiente y b el intercepto de y Por esta razón, y= mx + b se denomina forma pendiente-intercepto. Usando las propiedades de las ecuaciones puedes escribir cualquier ecuación en esta forma.
Debido a que usamos la forma pendiente-intercepto, podemos reescribir las ecuaciones expresadas en forma estándar en la forma pendiente-intercepto. Luego podemos determinar fácilmente la pendiente y el intercepto yde cada ecuación.
Mira esto.
Escribe 4x + 2y = 6 en forma pendiente-intercepto. Luego determina la pendiente y el intercepto y usando la ecuación.
4x + 2y#38; = 6 4x + 2y − 2y#38; = 6 − 2y 4x#38; = 6 − 2y 4x − 6#38; = −2y 4x − 6 −2 #38; = y y#38; = −2x + 3
Ahora podemos determinar la pendiente y el intercepto de y a partir de la ecuación.
−2#38; = slope 3#38; = y − intercept
Piensa en nuestro trabajo con las funciones. ¿Recuerdas cómo escribir una función en forma de función? Compararemos la forma de función con la forma pendiente-intersecto.
Forma de función = f (x) = 2x + 1 Forma pendiente-intersecto = y = 2x + 1
¡Sí! Son iguales. ¡Las dos ecuaciones son equivalentes! Determina la pendiente y el intercepto de y en cada ecuación.
Ejemplo A
y= x + 4
Solución: pendiente = 1, intercepto de y = 4
Ejemplo B
2x + y = 10
Solución: pendiente = -2, intercepto de y = 10
Ejemplo C
−3x + y = 9
Solución: pendiente = 3, intercepto de y = 9
Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección. y= −2x − 8
Viendo esta ecuación puedes ver que la pendiente es −2 y el intercepto de y es 8 .
Vocabulario
Forma pendiente-intersecto
Práctica guiada
Aquí tienes un ejemplo para practicar.
Escribe esta ecuación en forma pendiente-intercepto y luego determina la pendiente y el intercepto de y.
−18x + 6y#38; = 12 −18x + 6y#38; = 12 −18x + 6y + 18x#38; = 18x + 12 6y#38; = 18x + 12 6y#38; = 18x + 12 18x + 12 6 #38; = y y#38; = 3x + 2
Dada la ecuación, la pendiente es 3 y el intercepto y es 2.
Repaso en video
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Converting to Slope-Intercept Form
*Este video solo está disponible en inglés
Práctica
Instrucciones: Mira cada ecuación e identifica la pendiente y el intercepto de y analizando cada ecuación. Hay dos respuestas para cada problema.
2. y = 3x − 2 3. y = 4x + 3 4. y = 5x − 1 5. y = 12x+ 2 6. y = −2x + 4 7. y = −3x − 1 8. y = −13 x+ 5
Instrucciones: Usa lo que has aprendido para escribir cada ejercicio en forma pendiente-intersecto y luego responde cada pregunta.
9. 2x + 4y = 12
10. Escribe esta ecuación en forma pendiente-intercepto. 11. ¿Cuál es la pendiente?
12. ¿Cuál es el intercepto en y ¿Cuál es el intercepto en ? 13. 6x + 3y = 24
14. Escribe esta ecuación en forma pendiente-intercepto. 15. ¿Cuál es la pendiente?
16. ¿Cuál es el intercepto en y ? 17. 5x + 5y = 15
18. Escribe esta ecuación en forma pendiente-intercepto. 19. ¿Cuál es la pendiente?
La selva fue un tema de discusión tan popular que el sr. Thomas dejó que los estudiantes lo hablaran toda la semana. Les encantó hablar sobre todas las cosas que habían visto. Un día, comenzaron a hablar sobre los científicos y todas las cosas que habían llevado con ellos a la selva.
"Sabes, no podían ir a la tienda más cercana y comprar algo", comentó Casey. "¡O pedir pizza!" Dijo Susan.
El sr. Thomas una vez más aprovechó la oportunidad para escribir el siguiente problema en la pizarra.
