PART II: IN-CLASS OBSERVATION
INTERVIEW QUESTIONS
1. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto Œ"ß$È$ y tiene una # excentricidad de # &Þ È Respuesta. %B #!C œ "$*# #
2. Los puntos a b$ß ! y a $ß !b son los focos de una elipse y la longitud de cualquiera de sus lados rectos es Hallar la ecuación dela elipse.*Þ
Respuesta.
#(B $'C œ "!&$# #
3. Si T Ð?ß @Ñ es un punto cualquiera de la elipse , B + C œ + , Þ# # # # # # Demostrar que los radios vectores son: < œ + /?" y < œ + /?Þ#
%Þ Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que dividen a las ordenadas de los puntos de la circunferencia B C œ "'# # en la razón " À %Þ
Respuesta.
. B #&C œ "'# #
5. Una elipse está centrada en el origen y su eje mayor coincide con el eje BÞ Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos ŠÈ'ß "‹ Šy #ßÈ# Þ‹
Respuesta.
. B #C œ )# #
6. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos a b!ß ! y a b'ß ! Þ Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto que se mueve de modo que el producto de las tangentes de los ángulos de las bases es siempre igual a %Þ
Respuesta.
. %B C #%B œ !# #
7. Los extremos de un diámetro de la elipse , B + C œ + ,# # # # # # son T y T Þ Si J
" #
es uno de los focos de la elipse. Demostrar que la suma de los radios vectores J T"
8. Si es un número positivo. Demostrar que la ecuación 5 $B %C œ 5# # representa a una familia de elipses, cuya excentricidad es ."
#
9. El centro de una elipse es el punto a#ß % ßb el vértice y el foco de un mismo lado del centro son los puntos a #ß %b y a "ß %brespectivamente. Hallar la ecuación de la elipse, su excentricidad, la longitud de su eje menor y la de cada lado recto.
Respuesta.
( B # "' C % œ ""#ß / œ !Þ(&ß #, œ # (ß ( #
a b# a b# È
10. Dada la elipse B %C 'B "'C #" œ !ß# # determine:
La ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, longitudes de sus ejes mayor y menor, longitud de su lado recto y excentricidad.
Respuesta.
aB $b# % C #a b# œ %à $ß # à &ß # ß Ð"ß #Ñ àa b a b Š$ È$ß # ß‹ Š$ È$ß # à %‹ #à "à È$Þ
# y
11. Desde cada punto de la circunferencia B C %B %C ) œ !# # se traza una perpendicular al diámetro paralelo al eje BÞ Hallar la ecuación del lugar gemétrico de los puntos medios de estas perpendiculares.
Respuesta.
B %C %B "'C % œ !# #
12. Demostrar que las tangentes a una elipse trazadas desde los extremos de un diámetro cualquiera son paralelas entre si.
13. Desde el punto a b#ß ( ßse trazan paralelas a la elipse #B C #B $C # œ !Þ# #
Hallar las coordenadas de los puntos de contacto.
Respuesta.
a b Œ"ß " à "$ #*ß
* *
14. Hallar las ecuaciones de las tangentes a a elipse $B C %B #C $ œ !# # y que son perpendiculares a la recta B C & œ !Þ
Respuesta.
B C " œ !à $B $C "$ œ !
Note que no pertenece a la elipse. , B + C œ + , ß# # # # # # a?ß @b
Respuesta.
, ?B + @C œ + ,# # # #
16. Demostrar que las tangentes a una elipse en dos puntos diametralmente opuestos, son paralelas.
17. Para que valores del parámetro los puntos de la forma >ß a" >ß #>bse encuentran en el interior de la elipse.
Respuesta.
" Ÿ > Ÿ % &
18. Dadas: la elipse , B + C œ + ,# # # # # #, la circunferencia B C œ ,# # # y la recta C : œ !ß ésta ultima interseca al eje en el punto C R ß a la circunferencia en U y a la elipse en T ÞDemostrar que se verifica R T œ + Þ
R U ,
19. Si U y Uw son puntos de las circunferencias inscrita y exinscrita a una elipse, de modo que un punto T de la elipse tiene la ordenada de U y la abscisa de U Þw
Demostrar que la recta UUwpasa por el origen de coordenadas.
