El trabajo de Lachenbruch (1961) está escrito pensando en las grietas producidas en basaltos, permafrost, barros y grietas en glaciares que son ejemplos de fenómenos geológicos que pueden ser estudiados mediante modelos teóricos de tensiones en un espacio semi-infinito.
Un modelo elástico de tensiones está asociado siempre a cargas instantáneas. A pesar de que las tensiones que producen grietas se desarrollan lentamente, se puede utilizar con suficiente aproximación un modelo elástico para predecir la redistribución de tensiones a lo largo de la grieta. Para estudiar el proceso de formación de grietas en necesario tener a disposición un modelo matemático que permita obtener la redistribución de tensiones en el instante posterior a la formación de la misma. Un modelo elástico de la perturbación de tensiones causada por el agrietamiento debe dar una aproximación del estado de tensiones existente inmediatamente después que la grieta se ha formado.
En este artículo se presenta una solución a la redistribución de tensiones cuando en un medio infinito o semi-infinito aparece una grieta, siendo que las tensiones al inicio están dadas en un caso por una función constante y en otro una función lineal en función de la profundidad. Con esta formulación se han obtenido gráficos y tablas que permiten calcular la redistribución de tensiones en las proximidades de la grieta para los dos casos mencionados. El efecto de la grieta que aparece en el suelo es de relajar las tensiones en el suelo que rodea la grieta y este campo de tensiones relajadas está relacionado con el espaciamiento de las mismas.
La disipación de energía en el extremo de la grieta en cambio tiene que ver con su propagación en profundidad. En el modelo de fractura proporcionado por la teoría de Griffith (1921) modificado por Irwin (1957) y por Orowan (1948), según lo referido por Lachenbruch (1961) en este artículo, la energía superficial considerada por Griffith (1921) es substituida por la energía de la deformación plástica cerca de la extremidad de la grieta que avanza.
Por ejemplo, en un suelo saturado, sin cargas exteriores y suponiendo que el nivel freático coincide con la superficie del terreno y que esta es a su vez horizontal, la distribución de tensiones debida al peso propio del suelo y al peso del agua es un diagrama de presiones triangular. La grieta se inicia cuando por desecación el nivel freático comienza a descender. La grieta se forma generalmente en la superficie donde hay mayores tensiones de tracción y se propaga hacia el interior del medio donde la tensión disminuye y pasa en última instancia a ser de compresión. La profundidad y el espaciamiento de esas grietas son las cantidades mensurables que nos dan información sobre las condiciones mecánicas bajo las cuales las grietas se formaron, es decir, nos dan información acerca del estado de tensiones en la masa de suelo y por lo tanto sobre la historia del medio en el cual ocurren.
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En definitiva en el artículo se plantea en una primera parte la resolución de la redistribución de tensiones debido a la aparición de grietas en el medio a través de un modelo matemático de elasticidad y posteriormente se estudia mediante la teoría de fractura de Griffith (1921) modificada la distribución de las grietas, es decir, su profundidad y su separación.
En el trabajo de Morris, et al. (1992) se derivan expresiones de tensión horizontal mediante tres métodos (Teoría de la Elasticidad, MFLE y análisis de rotura basado en la transición entre rotura a tracción y rotura por corte) y se igualan a la resistencia a tracción del suelo. El suelo se considera parcialmente saturado y el análisis se hace teniendo en cuenta las formulaciones de Fredlund & Morgenstern (1977) y Fredlund (1979). A partir de estas expresiones se deduce la profundidad de agrietamiento.
2.4.1.1. Formulación Basada en la Teoría de la Elasticidad
El artículo de Morris, et al. (1992) presenta tres expresiones de la profundidad de la grieta, 𝑧𝑐,
haciendo las siguientes consideraciones:
a) Succión y resistencia a tracción son constantes
𝑧𝑐= 𝐴𝑠0+ 𝐵𝐵 (2.1)
Dónde: 𝐴 = (1 − 2𝜈)/𝜈𝜈 y 𝐵 = (1 − 𝜈)/𝜈𝜈; 𝐵 es la resistencia a tracción y 𝑠0 es el valor
constante de succión. 𝜈 y 𝜈 son el coeficiente de Poisson y el peso específico del suelo. b) Succión lineal se reduce en profundidad y resistencia a tracción constante
𝑧𝑐=𝑠𝑠00+ 𝐶𝐵
𝑊 + 𝐷 (2.2)
Dónde: 𝐶 = (1 − 𝜈)/(1 − 2𝜈) y 𝐷 = 𝜈𝜈/(1 − 2𝜈)
c) Succión variable y resistencia a tracción variable en función de la succión matricial en la punta de la grieta
𝑧𝑐=𝑠0𝑠0
𝑊 + 𝐸 (2.3)
Dónde: 𝐸 =1−2𝜈−(1−𝜈)𝛼𝜈𝜈
𝑇𝑡𝑡𝑡𝜙𝑏𝑐𝑐𝑡𝜙′; 𝜙
𝑏 𝑦 𝜙′son ángulos de la superficie de falla por corte;
𝛼𝑇 = 0.5𝐵𝑡𝑡𝜙′.
Se comparan la resistencia a tracción del suelo y la tensión horizontal actuante que es función de del módulo de elasticidad E y el módulo de elasticidad debido a succión H. La succión por otra parte depende del nivel freático.
Estado del Arte
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2.4.1.2. Formulación Basada en la MFLE
En este caso se comparan el factor de intensidad de tensiones KI y el factor de intensidad de tensiones critico KIC. El factor de intensidad de tensiones se calcula con la tensión horizontal actuante (variable con la profundidad) y el segundo, que es una propiedad del material, se calcula a partir de la energía de superficie que son valores típicos reportados para suelos.
