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La teoría ondulatoria de la radiación establece que ésta se comporta como una onda que vibra con una frecuencia f, siendo λ su longitud de onda y c su velocidad de propagación, que es la velocidad de la luz. Se cumple que:

La teoría corpuscular establece que la radiación está constituida por corpúsculos, denominados fotones, que viajan a la velocidad de la luz y que transportan una energía e, proporcional a su frecuencia de vibración:

e = h f (159)

donde h es la constante de Planck (h = 6,626·10-34 _Js).

La emisión de radiación se produce a causa de la excitación de los electrones ante un estímulo determinado. En la radiación térmica, el estímulo es el aumento de temperatura producido por un calentamiento del cuerpo. La excitación de los electrones también se produce por otras causas, externas o internas, lo cual ocasiona emisión de radiación diferente de la térmica. Además de la energía, la única diferencia entre un tipo u otro de radiación es la distinta longitud de onda. La representación de los intervalos de longitud de onda de los principales tipos de radiación se denomina espectro electromagnético. En la figura 7.1 se representa una parte el espectro electromagnético. En ella se aprecia que el intervalo en el que se produce la radiación térmica es el comprendido entre 10-7 y 10-4 m.

7.2.2 Superficie negra

La superficie negra es la que absorbe toda la radiación incidente. Por tanto, no refleja fracción alguna de la energía que recibe. El calificativo negra está asociado al hecho de que el ojo humano ve la radiación reflejada o emitida por los cuerpos. Si no percibe radiación reflejada o emitida, la sensación se corresponde a una "superficie negra". Sin embargo, esta sensación es engañosa puesto que el ojo humano sólo puede apreciar longitudes de onda comprendidas entre 0,3840-6 y 0,7640-6 m, es decir, entre 0,38 y 0,76 micrómetros,

que constituye la franja de la radiación visible. Obsérvese que esta franja es muy estrecha comparada con la de la radiación térmica. Es decir, una superficie percibida como negra por el ojo humano puede no ser una superficie negra en el sentido físico. La superficie negra es ideal y constituye un elemento de comparación de las diferentes superficies emisoras que siempre absorben menos que la superficie negra. Salvando las diferencias, la superficie negra sería el equivalente al concepto de gas ideal que se ha utilizado como elemento de comparación con los gases en general.

Figura 7.1 - Espectro electromagnético, con A, en m

E

=

C

λ

exp(C

/λT) -1

en la que Eb,λ es la potencia radiante o potencia emisiva total por unidad de

superficie y por unidad de longitud de onda. En el SI se mide en W/m3. C₁ y C₂ son

dos constantes que valen respectivamente, 3,742·10-16 _{W m}2 _{y 1,4389·10}-2 _{m K.}

Es muy instructiva la representación de la potencia radiante frente a la longitud de onda para distintas temperaturas (véase la figura 7.2). Cada curva presenta un máximo que va aumentando al disminuir la longitud de onda y aumentar la temperatura. Para una temperatura dada, el máximo, en m/K, corresponde a:

𝜆𝜆𝑚𝑚𝑚𝑚𝜕𝜕=2,898 · 10 −3

𝑇𝑇

y este desplazamiento del máximo se conoce con el nombre de ley de Wien. Esta ley explica el cambio de color del rojo al blanco al calentar una superficie.

Para obtener la potencia emisiva total Eb de toda la gama de longitudes de onda, se ha

de integrar la función Eb, λ:

Eb= � Eb,λ(λ, T)dλ α

0

(161) el resultado de esta integración es la ley de Stefan-Boltzmann:

Eb = σT4 (162)

Figura 7.2 - Gráfica de la ley de Planck

en la que σ es la constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5,6697 · 10-8 W/(m2K4)) y que Stefan

propuso en 1879 a partir de resultados experimentales.

A veces es muy útil calcular la potencia emitida entre dos longitudes de onda determinadas. Para ello se ha de resolver la integral:

Eb(𝜆𝜆1, 𝜆𝜆2) = � Eb,λdλ λ2

λ1

que por comodidad de cálculo puede descomponerse de la siguiente forma: Eb(𝜆𝜆1, 𝜆𝜆2) = � Eb,λdλ λ2 0 − � Eb,λdλ λ1 0

La fracción de potencia emitida entre 0 y λ, respecto de la total, denominada función de radiación, es:

1

𝜎𝜎𝑇𝑇4� Eb,λdλ 𝜆𝜆 0

y, por comodidad de cálculo, está calculada y tabulada en función del producto λT [3]. En la tabla 7.1 se presenta un resumen de la tabla, más extensa, indicada en la bibliografía.