Un grupo de mochileros sale con 84 libras de comida. Planean comer 11 libras de comida al día. Usa una ecuación para mostrar en una gráfica cuánta comida tendrán luego de cada día. ¿Cuánto tiempo debería durarles la comida?
Para resolver este problema necesitarás saber sobre las pendientes. Los cambios en la comida cada día se basan en qué tanto comen los mochileros. Esta sección te enseñará todo lo que necesitas saber para resolver este problema.
Orientación
La forma pendiente-intercepto de una ecuación, y = mx + b , es muy útil cuando necesitas encontrar la pendiente y el intercepto de y Usando esta forma, la creación de la gráfica será más fácil también. Ya que sabemos la pendiente y sabemos el intercepto de y en vez de usar una tabla de valores podemos marcar el intercepto de y en el plano coordenado y encontrar el siguiente punto usando la pendiente.
Para cualquier ecuación escrita en la forma y = mx + b , m es la pendiente y b el intercepto de y . Por esta razón, y = mx + b se denomina forma pendiente-intercepto.
Debido a que usamos la forma pendiente-intercepto, podemos reescribir las ecuaciones en forma estándar en la forma pendiente-intercepto. Luego podemos determinar fácilmente la pendiente y el intercepto y de cada ecuación. .
Ahora usemos la pendiente y el intercepto de y para graficar las ecuaciones. Grafica la recta de la ecuación y = −x + 5
Primero, podemos determinar que la pendiente es -1 y que el intercepto de y es 5. Luego, podemos graficar la recta usando esta información.
También podemos graficar rectas de otra forma. Primero necesitaremos reescribirlas en forma de pendiente- intercepto. Luego podemos graficar la ecuación.
Analicemos la situación. Grafica la recta 3x + y = 9
Primero, tenemos que reescribir esta ecuación de forma estándar en la forma pendiente-intercepto. Tenemos que hacerlo usando las operaciones inversas.
3x − 3x + y#38; = −3x + 9 y#38; = −3x + 9
Usa lo que has aprendido para responder cada pregunta.
Ejemplo A
Verdadero o falso. La pendiente de una recta horizontal es mayor que la pendiente de una recta vertical. Solución: Falso.
Ejemplo B
Identifica la pendiente de la siguiente ecuación. y= −2x + 7
Solución: −2
Ejemplo C
Identifica la pendiente y el intercepto de y de esta ecuación. −3x − 3y = 18
Solución: slope = −1, y − intercept = −6
Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.
Primero tenemos que escribir una ecuación que represente la comida. Usa la ecuación f = −11d + 84 donde f es la comida restante y d el número de días que han pasado.
Vocabulario
Forma pendiente-intersecto
Forma de una ecuación y = mx + b
Forma estándar
Forma de una ecuación Ax + By = C
Pendiente
Inclinación de una recta, calculada con la proporción de elevación sobre el recorrido.
Intercepto y
Punto en donde una recta cruza el eje y .
Práctica guiada
Aquí tienes un ejemplo para practicar.
Un empleado de una tiene gana $12.50 la hora más un bono semanal de $50 por puntualidad. Asumiendo que el empleado llega a tiempo cada día, grafica el sueldo que gana. ¿Cuánto ganaría por trabajar 10 horas? ¿Y 20 horas? ¿Y 30 horas?
Solución
Primero, escribe la ecuación: Podemos usar la ecuación w = 12.5h + 50 . Luego podemos graficar la ecuación usando la pendiente y el intercepto de y.
La gráfica muestra que los sueldos por 10 horas serían de $175, por 20 horas $300 y por 30 horas $425.
Repaso en video
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Graphing Linear Equations
*Este video solo está disponible en inglés
Práctica
Instrucciones: Usa lo que has aprendido para completar cada tarea. 2x + 2y = 8
1. Escribe esta ecuación en forma pendiente-intercepto. 2. ¿Cuál es la pendiente?
4. Grafica la ecuación.
3x + 6y = 2
5. Escribe esta ecuación en forma pendiente-intercepto. 6. ¿Cuál es la pendiente?
7. ¿Cuál es el intercepto en y ? 8. Grafica la ecuación.
Instrucciones: Usa lo que has aprendido para resolver cada problema.
