4 CONCLUSIONS AND RECOMMENDATIONS 1 Observations
4.2 Key Findings (Additional findings are presented in Appendix 7)
A) 30° B) 45° C) 53° D) 60° E) 90°
10. La diagonal de un octaedro regular mide 6 unidades. Calcular el volumen de dicho octaedro.
A) 6 u3 B) 6 u3 C) 6 2 u3 D) 9 u3 E) 3 3 u3
11. Se ubican los puntos medios L, M y N de las aristas EF, BF y FG de un hexaedro regular ABCD – EFGH, respectivamente. Calcular la distancia entre las rectas LM y BN. Si BH = 36.
A) 6 B) 2 3 C) 4 D) 3 2 E) 3
12. Se tiene un octaedro regular E–ABCD–F cuya arista mide 6 unidades. Calcular la mínima distancia entre las rectas BC y EM, siendo M punto medio de la arista AD. A) 2 6 B) 6 C) 3 3 D) 3 E) 2 3
13. El área total de un tetraedro regular es igual a 8 3 u2. Calcular la mínima distancia en-
tre dos aristas opuestas de dicho tetraedro. A) 3 B) 2 C) 3 D) 2 E) 3
2
14. El volumen de un octaedro regular es igual a 6 u3. Calcular la distancia del centro del
octaedro a una de sus caras.
A) 2 B) 3 3 C) 1 D) 2 2 E) 6 6
15. La distancia del centro de un tetraedro regular a una de sus caras es igual a 2 uni- dades. Calcular el volumen del tetraedro. A) 36 6 u3 B) 48 3 u3 C) 72 2 u3 D) 64 3 u3 E) 80 2 u3
16. El volumen de un tetraedro regular es igual a 9
4 2 . Calcular la longitud de la altura de dicho tetraedro.
A) 3 2 B) 3 C) 2 3 D) 6 E) 2
17. Un poliedro convexo está limitado por 4 regiones triangulares, 2 regiones cua- drangulares y "x" regiones pentagonales. Calcular "x", si la suma del número de aristas con el número de diagonales de dicho poliedro es igual a 44.
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
18. Un tetraedro regular de 400 m2 de superficie
total, se secciona mediante un plano paralelo a una cara, de modo que se obtiene un te- traedro cuyas aristas son la mitad de los del tetraedro original y un tronco de pirámide de cuya superficie total será:
A) 200 B) 300 C) 350 D) 325 E) 250
19. Hallar en qué relación se encuentran las áreas de un hexaedro y un icosaedro re- gulares, sabiendo que la arista del primero es la triple de la del segundo.
A) 9 B) 18 C) 3 D) 9 3 E) 9
PoLiEDros rEGULarEs
20. Las aristas de un cubo miden 15 cm cada una. Si una mosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y parte de uno de los vértices, el máximo recorrido que puede hacer para volver a su punto de partida, sin pasar dos veces por la misma arista es: A) 1,80 m B) 0,60 m C) 0,75 m D) 0,90 m E) 1,20 m
SiStEmatización
21. Calcular el área total de un hexaedro re- gular, sabiendo que la distancia de uno de los vértices al centro de una cara opuesta es de 2 m.
A) 40 m2 B) 45 m2 C) 25 m2 D) 16 m2 E) 20 m2
22. Se tiene un tetraedro regular de arista "a". Hallar el volumen del tetraedro regular que se forma al unir los baricentros de las caras. A) a3 2 27 B) a3 2 81 C) a3 2 162 D) a3 2 216 E) a3 2 324
23. En un triedro trirectángulo O – ABC se sabe que: OA = 1 cm; OB = 2 cm y OC = 3 cm. Hallar la distancia de "O" a la sección plana ABC.
A) 5/7 B) 6/7 C) 1 D) 4/7 E) 5/8
24. Se tiene un cubo de arista "a", hallar el área del triángulo PQR, si P es centro, Q y R son puntos medios.
R Q P A) a2 3 4 B) a2 3 8 C) a2 3 2 D) a2 3 6 E) a2 3 3
25. En un tetraedro regular ABCD, M y N son puntos medios de AD y BC, respectiva- mente. Si la distancia entre MN y AC es 3 2 u, calcular el área de la superficie del poliedro conjugado del tetraedro inscrito en él. A) 4 3 u2 B) 2 3 u2 C) 16 3 u2 D) 6 3 u2 E) 5 3 u2
rESPuESta
1. A 2. D 3. B 4. B 5. B 6. C 7. A 8. B 9. D 10. B 11. D 12. A 13. D 14. D 15. D 16. D 17. E 18. C 19. D 20. E 21. D 22. E 23. B 24. B 25. CGEomETrÍa
TEma 14
TarEa
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EjErcitación
1. Calcular el área lateral del prisma recto mostrado. 30° 1 (3– 3 ) a) 3 B) 6 C) 8 d) 12 E) 16
2. El área lateral de un cilindro recto es “a” y su volumen es “V”. Calcular el radio de la base. a) aV B) 2a V C) V2 a d) 2V a E) V 2a
