Figura 5.1:Diagramas de Venn: este tipo de diagramas son ilustraciones utilizadas en el campo de las matem´aticas conocido como Teor´ıa de Conjuntos. Se emplean para mostrar las relaciones matem´aticas o l´ogicas entre diferentes conjuntos de cosas.
5.2.
Definici´on y propiedades de la probabilidad
5.2.1.
Concepto cl´asico de probabilidad
El concepto de probabilidad surge para medir la certeza o incertidumbre de un suceso de un experimento aleatorio. Hist´oricamente, la teor´ıa de la probabilidad se desarroll´o en primer lugar para encontrar estrategias ´optimas para los juegos de azar, aunque, r´apidamente, su utilidad desbord´o este campo. Evidentemente, la forma m´as directa de saber la posibilidad de que ocurra un suceso en un experimento aleatorio es repetir dicho experimento muchas veces. De esta forma, supongamos que se repitanveces el experimento y llamemos nA, o frecuencia absoluta deA, al n´umero de veces en que ocurre el suceso A. Se puede definir entonces la probabilidad P(A)del suceso Acomo
P(A)≡ l´ım n→∞
nA
n = l´ımn→∞
frecuencia absoluta del sucesoA
n´umero de veces que se repite el experimento, (5.1) es decir,P(A) es el l´ımite cuandontiende a infinito de la frecuencia relativa del sucesoA. Puede observarse que si el suceso ocurre siempre nA = n y P(A) = 1, y, al contrario, si el suceso no ocurre nunca, su probabilidad P(A) = 0. De esta forma, la probabilidad de un suceso estar´a comprendida entre 0 y 1 (0≤ P(A)≤1), y el suceso ser´a tanto m´as probable cuanto m´as se acerque a 1 su probabilidad.
Ejemplo II–1 El lanzamiento de la moneda al aire es cl´asico. La probabilidad de obtener cara o cruz esP(A) = 1/2. En 1900 el estad´ıstico Pearson realiz´o el experimento con un n´umero total de lanzamientos de 24000 (tard´o unas 40 horas). Obtuvo un resultado de 12012 caras (y 11988 cruces). Esto significa P(A) = 12012/24000 = 0.5005 que es un valor muy pr´oximo a la probabilidad te´orica.
La definici´on anterior implica, evidentemente, que hay que repetir un gran n´umero de veces el experimento para calcular la probabilidad de un suceso. Afortunadamente, el c´alculo de la probabilidad se puede simplificar mucho en el caso en que todos los sucesos elementales sean equiprobables (es decir, sus frecuencias sean iguales cuando el experimento se repite un gran n´umero de veces). En este caso, la probabilidad de un suceso se puede establecer a partir de la definici´on, introducida por Laplace, seg´un la cualP(A) es el cociente entre el n´umeroade casos favorables al sucesoA(o n´umero de sucesos elementales en que se daA) y el n´umeroN
50 Leyes de probabilidad
de casos posibles (o n´umero de sucesos elementales del espacio muestral) P(A) = a
N =
casos favorables
casos posibles . (5.2)
En particular, en este caso de sucesos equiprobables, la probabilidad de un suceso elemental ser´a:P(A) = 1 N. Ejemplo II–2 El lanzamiento de un dado no trucado supone que los sucesos son equiprobables. As´ı la probabilidad
de obtener un 4 al lanzar un dado ser´a 1/6. Como ejemplo de un suceso compuesto, la probabilidad de obtener un n´umero par en dicho lanzamiento ser´a P(A) = 3/6 = 1/2, ya que hay tres casos favorables
{2,4,6}de seis posibles{1,2,3,4,5,6}.
A veces sucesos que parecen equiprobables no lo son. Por ejemplo si se estudia una ruleta en parti- cular durante el tiempo suficiente, se comprueba que no todos los n´umeros son equiprobables. Esto es debido a peque˜nas imperfecciones en la propia ruleta. Por esta causa los casinos no permiten la entrada a los jugadores que anotan sistem´aticamente los resultados de sus ruletas ya que ´estos jugar´ıan con ventaja si conocieran bien su comportamiento.
5.2.2.