20. El punto medio de una cuerda de la elipse , B + C œ + ,# # # # # # es a?ß @b Encontrar la ecuación de la cuerda.
Respuesta.
C @ œ , ?ÐB ?Ñ + @
# #
21. Demostrar que el módulo de la pendiente, de las tangentes trazadas desde el punto donde un lado recto corta a la elipse es igual a su excentricidad.
22. El lado recto de una elipse corta a ella en Vß se traza una cuerda por el foco J -ß !"a b y por el punto Ð!ß ,Ñ que corta en T a dicha elipse. Demostrar que
J T J V
J F œ J V
" " " #
siendo J# el otro foco.
23. Demostrar que en toda elipse, la suma de los cuadrados de dos semidiámetros conjugados es igual a la suma de los cuadrados de los dos semiejes.
24. Un segmento EF de longitud unidades se desliza de forma que sus extremos se' apoyan sobre los ejes cartesianos rectangulares. Entre los puntos y E F se elige un punto tal que T E œ #T FÞ Determine el lugar geométrico descrito por T Þ
Respuesta.
"'B %C œ '%# #
25. Desde un punto cualquiera de una elipse se trazan las rectas que la unen a los vértices y E E Þw Estas rectas cortan al eje FFwen los puntos Q y R ÞProbar que SQ † SR œ ,#.
26. Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos a$ß #b a by (ß ' ßtiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el eje BÞ
Respuesta.
%B &C œ "'Þ# #
27. Los vértices de una hipérbola son los puntos a b#ß ! y a #ß !b si sus focos son a b a$ß ! y $ß ! Þb hallar su ecuación y su excentricidad.
Respuesta.
&B %C œ #!à "Þ&# #
28. Los vértices de una hipérbola son los puntos a #ß #b ay #ß %b y la longitud de su lado recto es # ÞHallar su ecuación, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.
Respuesta.
$ C " * B # œ #(à Ð #ß " $Ñà Ð #ß " $Ñà # $ $
a b# a b# È È È
29. Dada la hipérbola #&B $'C œ *!!# # Determine: los focos, sus asíntotas y el área del triángulo determinado por las asíntotas y la tangente en el vértice Z Ð'ß !ÑÞ
Respuesta.
J Ð '"ß !Ñß J Ð " È # È'"ß !Ñà 'C œ „ &Bà $!Þ
30 Dada la hipérbola Þ B %C 'B "'C #" œ !ß# # determine:
Su ecuación canónica, su centro de simetría, vértices, focos, asíntotas , longitud de su lado recto y excentricidad.
Respuesta.
% C # B $ œ "'à $ß # à $ß ! ß Ð"ß #Ñ à $ß # a b# a b# a b a b Š È& ß‹ Š$ß # È& à #C % œ „ ÐB $Ñà %à‹ È&
#
31. Si es un número positivo. Demostrar que la ecuación 5 $B $C œ 5# # representa a una familia de hipérbolas, cuya excentricidad es È#.
32. Hallar los puntos de intersección de la recta #B *C "# œ ! con las asíntotas de la hipérbola %B *C œ ""Þ# #
Respuesta.
a b a$ß # à "Þ&ß "b
33. Demostrar que si las asíntotas de una hipérbola son perpendiculares entre si, la hipérbola es equilátera.
34. Hallar la ecuación de una hipérbola equilátera que pasa por el punto a "ß &b y tiene por asíntotas a los ejes coordenados.
Respuesta.
BC œ &
35. Demostrar que la distancia de cualquier punto de una hipérbola equilátera a su centro es media proporcional geométrica entre las longitudes de los radios vectores del punto.
36. La excentridad de la hipérbola , B + C œ + ,# # # # # # es / ÞSi la excentricidad de su
"
hipérbola conjugada es / Þ# Demostrar que / À / œ , À +Þ" #
37. Si es el ángulo agudo de inclinación de una asíntota de la hipérbola! , B + C œ + ,# # # # # #. Demostrar que su excentricidad es igual a =/- Þ
38. Demostrar que si una recta es paralela a una asíntota de una hipérbola, corta a la curva solamente en un punto.
39. La base de un triángulo es de longitud fija, siendo sus extremos los puntos a b!ß ! y a b%ß ! Þ Hallar e identificar el lugar geométrico del vértice opuesto si uno de los ángulos de la base es siempre igual al doble del otro.