3. Calcular “S” , si la figura es un prisma. a = 15m2, B = 20m2 a) 20 2 m2 B a S B) 10 m2 C) 20 m2 d) 25 m2 E) N.a.
4. dado un cilindro de revolución cuya área lateral es numéricamente igual al volumen, si la generatriz mide 3u. Calcular el perí- metro de la superficie lateral del desarrollo del cilindro.
a) (π+3)u B) (6π+4) C) (6π+3) d) (8π+6) E) 2π
5. El desarrollo de un prisma es un rectángulo cuya diagonal mide 8m y su altura 4 3 m. Calcular el área lateral de dicho sólido. a) 32 3 m2 B) 32 m2 C) 16 m2 d) 12 m2 E) 16 3 m2
6. Se tiene un cilindro cuyo radio de la base mide 40 cm y de la altura 30 cm. Un plano pasa a 24 cm del eje y es paralelo a ella. El área de la sección mide:
a) 1920 cm2 B) 960 cm2 C) 720 cm2 d) 800 cm2 E) 540 cm2
7. La figura es el desarrollo de un prisma triangular regular. Calcular el volumen del sólido en mención. a) 37 3 6 B) 36 C) 3 d) 12 E) N.a.
prisma y cilindro
8. En qué porcentaje debe aumentar la altura de un cilindro, sabiendo que el radio de su base disminuye un 50%, para que ambos sólidos (final e inicial) tengan el mismo volumen.
a) 100% B) 200% C) 300% d) 400% E) 30%
Profundización
9. Calcular el área lateral del prisma triangular regular, si la arista lateral es 3 y la arista básica es 2.
a) 2 3 B) 3 3 C) 6 3 d) 18 E) 12
10. al aumentar el radio de un cilindro en 6m el volumen aumenta en x m3. Si la altura del cilindro aumenta en 6m el volumen aumenta en xm3 si la altura inicial mide 2 m, el radio original es:
a) 2 m B) 4 m C) 6 m d) 8 m E) 10 m
11. Calcule el volumen del rectoedro.
60° 437° a) 24 3 B) 48 2 C) 16 3 d) 90 E) 48 3
12. En cuánto aumenta el volumen de un ci- lindro de revolución, si el radio de la base aumenta en el 20% y la altura disminuye en el 20%.
a) 15,2% B) 20% c) 30% d) 40% E) 50%
13. Calcule el volumen del prisma regular.
3 2 2 a) 36 B) 18 C) 72 d) 48 E) 4 3
14. Calcular el volumen de un cilindro circular recto, sabiendo que su proyección sobre un plano perpendicular a su base es una región cuadrada de 16 m2 de área. a) 16π m3 B) 8π m3 C) 10π m3 d) 4π m3 E) 2π m3
15. El siguiente sólido es un prisma. Halle el valor de S, si: a = 4 3 m2, B = 4m2. a) 4 B a S B) 8 C) 12 d) 16 E) N.a.
16. En el gráfico, calcular el volumen del cilin- dro circular recto, si aP = 5u, aB = 4u y mBP= 60º. a) 36π a B P B) 12π C) 8π d) 10π E) 20π
prisma y ciLindro
17. En un vaso que tiene la forma de un cilindro recto de revolución, la longitud de la altura es el doble de la longitud del diámetro de la base, si e vaso contiene un líquido que ocupa los 3/4 partes de su capacidad. Determina la medida del ángulo que debe inclinarse desde su posición normal hasta el instante en que el líquido está por de- rramarse.
a) 30 B) 45 C) 60 d) 75 E) 90
18. Calcule el semi volumen de un prisma triangular regular. Si la arista lateral es 2 3 y la arista básica es 4.
a) 24 B) 12 C) 6 d) 18 E) 48
19. En el cilindro equilátero mostrado PM = MQ, BM2–OM2 = 18 y maQ = 60. Calcula el área de su superficie total. a P M Q B O a) 54 π B) 36 π C) 16 π d) 48 π E) 25 π
20. Calcule el área lateral de un prisma regular de 20 aristas básicas, además las aristas básicas son de igual longitud que las late- rales que valen 2 cm.
a) 40 cm2 B) 80 C) 20 d) 100 E) imposible
SiStEmatización
21. Las bases de un cilindro recto están inscri- tas en dos caras opuestas de un hexaedro regular.
Calcular el volumen del cilindro si la diago- nal intersecta a la superficie cilíndrica en dos puntos que distan 6 cm.
