El prop´osito de esta secci´on es dar caracterizaciones de algunos anillosRen t´erminos de propiedades de la ret´ıculaR-pr.
2.3. CARACTERIZACIONES DE ANILLOS. 103
TEOREMA 2.3.1 Para un anilloR son equivalentes las siguientes condiciones: 1)R es un anillo Artiniano simple.
2)αM{0} =ωM{0} para cada {0} 6=M ∈R-Mod.
3) αMN = ωNM para cada {0} 6= M ∈ R-Mod y para cada subm´odulo N de M totalmente invariante.
4)αM
M =ωMM para cada {0} 6=M ∈R-Mod.
Demostraci´on:
(1)⇒(3)
Sea {0} 6= M ∈ R-Mod. Como R es Artinano y simple, entonces por Corolario 1.10.12R es semisimple, entoncesR es simple y semisimple, se tiene por la Proposi- ci´on 1.9.12que todos losR-M´odulos simples son isomorfos. Luego, por serRsemisim- ple se tiene por el Teorema 1.9.13 que todo R-m´odulo es semisimple, entoncesM es semisimple, as´ıM =S(I), con R-simp={S}.
Sea N un subm´odulo totalmente invariante de M, entoncesN ={0} ´oN =M. SiN =M, entonces para cadaK ∈R-Mod se tiene que
αMM(K) =X{f(M)| f ∈HomR(M, K)}=K
y
ωMM(K) =\{f−1(M) | f ∈HomR(K, M)}=K.
SiN ={0}, entonces para cada K ∈R-Mod se tiene que
αM{0}(K) = X{f(0) | f ∈HomR(M, K)}={0}.
Luego, por el Teorema 1.9.13 se tiene que todo R-M´odulo es inyectivo, entonces S es inyectivo, as´ıE(S) = S y se sigue por el Teorema 1.8.9 que S es cogenerador de R-Mod, pero M =S(I), entoncesM es cogenerador de R-Mod, lo que implica que
ωM{0}(K) =\{N uc(f) |f ∈HomR(K, M)}={0}.
Por lo tantoαM
(3)⇒(2)
Es claro ya que {0} es un subm´odulo totalmente invariante de M.
(3)⇒(4)
Es claro ya que M es un subm´odulo totalmente invariante de M.
(2)⇒(1) Como αM
{0} = {0}, entonces ω{M0} = {0}. Lo que implica que todo K ∈ R-Mod se encaja en un producto de copias de M, por tanto todo m´odulo M es cogenerador de R-Mod.
Sean S, T ∈ R-simp, entonces ωS
{0}(T) = {N uc(f) | f ∈ HomR(T, S)} = {0},
lo que implica que existe g ∈ HomR(T, S) con g 6= 0 tal que N uc(g) = {0}, as´ı g
es un isomorfismo. Por lo tanto todos losR-m´odulos simples son isomorfos. Entonces R-simp= {S} y se tiene que S(I) es un cogenerador para R-Mod para todo conjunto I 6= ∅, lo que implica por el Teorema 1.11.8que R es V-anillo, as´ı el ´unico m´odulo simpleS deR-simp es inyectivo.
Luego, como R ∈ R-Mod es cogenerador para R-Mod se tiene que ωR
{0}(S) =
∩{N uc(f) | f ∈ HomR(S, R)} = {0}, lo que implica que existe g ∈ HomR(S, R)
con g 6= 0 tal que N uc(g) = {0}
g :S //R . Consideremos la siguiente sucesi´on exacta corta:
0 //S g //R π //R/S //0.
Ya queSes un m´odulo inyectivo, se sigue de laProposici´on 1.7.13que la sucesi´on exacta corta se escinde y por elTeorema 1.5.3se tiene queSes sumando directo deR y comoR es libre, se tiene entonces queS es sumando directo de un m´odulo libre, por elTeorema 1.6.13 se tiene queS es proyectivo, entoncesR es semisimple (por [10] p. 169, Teorema 20.7). Luego, por serR semisimple se tiene por elCorolario 1.10.6que R es artiniano. Por otro lado, como R es semisimple y tenemos adem´as que todos los R-m´odulos simples son isomorfos, entonces por laProposici´on 1.9.12 se tiene queR es simple. Por lo tantoR es artiniano simple.
(4)⇒(1)
Ya que ωMM = 1 se tiene que αMM = 1 para todo {0} 6=M ∈ R-Mod. Sea M =S ∈
R−simp, entonces S es generador para R-Mod, lo que implica que R es artiniano simple (por [1], p. 153, proposici´on 13.5).
2.3. CARACTERIZACIONES DE ANILLOS. 105
TEOREMA 2.3.2 Las siguientes condiciones son equivalentes para un anillo R: 1.R es un anillo Artiniano semisimple.