Definici´on axiom´atica de la probabilidad
Las definiciones anteriores presentan serias dificultades: o bien se necesita repetir el experimento un n´umero muy grande de veces, o se ha de estar seguro que todos los sucesos elementales son equiprobables (lo cual no siempre es obvio). Por estos motivos se utiliza la siguiente definici´on, m´as correcta, de probabilidad: Dado un experimento aleatorio con un espacio muestral S y representando por A a un suceso, o sub- conjunto, cualquiera del espacio muestral, se define laprobabilidadP(A) como una funci´on real que hace corresponder a cadaAun n´umero real de forma que se cumplen los tres axiomas siguientes:
1. Para cada suceso A
P(A)≥0, (5.3)
es decir, la probabilidad de cualquier suceso es mayor o igual que cero. 2. Para el suceso seguroS
P(S) = 1. (5.4)
3. Dados dos sucesosAyB incompatibles (A∩B= Ø)
P(A∪B) =P(A) +P(B). (5.5)
Es decir, la probabilidad del suceso uni´on de dos incompatibles es la suma de las probabilidades de ambos sucesos. Esto se puede generalizar a cualquier n´umero de sucesos incompatibles
P(A1∪A2∪. . .∪An∪. . .) =P(A1) +P(A2) +. . .+P(An) +. . .
Estos axiomas constituyen la base sobre la que se puede construir toda la teor´ıa del c´alculo de probabi- lidades. N´otese que las propiedades anteriores son coherentes con la definici´on de la probabilidad basada en las frecuencias relativas de un gran n´umero de experimentos.
5.2.3.
Propiedades de la probabilidad
5.2 Definici´on y propiedades de la probabilidad 51
Si A" es el suceso complementario de A, entonces
P(A") = 1−P(A). (5.6)
Efectivamente, puesto queA∪A"=S y teniendo en cuenta queA y su complementario son incompa-
tibles (A∩A"= Ø)
P(A∪A") =P(S) ⇒ P(A) +P(A") = 1
Ejemplo II–3 En el caso del lanzamiento de un dado,
A: obtener un 6 P(A) = 1/6
A"
: que no salga un 6 P(A"
) = 1−P(A) = 1−(1/6) = 5/6.
Lo que ya sab´ıamos ya que ´este es el cociente entre casos favorables (5) y posibles (6).
La probabilidad del suceso imposible es cero
P(Ø) = 0. (5.7)
Se demuestra a partir de la propiedad anterior y teniendo en cuenta que el suceso imposible es el complementario del suceso seguro (Ø"=S)
P(Ø) = 1−P(S) = 1−1 = 0.
A partir del primer axioma y la propiedad anterior, se puede ver que para cualquier sucesoA
0≤P(A)≤1. (5.8)
Si un sucesoAest´a contenido en otroB, se cumple (por definici´on de un suceso contenido en otro)
A⊂B ⇒ P(A)≤P(B) (5.9)
Si AyB son dos sucesos cualesquiera, siempre se cumple
P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B). (5.10) En el caso particular de que los sucesos fuesen incompatibles (A∩B = Ø) esta propiedad se reducir´ıa al tercer axioma de la probabilidad.
Ejemplo II–4 Calcular la probabilidad de obtener o un n´umero par o un n´umero mayor que 3 en el lanzamiento de un dado.
A : obtener un n´umero par P(A) = 3/6 = 1/2 {2,4,6}
B : obtener un n´umero mayor que 3 P(B) = 3/6 = 1/2 {4,5,6}
P(A∩B) = 2/6 ; ({4,6}es el espacio muestral) P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) = 1 2+ 1 2− 2 6 = 4 6 = 2 3
que era lo esperado ya que el espacio muestral es en este caso{2,4,5,6}, es decir, 4/6 = 2/3.
Para demostrar esta propiedad hacemos uso del diagrama de Venn (Figura 5.2), en el cual es f´acil de comprobar que se verifica
A= (A∩S) = (A∩(B∪B") = (A∩B)∪(A∩B").
52 Leyes de probabilidad
Figura 5.2:Diagrama de Venn representando la probabilidad de un suceso uni´on de dos sucesos no incompatibles.
De la misma forma
B= (A∩B)∪(A"∩B).
Por tanto
A∪B = (A∩B)∪(A∩B")∪(A"∩B).
Puesto que en cada una de las expresiones anteriores, los sucesos del t´ermino de la derecha son incom- patibles entre s´ı, usando el tercer axioma podemos escribir
P(A) =P(A∩B) +P(A∩B") ⇒ P(A∩B") =P(A)−P(A∩B) P(B) =P(A∩B) +P(A"∩B) ⇒ P(A"∩B) =P(B)−P(A∩B)
P(A∪B) =P(A∩B) +P(A∩B") +P(A"∩B)
Sustituyendo las dos primeras expresiones en la tercera
P(A∪B) =P(A∩B) +P(A)−P(A∩B) +P(B)−P(A∩B) = =P(A) +P(B)−P(A∩B),
como quer´ıamos demostrar.
La propiedad anterior se puede generalizar a la uni´on de m´as de dos sucesos. En el caso de tres sucesos cualesquiera tendr´ıamos
P(A∪B∪C) =