CHAPTER 2. BUILDING PERMIT
3.2. Occupancy Permit Process
3.2.1. Field Inspections
3.2.2.3. Insulation and Structural Framing Inspection
2.9.Problema de minimización de gastoProblema de minimización de gasto
El problema de minimización de gasto, surge de la crítica de John Hicks hacia la metodología planteada por Slutsky en relación a la medición de los efectos sustitución y renta partiendo de las demandas Marshallianas en la consolidación de una cesta hipotética que manteniendo constante el nivel de ingresos en dos escenarios uno previo y otro posterior a la variación del precio de uno de los bienes en el mercado.
Hicks afirma que la decisión de un consumidor puede ser descrita partiendo del mínimo nivel de bienestar admisible de tal manera que este consiga tomar una decisión optima minimizando su gasto, esto implicara la existencia de una función de isogasto determinaría en su punto de tangencia con las curvas de indiferencia, el mínimo gasto posible ante un nivel mínimo de utilidad admisible.
La metodología planteada por Hicks parte de la minimización del gasto de las unidades familiares sujeto a una función de utilidad, al menos tan buena como el mínimo nivel de utilidad admisible.
min
∈
Sujeto a
,
≥
En ese sentido el argumento mínimizador conducirá a la estimación de las Demandas Hicksianas o Compensadas
ℎ,
y una función de mínimo gasto ,
en función de los precios y la utilidad. De esta manera se logra encontrar una cesta de consumo de la función del mínimo gasto dada una utilidad que represente el mínimo nivel de bienestar admisible, condicionado la situación de tangencia entre las isocuantas y las curvas de indiferencias como se muestra en la siguiente ilustración para el caso de una función de utilidad doblemente diferenciable.Apuntes de Microeconomía para estudiantes de ciencias económicas. Juan Pablo Herrera Saavedra
Ilustración 23 minimización del gasto a un nivel de bienestar admisible dado Ilustración 23 minimización del gasto a un nivel de bienestar admisible dado
Cuando se tienen curvas de indiferencia estrictamente convexas se puede partir del siguiente Lagrangeano con el fin de estimar las demandas Hicksianas de la siguiente manera:
ℒ
,
Derivando con respecto
,
y
igualando a cero se tiene:ℒ
0
(1)ℒ
0
(2)ℒ
,
0
(3) De la condición (1) y (2) se reconoce;
⁄ ⁄ |...|
Siendo
|.. .|
el punto de tangencia entre la isogasto y la curva de indiferencia querepresenta el mínimo nivel de bienestar admisible. Por otra parte de la condición (3) se reconoce:
Apuntes de Microeconomía para estudiantes de ciencias económicas. Juan Pablo Herrera Saavedra
Garantizando la igualdad entre la utilidad y el mínimo nivel de beneficio admisible. Con el fin de avanzar en el cálculo de las demandas Hicksianas del problema de minimización del consumidor, se supone una función de utilidad de tipo Cobb-Douglas.
.
Donde,
,
> 0
y
,
∈ [0,1]
así continuando el argumento mínimizador mediante la técnica de Lagrange se tiene.
|... |
(1)
(2) Despejando
de (1),
Reemplazando en la condicione 2,
+
ℎ
,
,
+
+
+
Siendo
ℎ
,
,
la demanda Hicksiana que minimiza el gasto a un nivel admisible de bienestar del bien 1, siendo de manera simétrica la siguiente expresión la demanda Hicksianadel bien 2,
ℎ
,
,
+
+
+
Con el fin de encontrar la función de mínimo gasto es necesario reemplazar las demandas Hicksianas en la función presupuestal de la siguiente manera.
,
,
ℎ
,
,
ℎ
,
,
,
,
+
+
+
+
+
+
+
+
,
,
+
+
+
+
+
Apuntes de Microeconomía para estudiantes de ciencias económicas. Juan Pablo Herrera Saavedra
Donde
entonces,
,
,
+
+
+
Siendo
,
,
la función de gasto mínimo q ue garantiza un nivel de bienestar admisible, si lo que se quiere es observar el grado de sustitubilidad entre el bien uno y el bien dos controlando por la utilidad bastaría con observar la función de gasto mínimo aplicando logaritmo en ambos lados de tal manera que se consiga determinar la elasticidad precio gasto de cada uno de los bienes así.log(
,
,)
log
log
1
loglog
Donde,
log(log
,
,)
log(log
,
,)
Siendo
y
las elasticidades precio gasto del bien 1 y el bien 2 respectivamente inelásticas, donde un incremento del igual proporción del bien 1 y el bien dos se refleja en un incremento de igual proporción sobre el gasto haciendo de la función de gasto homogénea de grado uno lo que quiere decir que la función de mínimo gasto está en términos homogéneos.Continuado con los ejemplos presentes desde el problema de minimización de gastos del consumidor se presenta a continuación la función de utilidad Leontief con el fin de describir bienes complementarios perfectos tal que la variación n precios no incida en la determinación de la cesta de minimización del gasto pues finalmente e consumidor terminara por dedicar proporciones exactas en el consumo del bien uno y el bien dos como se ve en la siguiente
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Ilustración 24 Función de utilidad Leontief, con curvas isocuantas a distintos niveles Ilustración 24 Función de utilidad Leontief, con curvas isocuantas a distintos niveles
de pendiente de pendiente
De tal manera que se consiguen plantear las siguientes expresiones.
,
min
,
(1) Sea
< 0
(2)Con el fin de determinar las demandas Hicksianas se tiene de (1) y (2) lo siguiente
ℎ
,
, ∝
ℎ
,
, ∝
Reemplazando las demandas Hicksianas en la función de mínimo gasto se tiene.
,
,
∝
∝
,
, ∝
∝
Siendo la función de gasto mínimo que garantiza un nivel admisible de bienestar para el caso de dos bienes perfectamente complementario. Finalmente si lo que se pretende es analizar como el consumidor toma decisiones desde la minimización del gasto para el caso en el que este se enfrente a una situación de bienes sustitutos perfectos se ha de prestar una función de máximo con el fin de garantizar la solución de esquinas en el que el individuo consiga
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minimizar su gasto dedicándolo al consumo de uno de los dos bienes lo cual terminara por plantear tres posibles situaciones en la elección del individuo según la información que se tenga respecto a la relación de precios, siendo la función de utilidad para bienes sustitutos la siguiente expresión.
,
max∝
,∝
Donde
∝
,∝
< 0
Ilustración 25 Función de utilidad para bienes sustitutos Escenarios Ilustración 25 Función de utilidad para bienes sustitutos Escenarios
Como se presenta en la ilustración anterior para el caso de los bienes sustitutos perfectos se pueden presentar tres situaciones las cuales serán planteadas a continuación respecto a la
cesta de minimización de gasto que garantiza un mínimo bienestar admisible.
ℎ,
∝0, ∝
,0
< ∝ > ∝∝∝
1 2
∝
,0 0, ∝
∝∝
3
Finalmente la función de gasto mínimo se define de la siguiente manera:
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