Tabla 7.1 - Función de radiación

(continúa)

Transmisión de calor por radiación

7.2.3 Propiedades de la radiación

Las propiedades de la radiación denominadas radiativas hacen referencia a la forma y cantidad en que una superficie emite, absorbe, refleja y transmite energía radiante. Las propiedades radiactivas dependen de la naturaleza de la superficie radiante y de la longitud de onda de la radiación. En el estudio del intercambio energético por radiación entre dos o más cuerpos, influirán todas las longitudes de onda de las radiaciones implicadas así como las direcciones de la emisión, puesto que una superficie interceptará más o menos radiación según la geometría del sistema emisor. Es evidente que el análisis del problema no es trivial. Para simplificar el problema se recurre a unas propiedades promediadas para todas las longitudes de onda. Estas propiedades se denominan totales y son: la absortividad (α), la reflectividad (ρ) y la transmisividad(τ).

La absortividad es la fracción de energía incidente absorbida por el cuerpo. La reflectividad es la fracción de energía incidente reflejada. La transmisividad es la fracción de energía incidente transmitida a través del cuerpo. La energía total incidente, independientemente de su procedencia y referida a la unidad de superficie y de tiempo, se denomina irradiación y se expresa con el símbolo I. El balance energético en torno a un cuerpo que recibe radiación se expresará mediante la relación:

αI + ρI + τI=I o bien:

α + ρ + τ = 1 (163)

Para un cuerpo negro α = 1, ρ = t = 0 por definición. La nieve y el hielo poseen una absortividad comprendida entre 0,95 y 0,98, lo cual indica que se aproximan mucho al

8,0 0,856344 9,0 0,890090 10 0,914263 12 0,945167 14 0,962970 16 0,973890 18 0,980939 20 0,985683 30 0,995427 40 0,998057 50 0,999045 100 1,000000

Figura 7.3 - Recinto isotermo para deducir la ley de Kirchhoff

cuerpo negro. En realidad, absorben toda la radiación menos la visible. Para un cuerpo reflector perfecto, la antítesis del cuerpo negro, ρ = 1, α = τ = 0.

7.2.4 Ley de Kirchhoff

Consideremos un recinto isotermo a la temperatura T (véase la figura 7.3). En su interior se sitúa un cuerpo 1 que se halla a la misma temperatura que el recinto, es decir, en equilibrio térmico. Si están en equilibrio térmico, la energía E1 emitida por el cuerpo ha

de ser igual a la irradiación I que llega al cuerpo procedente del recinto. Se cumple:

E1 = α1I (164)

Si sustituimos, ahora, el cuerpo 1 por un cuerpo 2 que sea un cuerpo negro, se tendrá:

E2 = α2I = I (165)

puesα2 = 1. Si dividimos ambas expresiones miembro a miembro se obtiene:

E1/E2 = α1

Por otra parte, el cociente E1/E2 recibe el nombre de emisividad s y es la relación entre la

energía emitida por un cuerpo 1 y la energía emitida por un cuerpo negro a igual temperatura. Así pues:

α1 = ε1 (166)

La ley de kirchhoff afirma que la absortividad de un cuerpo cualquiera, en equilibrio térmico, coincide con su emisividad. Es decir, un cuerpo opaco que sea un buen absorbente también es un buen emisor. El cuerpo negro es el absorbente perfecto puesto que α1 = 1 y también

ε1 = 1. si construimos un recinto isotérmico provisto de un pequeño orificio y enviamos

radiación al recinto a través del orificio, ésta se reflejará en su seno innumerables veces absorbiéndose cada vez una fracción de energía, de manera que, finalmente, se absorberá la práctica totalidad de la energía incidente.

Transmisión de calor por radiación

Figura 7.4 - Recinto isotermo, provisto de un pequeño orificio para transformarlo en un cuerpo negro

El recinto isotérmico se aproxima pues al comportamiento de una superficie negra. El fenomeno mediante el cual un recinto isotérmico se transforma en un cuerpo negro recibe el nombre de efecto cavidad. En consecuencia, un recinto isotérmico se puede considerar como un emisor de comportamiento análogo al del cuerpo negro. Si calentamos el recinto a una temperatura T y mantenemos esta temperatura constante, la radiación que escapa por el orificio tendrá las características de la radiación del cuerpo negro (véase la figura 7.4).

En la tabla 7.2 se dan valores de la emisividad total de distintas sustancias con indicación de la temperatura a la que se ha medido la propiedad. Se trata únicamente de una tabla indicativa. Para más información el lector conviene consultar bibliografía más especializada [1,2].