2.R-pr es una ret´ıcula Boolena finita. 3.R-pr es una ret´ıcula Booleana. 4.R-pr es una gran ret´ıcula Booleana.
5. Para cada σ∈R-pr, σ =∨{αSE(S) | αES(S)σ}. 6. 1 =∨{αES(S) |S ∈R-simp}.
7. Para cada σ ∈ R-pr, existe A ⊂ R −simp tal que σ = zocA, donde zocA = P
{S ≤M |S ∼=T ∈A}.
8. Para cada σ∈R-pr, σ =∧{ωIR | I es ideal bilateral m´aximo de R, ωIRσ}. 9. 0 =∧{ωIR | I es ideal bilateral m´aximo deR}.
Demostraci´on:
(2)⇒(3)⇔(4)
Son inmediatas estas implicaciones.
(1)⇒(2)
Por hip´otesis todo M ∈ R-Mod es semisimple, lo que implica que todo prerradical queda totalmente determinado por los valores en R-simp. Por lo tanto R-pr es una gran ret´ıcula isomorfa a la ret´ıcula de subconjuntos de R-simp, adem´as por ser R un anillo artiniano se sigue que R-simp es un conjunto finito. Por lo tanto R-pr es una ret´ıcula boolena finita.
(4)⇒(5)
Se sigue de la Proposici´on 1.12.10.
(5)⇒(6) Es claro.
(6)⇒(7)
Por hip´otesis 1 = ∨{αES(S)|S ∈R-simp}. EntoncesE(S0) = 1(E(S0)) =∨αES(S)(E(S0)) = S0 para todo S0 ∈ R-simp, as´ı 1 = ∨αSE(S) = ∨αSS. Si σ ∈ R-pr, se tiene que σ1 =∨αS
S, lo que implica que σ es un zoclo.
(7)⇒(1)
Por hip´otesis 1 = zocR−simp, entonces R = zocR−simp(R), lo que implica que R es
un anillo semisimple artiniano.
(2)⇒(8) Se sigue de la Proposici´on 1.12.12. (8)⇒(9) Es claro. (9)⇒(1) Por dualidad.
COROLARIO 2.3.3 R es un anillo semisimple Artiniano si y solo si [αMN, ωMN] es una ret´ıcula Booleana finita para cada M ∈ R-Mod y cada subm´odulo totalmente invarianteN deM.
Demostraci´on:
Se sigue de (1⇔2) del Teorema 2.3.2.
A continuaci´on se presenta una notaci´on que ser´a de gran utilidad: C0 =L{S | S∈R-simp}.
C1 =
L
{E(S) |S ∈R-simp}. P0 =Q{S |S ∈R-simp}.
2.3. CARACTERIZACIONES DE ANILLOS. 107
N´otese que, para cadaM ∈R-Mod,αC0C0(M) es el zoclo deM yωC0{0}(M) es el radical de Jacobson de M.
TEOREMA 2.3.4 Para un anilloR son equivalentes:
1.R es un anillo semisimple Artiniano. 2.αR
I =ωIR para todo ideal I bilateral deR.
3.ωR
J es un t-radical, donde J =ω C0
{0}(R) (i. e. J es el radical de Jacobson de R). 4.ωJR=ωP0{0}, dondeJ =ω{C00}(R).
5.ωR
I =ωS{0} para cada ideal bilateral m´aximoI deR, dondeS es un m´odulo simple tal que I =ann(S).
6.ωIR es un t-radical para cada ideal bilateral m´aximo I deR.
Demostraci´on:
(1)⇒(2)
Por elTeorema 2.3.2tenemos queR-pr es una ret´ıcula complementada. Denotemos por σc al complemento de σ en R-pr, as´ı σc ∨ σ = 1 y σc ∧σ = 0. Por un lado,
R =σ(R)×σc(R) (como un producto directo de anillos) y M =σ(M)×σc(M) para
cada M ∈ R-Mod. Por otro lado M = σ(R)M × σc(R)M. Ahora, sea x ∈ σ(M),
entonces x = a+b, con a ∈ σ(R)M y b ∈ σc(R)M. Como σc(R)M ⊆ σc(M) (por el
Lema 2.2.12), entoncesb=x−a ∈σ(M)∩σc(M) ={0}. Por tantox=a∈σ(R)M,
tenemos entonces que σ(M) ⊆ σ(R)M. Entonces σ(M) ≤ σ(R)M y por lo tanto σ(M) =σ(R)M para cadaM ∈R-Mod. As´ı:
αRI(R)R=αRI(R) =I =ωIR(R) =ωIR(R)R, lo que implica que
αRI(R) =ωIR(R) y por lo tanto
ωRI(M) = αRI(R)M =ωIR(R)M =ωRI(M).