Para modo I de fractura, la tensión horizontal en la dirección perpendicular a la grieta es
𝜎𝑥 = (2𝜋𝜋)0.5𝐾𝐼�𝑐𝑐𝑠𝜃2 �1 + 𝑠𝑠𝑡𝜃2 𝑠𝑠𝑡3𝜃2 �� (2.4)
Donde r es la distancia desde la punta de la grieta y con una inclinación θ respecto del eje de
la grieta, y
K
I es el factor de intensidad de tensiones para el modo I.El factor de intensidad de tensiones crítico puede calcularse mediante:
𝐾𝐼𝐼=1 − 𝜈−2𝜉𝐸2 (2.5)
Donde E es el módulo de elasticidad de Young, 𝜈 es el módulo de Poisson y 𝜉 es la energía superficial específica del suelo. Lee & Ingles (1968) sugieren que 𝜉 varía entre 0.1 y 1.0 J/m2. Se han calculado los valores de zc para E = 5 MPa, 𝜈 = 0.3, 𝜈 = 18 − 20𝑘𝑘/𝜇3, s0 = 5-100
kPa, W = 0.5-10 m, y 𝜉 = 0.1 − 1 𝐽/𝜇2. Los resultados típicos se muestran en la Figura 2.21
para 𝑠 = 𝑠0(1 −𝑧𝑊𝑐); 𝜈 = 0.3; 𝐸 = 5𝑀𝑀𝑡; 𝜈𝑑 = 18𝑘𝑘/𝜇3 (arriba del nivel freático) y 𝜈𝑠𝑡𝑡 =
20𝑘𝑘/𝜇3 (debajo del nivel freático).
2.4.1.3. Formulación Basada en la Resistencia al Corte
Nuevamente en este caso se presentan tres análisis:a) El primer caso está basado en los planteamientos de Bagge (1985) que considera que el agrietamiento es un mecanismo que se produce entre una falla a tracción y en corte. Es decir, existe un punto de transición donde la falla pasa a ser de tracción a corte. En un plano (p-ua) – q como se muestra en la Figura 2.22, la línea AB es el límite de rotura en tracción y la línea BC es el límite de rotura por corte. El punto B es el punto de transición y corresponde a un estado donde la tensión vertical es lo suficientemente grande como para evitar que ocurra una rotura por tracción. Así, la línea BD con pendiente -3/2 representa la tensión vertical efectiva a la profundidad máxima de agrietamiento o profundidad critica zc.
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Figura 2.21 - Profundidad de grieta para MFLE. a) ζ = 0.1 J/m2. b) ζ = 1.0 J/m2. S = S
0(1 – zc)/W; ν =
0.3; E = 5 MPa; γd = 18 kN/m3; γsat = 20 kN/m3. (Morris, et al., 1992)
Figura 2.22 - Envolvente de falla a tracción, mostrando el efecto de la succión sobre la resistencia a tracción. (Morris, et al., 1992).
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Conocida la resistencia a tracción 𝜎𝑡 y a la envolvente de rotura por corte, se pueden localizar
los puntos B y D y a partir de D, se calcula la profundidad critica ya que 𝐷 = 𝜈𝑧𝑐, donde 𝜈 es el
peso específico del suelo.
Para 𝐵 = −0.5𝑐𝜏𝜏 (Baker, 1981) constante la expresión de la profundidad de grieta es:
𝑧𝑐= 𝑆0+ 3 + 2𝑀3𝐹 𝐵 𝑆0 𝑊 +3 − 𝑀3𝐹 𝜈 (2.6) Donde: 𝐹 =6𝑐𝑐𝑠𝜙′𝐵𝑡𝑡𝜙3 − 𝑠𝑠𝑡𝜙′𝑏 (2.7)
M es la pendiente de la línea BC en la Figura 2.22, S0 es el valor de la succión en la superficie, W es la profundidad freática, 𝜈 es el peso específico del suelo 𝜙′𝑦 𝜙𝑏 son parámetros de la
superficie de falla por corte en el espacio (𝑢𝑡− 𝑢𝑤) − (𝜎 − 𝑢𝑡) − 𝜏𝑓 (succión - tensión neta -
tensión de rotura por corte).
b) El segundo caso considera que la resistencia a tracción no es constante y es función de la succión: 𝜎𝑡 = −0.5(𝑢𝑡− 𝑢𝑤)𝐵𝑡𝑡𝜙𝑏𝑐𝑐𝐵𝜙′. 𝑧𝑐=𝑆 𝑆0 0 𝑊 + 𝐺 (2.8) Donde 𝐺 =18𝑐𝑐𝑠𝜙′𝐵𝑡𝑡𝜙𝑏 (3 − 𝑀)𝜈 3 − 𝑠𝑠𝑡𝜙′ − (3 + 2𝑀)𝛼𝑇𝐵𝑡𝑡𝜙𝑏𝑐𝑐𝐵𝜙′ (2.9)
c) El tercer caso se trata de un análisis tipo Rankine Figura 2.23. La rotura ocurre por corte cuando la tensión principal menor tiende a hacerse negativa (resistencia a tracción).
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Figura 2.23 - Esquema de la condición de falla basada en la solución de Rankine. (Morris, et al., 1992).
𝑧𝑐=𝑆 𝑆0 0 𝑊 + 𝐻 (2.10) Donde 𝐻 =𝐵𝑡𝑡𝜙𝑏[2𝑐𝑐𝑠𝜙𝜈(1 − 𝑠𝑠𝑡𝜙′)′− 𝛼 𝑇(1 + 𝑠𝑠𝑡𝜙′)𝑐𝑐𝐵𝜙′] (2.11)