Respuesta.
$B C "'B "' œ !à $B C )B œ !Þ# # # #
40. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola B #C %B )C ' œ !# #
que son paralelas a la recta %B %C "" œ !Þ
Respuesta.
B C " œ !à B C " œ !
41. Hallar el ángulo formado por las tangentes trazadas desde el punto a b$ß ' ala hipérbola B C %B #C & œ !Þ# #
Respuesta.
42. Demostrar que la elipse #B C œ "!# # y la hipérbola %C B œ %# # son ortogonales entre sí, en sus puntos de intersección.
43. Demostrar que la pendiente de la tangente a una hipérbola en cualquier extremo de sus lados rectos, es numericamente igual a su excentricidad.
44. Demostrar que el punto de contacto de cualquier tangente a una hipérbola es el punto medio del segmento de tangente comprendido entre las asíntotas.
45. En cualquier punto T ß excepto uno de sus vértices de una hipérbola equilátera, se traza una normal que corta al eje focal en el punto UÞ Si Ses el centro de simetría de la hipérbola, demostrar que lST l œ lT UlÞ
46. Demostrar que en una hipérbola equilátera dos diámetros ortogonales tienen longitudes iguales.
47. Por un punto T de una hipérbola se traza una recta paralela al eje transversal y6ß ésta recta corta a las asíntotas en los puntos U y Vß demuestre que se cumple que T U † T V œ +# y cuano es paralela al eje conjugado se verifica 6 T U † T V œ , Þ# 48. Sean dos hipérbolas equiláteras y concéntricas de modo que los ejes de una de ellas
sean las asíntotas de la otra. Demostrar que las hipérbolas se cortan ortogonalmente. 49. Estudiar para que valores de +ß ,ß - la ecuación BC +B ,C - œ ! representa
a una hipérbola con asíntotas paralelas a los ejes coordenadosÞ
50. Determinar el área de un rectángulo formado por las perpendiculares bajadas desde los focos de la hipérbola , B + C œ + ,# # # # # # a una tangente cualquiera de ella. 51. Una tangente a una hipérbola se prolonga hasta sus puntos de intersección con sus
asíntotas. Encuentre la magnitud ST † ST" # siendo T"y T# los puntos de intersección y S el centro de la hipérbola.
52. Si las asíntotas de una hipérbola forman un ángulo de #=, demuestre que
>1= œÈ/ "#
donde es su excentricidad./
53. Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene por focos y vértices los vértices y focos de la elipse %B *C %)B (#C "%% œ !# # respectívamente.
Encuentre las asíntotas de la misma. Grafique ambas cónicas.
54. Determine la ecuación de la elipse que tiene por vértices los puntos de intersección de las asíntotas de la hipérbola *B %C $'B $#C '% œ !# # con el eje ] ß y que pasa por el punto Ð$ $ß $Ñ
# È
Þ
55. Determine las coordenadas de los puntos, en los cuales la tangente a la elipse: B % C œ %# # sea paralela a la recta C œ BÞ
Respuesta.
B œ … % ß C œ „ " & &
! È ! È
56. Por el punto T #ß (a b se trazan tangentes a la elipse #B C #B $C œ ## # Hallar las coordenadas de los puntos de contacto.
Respuesta.
a b Œ"ß " ß "$ #*ß
* *
57. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse $B C %B #C $ œ !# # que son perpendiculares a la recta B C & œ !
Respuesta.
B C "à $B $C "$ œ !
58. Dados los focos J #ß $"a b y J #ß "a b y la longitud del eje mayor que es 8, obtener la ecuación y los elementos de la elipse.
Respuesta.
"#B %BC "&C )B '!C ""' œ !# #
59. Una circunferencia móvil es tangente a las circunferencias: G À B C %B œ !" # # ; G À B C "'B $' œ !# # #
Identifique el lugar geométrico que describe el centro de la circunferencia móvil.
Respuesta.
$B %C $!B $$ œ !# #
60. Encuentre la ecuación de la tangente a la hipérbola
B #C #B )C $ œ !# #
en el punto a b"ß % Þ Determine también las ecuaciones de sus asíntotas.
Respuesta.