(2)⇒(6)
Por hip´otesis αRI = ωIR para todo ideal bilateral I de R, y por la Proposici´on 2.2.14 sabemos queαR
(6)⇒(5)
Sea I un ideal bilateral m´aximo de R y S ∈ R-simp tal que I = ann(S). Si ωR I es
t-radical, se tiene por el Teorema 2.2.13 que
ωIR(M) =ωIR(R)M =IM,para todo M ∈R-Mod. ComoI =ann(S), entonces
ωIR(S) =IS ={0}, y por la Proposici´on 2.1.11se tiene que
ωIRωS{0}. (i)
Por otro lado, sea K un ideal izquierdo m´aximo de R tal que I ≤ K. Entonces R/K ∈R-simp.
Sean a∈R y (K :a) ={r∈R | ra∈K}.
Observaci´on i) \
a∈R
(K :a) = I.
Sea a∈R. Sia ∈K, entoncesra∈K para toda r∈R ya que K es ideal izquierdo deR, as´ı (K :a) =R para toda a∈K. Por otro lado, si a /∈K, entonces ra∈K si y solo sir∈I ya queI es un ideal bilateral m´aximo deR, lo que implica que (K :a) =I para todaa /∈K. Por lo tanto \
a∈R
(K :a) =R∩I =I.
Observaci´on ii) R/K =S.
Sea K 6=K +a∈ R/K, entonces por la Observaci´on i) se tiene que I(a+K) = Ia+K = K, lo que implica que I(R/K) = K, entonces ann(R/K) = I y por tanto R/K =S.
Observaci´on iii) ωS
{0}(R) =I.
Por laObservaci´on ii) tenemos que ω{R/K0} (R) = ωS
{0}(R).
⊆) Sea 0 6=f ∈HomR(R, R/K), entonces f(1) =a+K 6= K. Si r ∈ ω R/K
{0} (R), se tiene que f(r) = rf(1) = K, entonces r(a+K) = ra+K = K, lo que implica que ra∈K y as´ır ∈ (K :a) y como 06=f ∈ HomR(R, R/K) fue arbitrario, se tiene que
r∈ \
a∈R
(K :a) =I, por tanto ωS
{0}(R)⊆I.
⊇) Sir∈I, entonces ra∈K para todaa∈R. Si 06=f ∈HomR(R, R/K), se tiene
quef(1) = a+K 6=K. Entonces f(r) =f(1) = rf(1) = r(a+K) = ra+K =K, lo que implica que r ∈ T
{N uc(f) | f ∈HomR(R, R/K)} =ω R/K
{0} (R) = ωS{0}(R), por lo cual I ⊆ωS
2.3. CARACTERIZACIONES DE ANILLOS. 109
De la Observaci´on iii) se tiene que ωS
{0}(R) =I y por la Proposici´on 2.1.11 se tiene que
ωS{0} ωIR. (ii) Por (i) y (ii) se tiene que ωS
{0} =ωIR.
(5)⇒(1)
SeaI un ideal bilateral m´aximo de R, y S unR-m´odulo simple tal queI =ann(S). Probaremos que existe un R-m´odulo simpleS0 ≤R tal que S0 ∼=S y S0∩I ={0}.
Por hip´otesis ωS
{0} =ωRI, entoncesFωS {0} =Fω R I . ComoS ∈Fω{S0}, entoncesS ∈Fω R I, lo que implica que
ωIR(R) =\{f−1 |f ∈HomR(S, R)}={0},
se tiene as´ı que existe g ∈ HomR(S, R) tal que para 06=x ∈S se tiene que g(x) ∈/ I,
entonces: (π◦g)(x) =π(g(x)) =g(x) +I 6=I
S g //R π //R/I
por el Lema 1.8.7 se tiene queR/I es cogenerador de S, entonces existe un conjunto X 6=∅ y un monomorfismo
ι: S //(R/I)X , lo que implica que
ι: S //R/I .
Por otro lado, n´otese que R/I es un anillo simple. En efecto, si J/I es un ideal bilateral de R/I, se tiene que J es un ideal bilateral de I, tal que I ⊂ J, lo cual no es posible, ya que I es un ideal bilateral m´aximo de R. Por lo tanto R/I es un anillo simple y contiene aS como ideal m´ınimo izquierdo y por [10] p. 171, Proposici´on 20.11 se tiene que R/I =Sn, lo que implica que es semisimple.