Miguel quiere ahorrar $47 dólares para un videojuego. Recibe $20 dólares como regalo y $4 dólares semanales de mesada.
9. Escribe una ecuación en forma pendiente-intercepto que represente esta situación. 10. ¿Cuánto tiempo le tomará ahorrar el dinero?
y= .8x + 3
11. ¿Cuál es la pendiente de esta recta? 12. ¿En qué forma está escrita la ecuación? 13. ¿Cuál es el intercepto de y de esta recta? 14. ¿Cuál es la gráfica de esta recta?
El sr. Thomas dirige la clase sobre las selvas. Los estudiantes han estado investigando y ahora están listos para hablar sobre sus descubrimientos
"La vegetación de la selva era bastante interesante", comentó Carmen en la clase del sr. Thomas. "Habían tantas cosas diferentes creciendo", agregó Mark
Los estudiantes comenzaron a hablar sobre las cosas que los habían intrigado en cuanto a la vegetación de la selva. Uno de los puntos fueron las plantas de la selva que no pueden encontrarse en ningún otro lugar del mundo. El sr. Thomas se dio cuenta de la oportunidad y escribió el siguiente problema.
Compras un árbol de plátanos de 8 pulgadas de altura. Crece 4 pulgadas por día. Su altura (en pulgadas) h es una función del tiempo (en días) d .
Puedes expresar esta función como una ecuación. Esta sección te mostrará cómo escribir ecuaciones lineales.
Orientación
La forma y = mx + b de una ecuación era más útil para identificar rápidamente la pendiente, m , y el intercepto de y, b . De hecho, si sabemos la pendiente de una ecuación y el intercepto de y entonces simplemente escribimos la ecuación sin más. Todo lo que tienes que hacer es sustituir m por la pendiente en la forma y = mx + b y el intercepto de y por b .
Analicemos la situación. m= 4, y − intercept = 3
Ahora sabemos que vamos a usar la forma y = mx + b , de la ecuación, por lo que podemos incluir los valores en la ecuación y escribirla.
y= 4x + 3
Esta es la respuesta. La clave es siempre buscar los signos negativos y estar seguros de incluirlos cuando escribes tu ecuación.
Algunas veces nos pueden dar la pendiente y un punto por el cual atraviesa la recta. Podemos usar esta información para escribir la ecuación de una recta.
Slope = −2 , la recta pasa por el punto (0,-3)
Con este ejemplo conocemos la pendiente, de forma que podemos transformarla en la forma pendiente- intercepto. El punto tiene valor 0 para x lo que significa que nos han dado la coordenada para el intercepto y .
y= −2x − 3
Esta es la respuesta.
¿Qué pasaría si solo conocieras dos puntos y no supieras la pendiente? Es una operación similar que podemos usar para escribir la ecuación.
¿Recuerdas que la fórmula de la pendiente es m = y2−y1
x2−x1 ? En otras palabras, dados dos puntos cualquiera (x1, y1)
y (x2, y2) , podemos usar la fórmula de la pendiente para calcular la pendiente de la recta que pasa a través de esos
puntos. Incluso cuando solo sabes dos puntos, encontrar la pendiente es solo cosa de aplicar la fórmula. ¿Pero después, qué ?
Usaremos la siguiente notación. Si m = y2−y1
x2−x1 entonces m =
y−y1
x−x1 porque la pendiente es la misma en cualquier parte de la recta. En otras palabras,
podemos usar una fórmula similar a la fórmula de la pendiente para encontrar la ecuación. Esta vez, sin embargo, dejaremos x e y como variables ya que la relación es verdadera para cualquier valor de x e y en dicha ecuación. Escribe la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (3, 7) y (5, 11) . Primero escribiremos la pendiente usando la fórmula de la pendiente x1= 3, y1= 7, x2= 5, y2= 11 .
m#38; =y2− y1 x2− x1 m#38; =11 − 7 5 − 3 m#38; =4 2 m#38; = 2
Ahora incluye los valores conocidos de m, x1, y y1.
m#38; =y− y1 x− x1 2 1#38; = y− 3 x− 7
¿Qué pasa cuando nos dan una tabla de valores? Hay una forma bastante fácil de encontrar la ecuación cuando tienes una tabla de valores. Mira.
