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Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) nació en San Petesburgo (Rusia), estudió matemáticas, física y filosofía en la universidad de Berlín, donde tuvo como profesores a Karl

Weierstrass, Ernst Kummer y Leopold Kronecker, sin embargo, sólo se enfocó en las matemáticas y la filosofía. Fue catedrático de la Universidad de Halle. Sus primeros estudios en las series de Fourier lo llevaron a desarrollar una teoría acerca de los números irracionales y, posteriormente, a realizar un trabajo sobre la teoría de conjuntos, lo que lo llevó a ser el inventor de la teoría de conjuntos junto a Dedekind y Fredge, la cual es el fundamento de las matemáticas modernas. Por otro lado, fue el primero en formalizar la noción de infinito haciendo uso de los números transfinitos29_.

Desde el punto de vista de la teoría de los números, al igual que Dedekind, varios matemáticos, tales Weierstrass, Meray (1835-1911) y Ohm (1789-1854), intentaron construcciones de los números irracionales. Sin embargo, Cantor intuyó que en estas definiciones se estaban cometiendo errores lógicos30, pues se presuponía su existencia. Por ende, pensó en establecer una teoría más eficaz de estos números para no entrar a definir los números reales como límites de las sucesiones convergentes o sucesiones que se aproximaban a un sólo número sin haber definido el conjunto al que pertenecen.

En primer lugar, Cantor intuyó que los números racionales contribuirán a la definición de los números irracionales, además, consideró que evitando el error lógico se podrían establecer a estos últimos, con “la misma precisión, distinción y claridad que los números racionales”. Así, pudo

29 _{Los números transfinitos aparecen por primera vez en 1880 en un artículo corto donde Cantor manifiesta el trasfondo}

de los números infinitos a través de conjuntos derivados de segunda especie, con el fin de referirse a los ordinales infinitos, que son mayores que cualquier número natural. Cantor sólo tomaba a estos números como “símbolos infinitos”, sin embargo en 1882 se conciben como números. Para conocer más acerca de esto, ver libro: Fundamentos para una teorìa general de conjuntos. Una investigación matemática-filosófica sobre la teoría del infinito de Cantor.

30 _{En la definición de Weierstrass se comete un error lógico, de acuerdo a Cantor, ya que la definición de la suma ∑ 𝑎} 𝑛 sólo se obtiene igualando al número dado b, que necesariamente debe haberse definido antes (Cantor, 1882. pp. 110). Asimismo, desde los aportes de Dedekind, Cantor considera que existe un inconveniente, puesto que dado un número b, le corresponde sólo una única cortadura y, desde el punto de vista del análisis la presentación de los números, no se rige bajo cortaduras (Cantor, 1882. pp. 111).

intuir que se debía tener bien definido el conjunto de los números racionales y el concepto de infinito. Cantor visualizó la correspondencia entre las sucesiones fundamentales (que serán definidas más adelante), de modo que si una sucesión {𝑎𝑛} está relacionada con un límite 𝑏, y otra

sucesión {𝑏_𝑛} es igual a la sucesión {𝑎_𝑛}, entonces, 𝑏 es también el límite de {𝑏_𝑛}.

Dado entonces los nuevos límites de las sucesiones convergentes, Cantor visualizó a este nuevo conjunto como un “sistema B”, que podría lograr la categoría de un sistema numérico, si éste adquiría una estructura de cuerpo ordenado31, lo cual pudo demostrar con las propiedades aritméticas y la relación de orden, que serán expuestas más adelante. Ahora bien, considerando que el nuevo sistema 𝐵 ya constaba de una estructura de cuerpo ordenado, entonces Cantor formalizó que este sistema componía el conjunto de los números reales, puesto que visualizaba que cada uno de los elementos de 𝐵 estaban en correspondencia con cada punto de la recta. En definitiva, en los números racionales la correspondencia con la recta es uno a uno, mientras que en los irracionales, si ese punto no tiene relación con la unidad, entonces ese número puede ser aproximado lo más que se pueda mediante una sucesión de puntos racionales. De esta manera, Cantor manifestó que, dada una sucesión fundamental que se aproximaba a un punto, entonces “la distancia del punto al ser determinado al origen, es igual a 𝑏, donde 𝑏, 𝑏 es el número correspondiente a la sucesión {𝑎_𝑛}”. Por tanto, Cantor pudo visualizar que a cada punto de la recta le corresponde un único punto en 𝐵, es decir, que la unicidad de los puntos en 𝐵 se satisfacía, sin embargo, no podía garantizar la unicidad a la inversa (cada elemento de 𝐵 le correspondiera un

31 _{Un conjunto se puede establecer como un cuerpo ordenado, si sobre él se establece la relación de orden y las}

único punto de la recta). Como resultado, vio la necesidad de introducir el siguiente axioma: “A cada número le corresponde un punto en la recta, con coordenada igual al número32_”.

3.2.1 Herramientas necesarias para formalizar los números reales

Cantor, para construir la definición de números irracionales, primero debía determinar lo que era una sucesión fundamental e igualdad entre sucesiones.

3.2.1.1 Sucesiones fundamentales

Dada una sucesión infinita 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, . . . , 𝑎_𝑛, . .. de número racionales, es fundamental si se cumple que: para cualquier número racional arbitrario (𝜀 𝜖 𝑄), existe un número entero (𝑁 𝜖 𝑍) de tal manera que para todo 𝑚 y 𝑛 se cumple:

|𝑎𝑛+𝑚 − 𝑎𝑛| <𝜀 con 𝑛 > 𝑁

Lo que a su vez se caracteriza como:

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞(𝑎𝑛+𝑚 − 𝑎𝑛) = 0 para cualquier 𝑚 33

Por consiguiente, Cantor asumió que a cada sucesión fundamental le correspondía un límite definido con el número 𝑏, al que también describía como “símbolo”. Esto a su vez, lo llevó a definir las relaciones de orden e igualdad entre sucesiones.

32 _{En vista de que se considera que la distancia del punto (el que se quiere aproximar mediante sucesiones) al origen}

es igual a 𝑏 el número correspondiente al límite de dicha sucesión.

33 _{Con esta representación se puede entender que la sucesión alcanza el límite 𝑏; pues, si se satisface esta condición,}

3.2.1.2 Igualdad entre sucesiones

Dadas dos sucesiones fundamentales {𝑎_𝑛} y {𝑏_𝑛} a cuyos límites se les asocia 𝑎₁y 𝑎₂

respectivamente, se establece que 𝑎₁ = 𝑎₂ sí para todo 𝜀 𝜖 𝑄+_{, existe un número natural 𝑁 , que}

permite:

|𝑎_𝑛 − 𝑏_𝑛| <𝜀 para todo 𝑛 > 𝑁 𝑛 > 𝑁

3.3 Relación de orden y algunas propiedades aritméticas para la formalización de los