Ahora por laProposici´on 2.2.8ωR
I es radical, entoncesωIR(R/ωIR(R)) =ωIR(R/I) =
{0}, esto implica que existe 0 6= f ∈ HomR(R/I, R) tal que f(0) = I, Im(f) ( I,
como R/I es semisimple, entonces f(R/I) =Im(f) es semisimple e Im(f)∩I ={0}, esto implica lo que quer´ıamos. por ultimo, podemos aplicar este hecho a un ideal bi- lateral m´aximo que contenga a αC0C0(R) en caso de que se trat´ara de un ideal propio. As´ı tenemos que αC0C0(R) =R, lo que equivale a 1).
(2)⇒(3)
Sea J =ωC0{0}(R). Por hip´otesis αR
J =ωJR y por la Proposici´on 2.2.14 se tiene que
(3)⇒(4)
Sea J =ω{C00}(R), es decir que J es el radical de Jacobson de R. 1◦)ωR
J ω P0
{0}.
ComoωJR es t-radical, entonces por el Teorema 2.2.13se tiene para todoM ∈R- Mod que
ωJR(M) = ωRJ(R)M =J M. (i)
Por otro lado, sea {Iα}α∈X la familia de todos los ideales izquierdos m´aximos de R,
entonces para cadaS ∈R−simp se tiene que S =R/Iα para alg´unα∈X, y as´ı
J = \ α∈X Iα, P0 = Y α∈X R/Iα.
Por (i) y por ser J ideal bilateral deR (Ver Proposici´on 1.10.9), se tiene que ωJR(P0) = J P0 = \ α∈X Iα Y α∈X R/Iα ={0}.
Por laProposici´on 2.1.11 se tiene que ωJRω{P00}. 2◦)ω{P00} ωR
J.
Consideremos de nuevo a la familia{Iα}α∈X de todos los ideales izquierdos m´aximos
deR, y seaϕ∈(R, Y
α∈X
R/Iα) dado por r7→(r+Iα)α∈X, entoncesN uc(ϕ) =
\
α∈X
Iα =
J, lo cual implica que
ω{P00}(R) = \{N uc(f)| f ∈HomR(R, P0)} ⊆J. (ii)
Por otro lado, si a ∈ J y 0 6= f ∈ HomR(R,
Y
α∈X
R/Iα) entonces f(1) = (rα +
Iα)α∈X 6= (Iα)α∈X. Por serJ un ideal bilateral deR, se tiene quef(a) = af(1) =a(rα+
Iα)α∈X = (arα+Iα)α∈X = (Iα)α∈X, comof se tomo arbritrario enHomR(R,
Y α∈X R/Iα), entoncesa ∈T {N uc(f | f ∈HomR(R, Y α∈X
R/Iα))}=ω{P00}(R), lo que implica que J ⊆ωP0{0}(R). (iii)
Por (ii) y (iii) se tiene que ω{P00}(R) = J y por la Proposici´on 2.1.11 se tiene que ωP0{0} ωJR
2.3. CARACTERIZACIONES DE ANILLOS. 111
.
De 1◦) y 2◦) se tiene que ω{P00} =ωR J.
(4)⇒(5)
1◦) Para cada ideal bilateral m´aximo I deR, se tiene que ω{S0} ωRI,
donde S ∈R−simp es tal que I =ann(S).
En efecto, sea 0 6=f ∈ HomR(R, S), entonces f(1) 6= 0, as´ıf(R) = Rf(1) = S, lo
que implica que ann(Rf(1)) = ann(S) = I, y as´ıI(Rf(1)) = {0}. Luego, si r ∈ I, entonces f(r) =rf(1) ∈I(Rf(1)) = {0}, se tiene as´ı que f(r) = 0 lo que implica que r ∈ N uc(f), por lo cual I ⊆ N uc(f), como f se tomo arbitrario en HomR(R, S), se
tiene que
I ⊆\{N uc(f) | f ∈HomR(R, S)}=ω{S0}(R). (i) Por otro lado, sir∈ωS
{0}(R), entonces 06=f(r) =rf(1) para todof ∈HomR(R, S).
Ya que f(1)∈Rf(1) y ann(Rf(1)) =I, entoncesr ∈I, lo que implica que ω{S0}(R)⊆I. (ii)
De (i) y (ii) se tiene que ω{S0}(R) = I y por la Proposici´on 2.1.11se tiene que ω{S0} ωRI.
Supongamos que existe S0 ∈R-simp tal que ω{S00} ≺ωRI0,
donde I0 =ann(S0).
Por un lado, si considereamos el morfismo inclusi´on ι:S0 //P0,
entonces ω{P00}(S0)⊆N uc(ι) ={0}, entonces ω{P00}(S0) ={0}= ^
S∈R−simp
ω{S0}(S0).