a) 2π cm3 B) 4π cm3 C) 3π cm3 d) 5π cm3 E) 8π cm3
22. Un cubito descansa en el fondo de un prisma recto lleno de agua (Ver figura) Al extraer al cubito la altura del agua dismi- nuye en 1/8. Hallar el área del triangulo aBC: a B C 2 cm 4 2 cm 4 6 cm a) 4 3 cm2 B) 16 3 cm2 C) 8 3 cm2 d) 12 3 cm2 E) 15 3 cm2
23. ¿Cuál es la relación entre las alturas de dos cilindros de revolución semejantes, si sus volúmenes están en la relación de 27 a 216?
a) 1/2 B) 2/3 C) 4/3 d) 1 E) 2
24. La figura muestra un prisma triangular re- gular, cuya arista lateral es igual a la altura de la base. Si el área del triángulo AHP es 72u2. Calcular el volumen del prisma.
prisma y cilindro F P d E B a H a) 152 3 u3 B) 728 3 u3 C) 576 3 u3 d) 596 3 u3 E) 166 3 u3
25. Los volúmenes de dos cilindros de revolu- ción están en la relación de 125 a 216. ¿Cuál es el radio del cilindro mas grande si el del mas pequeño es de 5m?
5 R v2 v1 a) 2m B) 4m C) 6m d) 8m E) 10m
rESPuESta
1. B 2. d 3. d 4. d 5. E 6. a 7. C 8. C 9. d 10. a 11. E 12. a 13. a 14. a 15. B 16. a 17. B 18. B 19. a 20. B 21. E 22. C 23. a 24. C 25. CGEomETrÍa
TEma 15
TarEa
SOii1G15T
EjErcitación
1. La arista de un tetraedro regular es igual a 4. Calcular el área total.
A) 12 3 B) 14 3 C) 16 3 D) 18 3 E) 20 3
2. En el cubo mostrado, "P" es un punto de la cara BFGC. Calcular el volumen de la pirámide P – AEHD. E B 6 D P C G A F H A) 70 B) 72 C) 74 D) 76 E) 78
3. La base de una pirámide cuadrangular regular tiene un lado igual a 3. La altura es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a la base. Calcular su volumen. A) 20 2 B) 18 2 C) 16 2 D) 14 2 E) 9 2
4. La altura de un tetraedro es igual a 6/3. Calcular su volumen.
A) 2/12 B) 2/6 C) 2/7 D) 2/16 E) 2/8
5. Calcular el área total de una pirámide cua- drangular regular, cuyas caras laterales son triángulos equiláteros y cuya arista básica es 4.
A) 16( 3 + 1) B) 16( 3 + 2) C) 16( 3 + 3) D) 16( 3 + 4) E) 16( 3 + 5)
6. El perímetro de la base de una pirámide cuadrangular regular es igual a 12. La altura es igual a la diagonal de la base. Calcular su volumen.
A) 8 2 B) 9 2 C) 10 2 D) 12 2 E) 3 2
7. En una pirámide regular de base cuadrada cuyo lado mide 12, la arista lateral de la pirámide mide 10. Calcular el área total. A) 144 B) 336 C) 288 D) 168 E) 112
8. Calcular el volumen de una pirámide cua- drangular regular cuya arista básica mide 6. Siendo su área lateral el quíntuplo del área de la base.
A) 72 B) 72 6 C) 72 3 D) 48 6 E) 54 3
Profundización
9. Calcular el área lateral de una pirámide si su base es un hexágono regular, si su apotema mide 10 y su arista básica mide 8.
pirámide y cono
A) 480 B) 240 C) 360 D) 280 E) 140
10. Una pirámide regular de base cuadrada es equivalente con un cubo. Si la arista del cubo mide 6 y la arista básica de la pirámide mide 9, calcular la altura de la pirámide.
A) 16 B) 9 C) 8 D) 24 E) 12
11. Hallar el volumen de una pirámide cua- drangular regular si las aristas laterales miden 5 y la altura 4.
A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 48
12. El área lateral de un cono circular recto es 90π. Si la medida de su generatriz es el doble de la medida del radio del círculo de su base, calcular el área de su base. A) 9π B) 35π C) 45π D) 60π E) 27π
13. El volumen de un cono circular recto es 90π. Si la medida de la altura del cono es el triple de la medida del radio de la base, calcular la medida del radio.
A) 453 B) 903 C) 153 D) 603 E) 1003
14. La altura de un cono circular recto es 20, la medida del radio de la base es a la medida de la generatriz como 3 es a 5. Calcular el área total del cono.