T
ABLE1.34:
x y 0 5 1 7 2 9 3 11 4 13Primero, nota que el intercepto de y es el valor que tiene un valor en x de 0. Con un valor 0 en x sabemos que el intercepto en y es 5.
Ahora necesitamos encontrar la pendiente. Mira los valores de y en la tabla. ¿Puedes ver un patrón? Si observas detenidamente verás que los valores suman +2 cada vez. Esta es la pendiente. Piensa sobre cómo se movería la recta si se graficara. El patrón de los valores de y representa la pendiente de la recta.
y= 2x + 5
Esta es la respuesta.
¿Qué hay sobre la notación de funciones? Primero piensa sobre las variables independientes y las variables depen- dientes.
En ciencias, una variable independiente es un parámetro manipulado o elegido por un científico mientras que una variable dependiente es un parámetro que es medido. Los científicos a veces buscan correlaciones entre una variable independiente y una variable dependiente-quieren saber si la variable dependiente depende de la variable independiente. Por ejemplo, un científico puede medir la velocidad a la que se mueve un auto y la fuerza del impacto cuando el auto choca una pared. El científico puede manipular la velocidad del auto-puede hacer que el auto se mueva más lento o más rápido Luego podría medir la fuerza del impacto en relación a la velocidad. Luego se puede sacar una conclusión sobre su relación y los autos, en este caso, pueden ser diseñados en base a esta relación. La variable independiente se mostrará en la columna de la izquierda de una tabla y en el eje x -de una gráfica. La variable dependiente se mostrará en la columna de la derecha de una tabla y en el eje y de una gráfica.
f(x) = 4x + 1
Aquí ya sabemos que la función de x es dependiente 4 veces en dicho valor, x más uno . Escribe una ecuación lineal usando la información dada.
Ejemplo A
m= 2, y − intercept = 5 Solución: y = 2x + 5
Ejemplo B m= −4, y − intercept = 6 Solución: y = −4x + 6 Ejemplo C m= 8, y − intercept = −2 Solución: y = 8x − 2
Ahora volvamos al problema del comienzo de esta sección.
Primero tenemos que escribir la ecuación: Podemos usar la h para representar la altura de un árbol de plátanos. Podemos usar la d para representar el número de días. El 8 es la altura con la que comenzó el árbol. Esta es nuestra ecuación.
h= 4d + 8
Esta es nuestra respuesta.
Vocabulario
Variable independiente
Valor que no depende de otro. Es el valor de x en una tabla.
Variable dependiente
Valor que depende de la ecuación. Es el valor de y en una tabla.
Notación de funciones
Ecuación donde el valor de x depende de la ecuación que usa x .
Práctica guiada
Aquí tienes un ejemplo para practicar.
Escribe una ecuación en forma pendiente-intercepto con una pendiente de -4 y un intercepto de y de 13. Solución
Para hacerlo, podemos tomar la forma pendiente-intercepto y sustituirla con los valores dados. y= mx + b
La m representa la pendiente. La b representa el intercepto de y. y= −4x + 13
Esta es nuestra respuesta.
*Este video solo está disponible en inglés
Práctica
Instrucciones: Escribe la ecuación de una recta con las siguientes pendientes e interceptos de y .
1. slope = 2, y int = 4 2. slope = −3, y int = 2 3. slope = −4, y int = 4 4. slope = 3, y int = −5 5. slope = 12, y int = −2 6. slope = −13, y int = 2 7. slope = 1, y int = 8 8. slope = −2, y int = 4 9. slope = −1, y int = −1 10. slope = 5, y int = −2
Instrucciones: Escribe las siguientes ecuaciones lineales horizontales o verticales.
11. Una recta horizontal con un valor de 7 para b . 12. Una recta horizontal con un valor de -4 para b . 13. Una recta vertical con un valor de 2 para x . 14. Una recta vertical con un valor de -5 para x .
Instrucciones: Escribe la ecuación de la recta que pasa a través de siguientes puntos.
15. (3, -3) y (-3, 1) 16. (2, 3) y (0, -3)