Por otro lado, sea X el conjunto de todos los ideales bilaterales m´aximos de R, se tiene que ωR I(R) =I para todo I ∈X y ^ I∈X ωIR (R) = \ I∈X I =J, entonces por la
Proposici´on 2.1.11 se tiene que ^
I∈X
lo que implica que ^ I∈X ωRI (S0)≤ωR J(S 0) =ωP0 {0}(S 0) ={0}, entonces ^ I∈X ωRI (S0 ) = {0}. Como estamos suponiendo que ωS0
{0} ≺ ωRI0, entonces {0} = ωS 0 {0}(S 0) < ωR I(S 0), se tiene entonces que ωRI(S0) = S0, y como acabamos de ver que
^
I∈X
ωIR (S0) ={0}, entoncesωR
I(S
0) = {0} para alg´unI ∈X. Por la Proposici´on 2.1.11 se tiene que ωIRω{S00}.
Sea S ∈R-simp tal que ann(S) =I, entonces por 1◦) se tiene que ω{S0} ωIR ω{S00},
lo que implica que
S0 =ωS{0}(S0)≤ω{S00}(S0) ={0},
lo cual es una contradicci´on. Como la contradicci´on resulto de suponer que exist´ıa S0 ∈ R-simp tal que ω{S00} ≺ ωIR0, con I0 = ann(S0), se tiene entonces que ωS{0} = ωRI
para todo ideal bilateral m´aximo I deR con ann(S) =I.
PROPOSICI ´ON 2.3.5 Res un anilllo Artiniano semisimple si y solo siZ ∈R-pr est-radical, donde Z es el prerradical que asigna a cada m´odulo su parte singular.
Demostraci´on: ⇒)
Si R es anillo Artiniano semisimple entonces no tiene ideales propios esenciales, as´ıZ(R) ={0}, lo que implica que Z = 0 (por [2] pag. 52, prop. 1.10.2). Por lo tanto Z est-radical.
⇐)
SiZ est-radical entonces:
2.3. CARACTERIZACIONES DE ANILLOS. 113
b) Z radical implica que R es no singular, es decir que Z(R) = {0}. ’
Tenemos entonces que para todo S ∈ R-simp, Z(S) = Z(R)S = {0}S = {0}, es decir que todos los elementos de R-simp son no singulares y por lo tanto proyectivos. Por lo tanto R es artiniano semisimple.
El siguiente Lema nos ser´a de mucha utilidad en la demostraci´on del Teorema 2.3.7.
LEMA 2.3.6 Sea τ ∈R-pr. Son equivalentes: 1)τ es exacto izquierdo.
2) Para todoM ∈R-Mod y N ≤M τ(N) = τ(M)∩N. 3)τ es idempotente y Tτ es cerrada bajo subm´odulos.
Demostraci´on:
(1)⇒(2) Sea M ∈R-Mod y N ≤M, seanι∈HomR(N, M) la inclusi´on natural y
π ∈HomR(M, M/N) el morfismo can´onico. Consideremos la siguiente sucesi´on exacta
corta
0 //N ι //M π //M/N //0.
Por hip´otesis τ es exacto izquierdo, entonces se tiene el siguiente diagrama conmu- tativo 0 //N ι //M π //M/N //0 0 //τ(N? ) ι|τ(N)// O O τ(M? ) π|τ(M//) O O τ(M/N? ) O O
donde τ(N) = Im(ι|τ(N)) = N uc(π|τ(M)) =τ(M)∩N, lo que implica que
τ(N) =τ(M)∩N.
(2)⇒(1) Sea M ∈R-Mod y N ≤M, seanι∈HomR(N, M) la inclusi´on natural y
π ∈HomR(M, M/N) el morfismo can´onico. Consideremos la siguiente sucesi´on exacta
corta
0 //N ι //M π //M/N //0.
Aplicando el prerradical τ a la sucesi´on exacta se tiene que ι|τ(N) es monomorfismo
ya que ι lo es
adem´as Im(ι|τ(N)) = τ(N) y N uc(π|τ(M)) = τ(M)∩N y por hip´otesis τ(N) =
τ(M)∩ N, entonces Im(ι|τ(N) = N uc(π|τ(M)), por lo tanto τ es un fontor exacto
izquierdo.
(2)⇒(3) Sea M ∈R-Mod, como τ(M)≤M, se tiene por hip´otesis que τ(τ(M)) =τ(M)∩τ(M) =τ(M),
lo cual implica queτ ·τ =τ y por tanto τ es idempotente.
Por otro lado, sea{0} 6=N ∈Tτ ={M ∈R-Mod|τ(M) = M}y sea{0} 6=K ≤N,
por hip´otesis se tiene queτ(K) =τ(N)∩K =N∩K =K, lo que implica que K ∈Tτ
y por tanto Tτ es cerrada bajo subm´odulos.