A) 150π B) 200π C) 600π D) 300π E) 250π
15. El área lateral de un cono recto es igual a 65π y el área de su base es 25π. Calcular el volumen del cono.
A) 50π B) 75π C) 100π D) 80π E) 120π
16. Si el volumen de un cono es numérica- mente igual al doble del área de su base, calcular la medida de su altura.
A) 3 B) 4 C) 7,5 D) 6 E) 12
17. Calcular el radio de una esfera inscrita en un octaedro regular cuya arista mide "a". A) a 7 3 B) a 6 6 C) a 2 4 D) a 3 2 E) a2
18. El área lateral de un cono recto de revolución es el doble del área de su base. Calcular la medida del ángulo que forma la generatriz con la altura.
A) 10° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°
19. El desarrollo de la superficie lateral de un cono circular recto es un sector de 120°. Calcular en qué relación está el radio de la base con la generatriz.
A) 1 B) 1
2 C) 13 D) 1
4 E) 15
20. Calcular el volumen de un cilindro de revolución el cual se halla circunscrito a una pirámide regular cuadrangular cuyo volumen es "V". A) 3Vπ 5 B) 3Vπ C) 4Vπ D) 3Vπ 2 E) 4Vπ 3
pirámidE y cono
SiStEmatización
21. Calcular el volumen de un cono cuyo vérti- ce coincide con el de un tetraedro regular de arista "a" cuya base está circunscrita a la base del tetraedro.
A) a3 2 π 17 B) a3 6 π 27 C) a3 5 π 37 D) a3 3 π 18 E) a3 2 π 19
22. Una cuerda de la base de un cono de re- volución mide 8 m y la sagita mide 2 m. Si la altura es de 10 m, calcular la generatriz. A) 12 m B) 13 C) 20 D) 10 3 E) 5 5
23. El volumen del cono superior es 48 m3.
Calcular el volumen del cono total, si el plano "P" es paralelo a la base.
P h 2h A) 96 m3 B) 162 m3 C) 192 m3 D) 184 m3 E) 208 m3
24. El área lateral de un cono de revolución es S y el área total es S1. Determine el ángulo que forma la altura y la generatriz. A) ArcSenS1 – S S B) ArcSenS1 S C) ArcSen S S1 D) ArcSen S 2S1 E) ArcSenS1 – S 2S
25. En un tronco de pirámide de bases pa- ralelas ABC–DEF, los volúmenes de las pirámides ABCE, DEFC son V1 y V2. Halle el volumen de la pirámide ACED. A) V1 + V2 B) V1 + V2 2 C) V1V2 D) V1V2 2 E) V1V2 V1 + V2
rESPuESta
1. C 2. B 3. E 4. A 5. A 6. B 7. B 8. B 9. B 10. C 11. C 12. C 13. B 14. C 15. C 16. D 17. B 18. B 19. C 20. D 21. B 22. E 23. B 24. A 25. EgeomeTrÍa
Tema 16
Tarea
Sniii2G16T
ejercitación
1. El volumen de una esfera es numéricamen- te igual a su área. Calcular su radio. a) 1 b) 3 C) 6 d) 9 E) 27
2. El área total de un cubo es 96 m2. Calcular el área de la esfera inscrita en dicho cubo. a) 16 p b) 8 p C) 12 p d) 32 p E) 4 p
3. El volumen de un cilindro es 30 m3. el volumen de la esfera inscrita en el cilindro es: a) 20 b) 12 C) 18 R d) 25 E) 15
4. a 4 u del centro de una esfera, se traza un plano secante el cual determina una sección cuya área es igual a 9p u2. Calcule el radio de la esfera
a) 10 u b) 8 u C) 7 u d) 5 u E) 6 u
5. Hallar el volumen de la semiesfera, si el área lateral del cilindro es 18p
a) 12p b) 20p C) 16p d) 24p E) 18p
6. Del gráfico, calcular OC, de modo que al girar las regiones sombreadas 360° alrededor de aC generen sólidos equiva- lentes, AO = OB = 4 a b C O a) 8 b) 4 C) 16 d) 6 E) 5
7. Sabiendo que el volumen de un cono de revolución equilátero es “V”. Calcular el volumen de la esfera inscrita.
a) 3V/5 b) 4V/27 C) 4V/9 d) 7V/17 E) 2V/3
8. La sección máxima de una esfera tiene área "S". Calcular el área total resultante, al dividir dicha esfera, mediante un plano, en dos sólidos congruentes
a) 2 s b) 3 s C) 4 s d) 6 s E) 8 s
profundización
9. Calcular el área de la superficie esférica circunscrita a un cubo, si el área de la superficie esférica inscrita en el es 60 a) 120 b) 240 C) 180 d) 220 E) 180 3