Tabla 7.2 - Emisividades de distintas sustancias

Sustancia de la superficie emisora Emisividad ε

Aluminio pulido 0,040 (296 K) Cobre negro oxidado 0,780 (293 K) Cobre pulido 0,030 (293 K) Amianto en láminas 0,96 (297 K)

Ladrillo 0,93 (293 K)

Vidrio 0,93 (293 K)

7.2.5 Superficie gris

La mayoría de superficies comunes de interés en la técnica son opacas, es decir, no son transparentes a la radiación térmica. Por consiguiente, su transmisividad τ = 0. Así, cuando la radiación incide sobre una superficie real, opaca, parte de la energía incidente es absorbida y el resto se refleja:

τ = 0 ⇒ α + ρ = l

Por otra parte, las propiedades radiativas, tal como se ha indicado anteriormente, dependen de la longitud de onda de la radiación. La absortividad a una longitud de onda λ1, es distinta de la absortividad a una longitud de onda λ2:

El cuerpo gris es una simplificación del modelo de cuerpo negro. Su fundamento se sustenta en la hipótesis que considera que las propiedades radiactivas son constantes y, por tanto, independientes de la longitud de onda:

αλ = Cte (167)

Una conclusión muy importante relativa al cuerpo gris es la siguiente: si en el recinto isotérmico, en el cual se ha propuesto la experiencia para justificar la ley de Kirchhoff, se hubiese considerado una emisión monocromática, se demostraría que:

αλ = ελ (168)

La relación entre la absortividad total y la absortividad monocromática viene dada por: 𝛼𝛼 =∫ αλ𝐼𝐼𝜆𝜆dλ α 0 ∫ 𝐼𝐼₀α 𝜆𝜆dλ (169) y para la emisividad: ε =∫ Eb,λ(T)dλ α 0 ∫ E₀α b,λdλ = ∫ ε₀α λEb,λdλ σT4 (170)

Así pues, la potencia térmica radiada E por una superficie gris que posee una emisividad ε y que se halla a la temperatura absoluta T es:

E = ε Eb = εσT4 (171)

En síntesis, una superficie negra, a la temperatura absoluta T, emite radiación según la ecuación de Stefan Boltzmann.

Transmisión de calor por radiación

Si se trata de una superficie gris, para calcular la radiación emitida basta multiplicar ésta por su emisividad s:

E = εEb

Siendo E la energia radiante emitida por la superficie gris y Eb la energia radiante que

emitiría dicha superficie si fuera una superficie negra.

Obsérvese que la emisividad de una superfìcie 1 no depende de las demás superficies 2, 3, etc. que puedan emitir radiación sobre 1, ni de sus temperaturas. Sólo depende de la temperatura y de las condiciones del material de la superficie emisora. Así pues, (168) que expresa la ley de Kirchhoff sobre una base monocromática, no exige que las superficies que irradian sobre 1 estén a la misma temperatura. Dado que las propiedades radiactivas del cuerpo o superficie gris son independientes de la longitud de onda, se cumplirá en cualquier caso la relación (168) y, en consecuencia, genéricamente:

α = ε

Aunque no exista equilibrio térmico entre el cuerpo y sus alrededores.

El cuerpo o superficie gris constituye una modelización de la realidad, pues las propiedades radiactivas varían con la longitud de onda. Una buena solución consiste en dividir en porciones la zona del espectro en la que se desea calcular la propiedad total, y así, en cada una de ellas, se considerará constante la propiedad.

Por lo que se refiere a la energía radiante reflejada, hay que distinguir entre dos categorías extremas de superficies reflectoras, las especulares y las difusas. Un reflector especular refleja la radiación térmica como un espejo refleja la radiación visible, es decir, con un ángulo definido de reflexión igual al ángulo de incidencia. Sólo las superficies que se comportan de esta manera se pueden considerar especulares. Un reflector difuso refleja la radiación incidente con la misma intensidad en todas las direcciones.

Ejemplo n° 23

Un filamento incandescente está a 2.500 K. Determinar el poder emisivo total y la cantidad de energía emitida en la banda del espectro visible (0,38 a 0,76 mm). Considérese que el filamento es un cuerpo negro.

El poder emisivo total del cuerpo negro viene dado por la ecuación (162); Eb = σT4 = 5,67 · 10-8 · 2.5004 = 2,21 · 107 · W/m2

En la banda del espectro visible:

λ1T = 3,8 · 10-7 · 2.500 = 0,00095 mK

λ2T = 7,6 · 10-7 · 2.500 = 0,00190 mK

1 σT4� Eb,λdλ λ1 0 = 0,000281 1 σT4� Eb,λdλ λ2 0 = 0,05304 Por consiguiente: Eb(𝜆𝜆2,𝜆𝜆1) σT4 = 0,053040 - 0,00028 = 0,0528

el porcentaje de energía visible y, en consecuencia captada por el ojo humano, emitido por el filamento incandescente es sólo el 5,28% de la energía emitida. La energía restante, o buena parte de ella, se emite en la zona del infrarrojo, que no puede ser percibida por el ojo humano pero sí por la piel.