(3) ⇒ (2) Sea M ∈ R-Mod y N ≤ M, como τ(N) ≤ τ(M) y τ(N) ≤ N, se tiene que
τ(N)≤τ(M)∩N. (i)
Por otro lado, por hip´otesis τ es idempotente, entonces τ(τ(M)) = τ(M), se tiene as´ı queτ(M)∈ Tτ ={M ∈R-Mod | τ(M) = M}. Adem´as τ(M)∩N ≤ τ(M) y por
hip´otesis Tτ es cerrada bajo subm´odulos, entonces τ(M)∩N ∈Tτ, lo que implica que
τ(τ(M)∩N) = τ(M)∩N. (ii) Tenemos adem´as que τ(M)∩N ≤N y por (ii) se tiene que
τ(M)∩N =τ(τ(M)∩N)≤τ(N). (iii) De (i) y (iii) se sigue que
τ(M)∩N =τ(N).
TEOREMA 2.3.7 Para un anillo R son equivalentes:
1.R esV-anillo.
2. Cada ´atomo en R-pr es idempotente. 3. Cada ´atomo en R-pr es exacto izquierdo. 4. Para cada S ∈R-simp, αES(S)=αS
S.
2.3. CARACTERIZACIONES DE ANILLOS. 115
6.∨{αES(S) | S ∈R-simp} es idempotente. 7.∨{αES(S) | S ∈R-simp} es exacto izquierdo. 8.∨{αES(S) | S ∈R-simp}=αC0C0.
9.αC0{0} =ωC0{0}.
Demostraci´on:
(3)⇒(2)
Se sigue delLema 2.3.6.
(4)⇒(3)
Sean M ∈R-Mod, N ≤M y S ∈R-simp, entonces αS S(M)∩N = ( P {f(S)|f ∈HomR(S, M)})∩N = P {f(S)∩N |f ∈HomR(S, M)}= =P {f(S) |f ∈HomR(S, N)}=αSS(N).
Por hip´otesisαS S =α E(S) S , entonces α E(S) S (M)∩N =α E(S) S (N) y por el Lema 2.3.6
se tiene que αES(S) es idempotente para cada S∈R-simp. (4)⇒(5)
Sea 06=σ∈R-pr. Supongamos que para todoS ∈R-simp se tiene que σ ≺αS S.Por
hip´otesisαES(S) =αS
S, entoncesσ ≺α E(S)
S para todo S ∈R-simp, se tiene entonces que
σ(E(S)) < αES(S(E(S)) = S, as´ıσ(E(S)) = {0} para todo S ∈ R-simp, por el Lema 2.1.12se tiene queσ = 0, lo cual es una contradicci´on ya que σ6= 0. La contradicci´on resulto de suponer que para todoS ∈R-simp se tiene queσ ≺αSS, por lo tantoαSS00 σ
para alg´unS0 ∈R-simp.
(4)⇒(8)
Sea M ∈R-Mod. Por hip´otesis se tiene que para cadaS ∈R-simp queαES(S)=αS S, entonces: W {αES(S) | S∈R-simp}(M) = W {αS S | S ∈R-simp}(M) = =P {αS S(M) |S ∈R-simp}=zoc(M) =α C0 C0(M). Por lo tantoW {αES(S) | S ∈R-simp}=αC0C0.
(8)⇒(7) Sea W{
αES(S) | S ∈R-simp}=αC0C0.
Sean N ≤M ∈R−M od y la siguiente sucesi´on exacta corta 0 //N ι //M π //M/N //0, la cual induce la siguiente sucesi´on:
0 //αC0C0(N) αC0 C0(ι)// αC0C0(M) αC0 C0(π//) αC0C0(M/N), la cual es una sucesi´on exacta, pues:
N uc(αC0C0(π)) =αC0C0(M)∩N = [P {f(C0) | f ∈HomR(C0, M)}]∩N = =P {f(C0)∩N | f ∈HomR(C0, M)}= =P {f(C0) |f ∈HomR(C0, N)}=αC0C0(N) =Im(αC0C0(ι)).
Adem´as, αC0C0(ι) es un monomorfismo ya que αC0C0(ι) = ι|αC0
C0(N)
. Por lo tanto αC0C0 =W
{αES(S) | S∈R-simp} es exacto izquierdo. (7)⇒(6)
Se sigue del Lema 2.3.6.
