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Fig.-4.26 Nomenclatura para las curvas horizonte.

Ahora, se procede a realizar la interpolación, con el fin de obtener una descripción geométrica de dichas regiones, para que puedan ser tratadas con independencia del modelo original.

Este procedimiento de acotar las regiones de estudio, para el caso del efecto de la onda de superficie, es un modo usual de resolver el problema del cálculo de las trayectorias geodesias. Esto pudo verse en el capítulo 1, apartado 1.5, en donde la región de interés se aproximaba mediante la superposición de geometrías desarrollables.

La interpolación aplicada es del tipo B-Spline y requiere la parametrización respecto a dos coordenadas paramétricas y , de cada una de las coordenadas espaciales de los puntos que forman las curvas horizonte. Para describir el proceso se presenta la siguiente figura, en la que aparecen representadas las curvas de horizonte.

La figura muestra a los puntos , en donde , es el subíndice que indica el número de curva al que pertenece y el índice del punto dentro de la curva. Como puede observarse, se ha tomado la orientación paramétrica , en la misma dirección que las curvas de horizonte. De este modo, la parametrización lleva a cabo las siguientes asociaciones entre los puntos extremos y su valores paramétricos en el futuro parche:

Al punto se le asocia el valor paramétrico . Al punto se le asocia el valor paramétrico . Al punto se le asocia el valor paramétrico .

(4.3)

(4.4) Al punto se le asocia el valor paramétrico .

Para los demás puntos, se aplica una parametrización dependiente de la distancia entre puntos, cuyas expresiones son :

En donde , es el módulo del vector que une los puntos y , mientras que , es el módulo del vector que une los puntos y . Como resultado final, dispondremos de tantos parches como horizontes hayan sido interpolados.

4.4.4 PROPAGACION SOBRE LOS PARCHES DE HORIZONTE

Los parches obtenidos mediante la interpolación, servirán de base geométrica para obtener las trayectorias geodésias. El procedimiento desarrollado para la evaluación de cada camino superficial, se basa en la aproximación de la geodésia mediante tramos rectos de corto recorrido, como se verá a continuación.

La siguiente figura muestra la secuencia de vectores que se definen sobre la superficie del parche, a modo de pequeños incrementos de avance.

Fig.-4.27 Propagación superficial en un parche.

(4.5)

En donde representa el punto de arranque de la geodésia sobre el contorno , que se corresponde con la primera curva de horizonte, como ya se describió anteriormente. A partir de este punto, comienza a construirse una malla de puntos que avanza sobre la superficie, describiendo mediante tramos rectilíneos la trayectoria geodésica. Para ello se genera un punto de apoyo, denotado por , que es obtenido aplicando un desplazamiento en direcciona perpendicular al vector de incidencia . Este desplazamiento vendrá dado por la siguiente expresión:

Si consideramos que el punto tiene de coordenadas paramétricas , el punto quedará definido por las coordenadas . Los incrementos asociados al desplazamiento, se obtienen fijando un pequeño incremento de avance para la coordenada y aplicando la condición de perpendicularidad para la coordenada , tal y como define la siguiente expresión:

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10) Con lo que el queda definido por :

Una vez obtenido el punto de apoyo en la direcciona , retornamos al punto , para realizar un nuevo desplazamineto en la dirección , definida por la siguiente expresión:

El nuevo punto tendrá de coordenadas paramétricas , que pueden ser obtenidas fijando ahora un pequeño incremento para y aplicando la condición de perpendicularidad definida por:

Con lo que se obtiene la siguiente expresión para :

El punto queda definido y el proceso continua retomando el punto , para desplazarlo en dirección perpendicular a , cuya expresión es:

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14) Con lo que el punto , mostrado en la figura anterior, tendrá de coordenadas paramétricas

. El incremento para la coordenada es obtenido a partir las condición:

Estableciéndose la relación siguiente:

Por otro lado, el incremento para la coordenada es fijado aplicando la siguiente condición :

De este modo se ha completado un ciclo en el proceso de propagación, ahora puede ser definido un nuevo vector y proseguir la propagación a partir de los puntos , para lograr las nuevas posiciones de avance definidas , aplicándose de forma reiterada los pasos anteriormente descritos.

El proceso iterativo finalizará en el momento en que las coordenadas paramétricas del punto propagado, tomen valores fuera del intervalo de definición del parche. El proceso seguido para una geodésia que tiene como punto de arranque el , se repite para un número finito de puntos de arranque pertenecientes al contorno , con el propósito de obtener una nueva representación del parche base a través de las curvas de propagación.

Fig.-4.28 Nomenclatura para las curvas de propagación.

4.4.5 GENERACION POR INTERPOLACION DE LOS PARCHES DE

PROPAGACION

El proceso de interpolación B-Spline, se repite nuevamente, pero ahora los puntos describen las curvas de propagación sobre la superficie. En este caso es preciso parametrizar respecto a y , cada una de las coordenadas espaciales de los puntos que forman las curva de propagación. Para este caso, en la siguiente figura aparecen representadas las curvas de propagación.

La figura muestra a los puntos , en donde , es el subíndice que indica el número de curva al que pertenece y el índice del punto dentro de la curva. Para este caso se ha tomado la orientación paramétrica , en la misma dirección que las curvas de propagación, por lo que las curvas geodésias coincidirán con las curvas isoparamétricas a . La parametrización aplicada, establece las siguientes asociaciones entre los puntos extremos y su valores paramétricos en el futuro parche de propagación:

Al punto se le asocia el valor paramétrico . Al punto se le asocia el valor paramétrico . Al punto se le asocia el valor paramétrico

Al punto se le asocia el valor paramétrico .

Para los demás puntos, se aplica una parametrización dependiente de la distancia entre puntos, cuyas expresiones son :

(4.15)

(4.16)

Fig.-4.29 Parche de propagación.

En donde , es el módulo del vector que une los puntos y , mientras que , es el módulo del vector que une los puntos y . Como resultado final dispondremos de tantos parches, como horizontes hayan sido interpolados. La siguiente figura muestra el resultado final del proceso, denotándose por las geodésias, que para este parche coinciden con las curvas isoparamétricas

REFERENCIAS

[1] G.Farin. "Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design". Academic Press. 1988.

[2] M. E. Mortenson, " Geometric Modeling ", John Wiley & Sons.

[3] David F. Rogers. "Procedural Elements for Computer Graphics". McGraw-Hill International Editions. 1985.

[4] J.D. Foley, A, Van Dam, S.K. Feiner, J.F. Hughes. "Computer Graphics, principles and practice". Addison Wesley. 1990

[5] R. E. Barnhill, R. F. Riesenfeld. "Computer Aided Geometric Desing". Academic Press 1974.