(5)⇒(1)
Sea S ∈ R-simp, entonces por ser αSE(S se tiene que αES(S 6= 0, por hip´otesis ex- iste S0 ∈ R-simp tal que αS0
S0 α E(S) S , como αS 0 S0(S0) = S0, se tiene que α E(S) S (S 0) = P
{f(S) | f ∈ HomR(E(S), M)} = S0, lo que implica que S0 ∼= S, por lo que
αS S α E(S) S , entonces S = αSS(S) ≤ α E(S) S (S), as´ıα E(S)
S (S) = S, lo que implica que
existe 0 6= f ∈ HomR(E(S), S) tal que f(S) 6= {0} y por ser S simple, entonces
f(S) = S, adem´as, si N uc(f) 6= {0}, por ser S subm´odulo esencial de E(S) se tiene queS ⊆N uc(f), lo que implica quef(S) ={0}, lo cual no es posible ya quef(S) = S, por lo tantoN uc(f) ={0} y as´ı
E(S) //S .
Se tiene entonces que E(S) = S y por tanto S es inyectivo, lo que implica que R es V-anillo.
2.3. CARACTERIZACIONES DE ANILLOS. 117
(1)⇒(4)
Por hip´otesis R es V-anillo, entonces cada S ∈ R-simp es inyectivo, por lo que S =E(S), lo que implica que αSE(S) =αS
S.
(6)⇒(2)
Sea S ∈R-simp, como αES(S)(E(S)) =S, entonces
(αSE(S)·αES(S))(E(S)) =αSE(S)(αES(S)(E(S))) =αES(S)(S) 1◦)αSE(S) es idempotente si y solo si αES(S)(S) =S.
SiM ∈R-Mod, entoncesαES(S)(M)≤M, lo que implica que αES(S)(αES(S)(E(S)))≤
αSE(S)(M), por lo que
αSE(S)·αSE(S)αES(S) (i)
Luego, si αES(S)(S) = S, entonces (αSE(S) · αSE(S))(E(S)) = αES(S)(αES(S)(E(S))) = αSE(S)(S) = S,se sigue de la Proposici´on 2.1.11que
αSE(S)αSE(S)·αES(S) (ii) Se sigue de (i) y (ii) queαSE(S) es idempotente.
Rec´ıprocamente, siαSE(S) es idempotente se tiene que
S=αES(S)(E(S)) =αSE(S)(αSE(S)(E(S))) =αSE(S)(S), lo que implica que αES(S)(S) =S.
Ahora, si T ∈R-simp entonces (∨αES(S))(T) =αTE(T)(T) y como ∨αSE(S) es idempo- tente por hip´otesis, se tiene que
T =αET(T)(E(T)) =∨αSE(S)(∨αSE(S)(E(T))) = (∨αES(S))(T) =αET(T)(T), se sigue de 1◦) queαET(T) es idempotente para cada T ∈R-simp.
(2)⇒(1)
Sea S ∈R-simp. Por hip´otesis αES(S) es idempotente, entonces por 1◦) de (6) ⇒(2) se tiene que S = αES(S)(S) = P
{f(S) | f ∈ HomR(E(S), S)}, lo que implica que
existe 0 6= f ∈ HomR(E(S), S) tal que f(S) 6= {0} y por ser S simple, entonces
f(S) = S, adem´as, si N uc(f) 6= {0}, por ser S subm´odulo esencial de E(S) se tiene queS ⊆N uc(f), lo que implica quef(S) ={0}, lo cual no es posible ya quef(S) = S, por lo tanto N uc(f) ={0} y as´ı
Se tiene entonces que E(S) = S y por tanto S es inyectivo, lo que implica que R es V-anillo.
(1)⇒(9)
Sea M ∈ R-Mod. Por un lado se tiene que αC0{0}(M) = {0}. Por hip´otesis R es V- anillo, por elTeorema 1.11.8se tiene queC0 es un cogenerador paraR-Mod, entonces
ω{C00}(M) ={0}, por lo tanto αC0{0} =ω{C00}.
(9)⇒(1)
Por hip´otesis αC0{0} =ωC0{0}, lo que implica que ω{C00} = 0. Entonces para cadaM ∈R- Mod se tiene que ω{C00}(M) = T
{N uc(f) | f ∈ HomR(M, C0)} = {0}, lo que implica
que M se encaja en un producto de copias de C0, por tanto C0 es cogenerador de
R-Mod y sigue del Teorema 1.11.8 que R es V-anillo.
LEMA 2.3.8 Sean M, N ∈ R −M od, tal que N = N1 ⊕N2 es un subm´odulo
totalmente invariante de M = M1 ⊕M2. Entonces Ni es un subm´odulo totalmente
invariante deMi (i= 1,2) y
1.αM1N1 ∨αM2N2 =αMN. 2.ωN1M1 ∧ωN2M2 =ωM
N.
Demostraci´on:
Es claro que Ni es un subm´odulo totalmente invariante de Mi (i = 1,2). Sean
ρj : M −→ Mj las proyecciones naturales e ιj : Mj −→ M las inclusiones naturales
con j = 1,2. 1) Sea K ∈R−M od y fj :Mj −→K (j = 1,2). Entoncesf =fj◦ρj :M −→K y fj(Nj) = (fj ◦ρj)(N) = f(N) ≤ αMN(K), as´ıα Mj Nj(K) ≤ α M N(K). Entonces α Mj Nj α M N
(j = 1,2), lo que implica que αM1N1 ∨αM2N2 αM N.
Por otro lado, si f : M −→ K, entonces fj = f ◦ιj : Mj −→ K y f(N) =
f(N1⊕N2) = f(N1) +f(N2) =f(ι1(N1)) +f(ι2(N2)) =f1(N1) +f2(N2)≤αM1N1(K) +
αM2N2(K) = (αM1N1 ∨αM2N2)(K). Entonces αMN(K)≤ (αN1M1 ∨αM2N2)(K), lo que implica que αMN αM1N1 ∨αN2M2. Por lo tanto αM N =α M1 N1 ∨α M2 N2
2.3. CARACTERIZACIONES DE ANILLOS. 119
2) SeaK ∈R−M od y f :K −→M. Entonces fj =ρj◦f :K −→Mj (j = 1,2) y
(ωN1M1∧ωN2M2)(K) =ωN1M1(K)∩ωN2M2(K)≤f1−1(N1)∩f2−1(N2) = f−1(N1⊕N2) =f−1(N).
Por tanto (ωN1M1 ∧ωN2M2)(K)≤ωNM, lo que implica que ωN1M1 ∧ωM2N2 ωMN.
Por otro lado, si fj : K −→ Mj (j = 1,2) se tiene que f = ιj ◦fj : K −→ M,
entonces ωM N(K) ≤ f −1(N) = f−1 j (Nj). Entonces ωNM(K) ≤ ω Mj Nj(K), as´ı ω M N ω Mj Nj (j = 1,2), lo que implica queωM
N ω M1 N1 ∧ω M2 N2. Por lo tantoωM N =ω M1 N1 ∧ω M2 N2.
TEOREMA 2.3.9 Para un anilloR son equivalentes:
1.R es producto directo de un n´umero finito de anillos simples. 2. Cada co´atomo en R-pr es radical.
3. Cada co´atomo en R-pr es radical y hay un n´umero finito de estos.
Demostraci´on:
(3)⇒(2) Es claro.
(2)⇒(1)
Sea I un ideal bilateral m´aximo de R, por el Teorema 2.1.15 ωR
I es co´atomo y
radical por hip´otesis, entonces:
ωIR(R/I) =ωIR(R/ωIR(R)) = {0}. Sea JI =α
R/I
R/I(R), entonces JI es un ideal de R y JI I. De lo contrario se tendr´ıa
que f(R/I) ≤ JI ≤ I para todo f ∈ HomR(R/I, R), lo que implica que f(R/I) ≤ I
as´ıR/I ≤ f−1(I), por lo que R/I ≤ ωR
I(R/I) = {0}, lo cual es una contradicci´on ya
que I es un ideal bilateral m´aximo deR.
Luego, comoI es un ideal bilateral m´aximo de R, se tiene que I+JI =R.
Hay que observar que para cadaf :R/I −→R, se tiene que If(R/I) ={0}, lo que implica que IJI ={0}.
Ahora, consideremos el ideal J = P
{JI | I es ideal bilateral m´aximo de R}, se
afirma que J = R. Si no es este el caso, existe un ideal bilateral m´aximo K tal que J ≤ K, lo que implica que Jk ≤ J ≤ K lo cual es una contradicci´on. Entonces
1 ∈ J, sea 1 =
n
X
s=1
as para algunos as ∈ JIs y alguna n ∈ N. Si x ∈
n \ s=1 Is, entonces x= n X s=1
xas = 0 ya que IsJIs ={0} para cada s ∈ {1, ..., n} (por la observaci´on antes hecha), se tiene que ∩n
s=1Is{0} y por el Teorema chino del residuo se tiene que el
morfismo natural de anillosϕ:R−→
n Y s=1 R/Is es un isomorfismo. (1)⇒(3) Supongamos que R = n Y s=1
Rs donde cada Rs es un anillo simple. Sea Is = {x ∈
R|xs= 0}yKs ={x∈R |xt = 0 ∀t=6 s}, entoncesR=Is⊕KsyIs =Is⊕ {0}. Por
elTeorema 2.1.14 los co´atomos deR−prson los prerradicales ωRIs con s= 1,2, ..., n, lo que implica que hay un n´umero finito de co´atomos; aplicando el Lema 2.3.8 se tiene queωRIs =ωIs Is ∧ω Ks {0} = 1∧ω Ks {0} =ω Ks
{0} de laProposici´on 2.2.8 se sigue que ω
R Is es radical.
Bibliograf´ıa
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