de que no tengamos una solución analítica explícita. Para llevar a cabo este tipo de análisis se utilizan los
diagramas de fase. En el caso más sencillo, estos consisten en la gráfica de sistemas autónomos del tipo
˙x = f (x), (3.4)
donde los estados estacionarios, o puntos fijos, de acuerdo con la definición 2.2.2 están representados por los puntos para los cuales ˙x = 0, es decir, en donde f (x) = 0.
La evolución del sistema (3.4), también llamado sistema dinámico, depende de la condición inicial x(0) = x0. La representación visual se hace en el plano X ˙X donde las flechas indican la evolución del sistema en el tiempo, como se indica en la figura 3.2 correspondiente a la ecuación
˙x =−x + 2. (3.5) x . x 2 4 -2 2 -2
Figura 3.2: Diagrama de fase para la ecuación (3.5).
El punto (2, 0) representa un equilibrio asintóticamente estable. Dado cualquier valor inicial x(0), el sistema se mueve sobre el eje horizontal en la dirección de las flechas. Éstas se obtienen notando que ˙x > 0arriba del eje x y ˙x < 0 por debajo del mismo, lo cual nos determina si la función x(t) crece o decrece conforme transcurre el tiempo. Una situación más interesante se presenta al graficar
˙x = x3− 2x2− x + 2. (3.6)
como puede verse en la figura 3.3.
En este caso existen tres equilibrios: en x1 = −1, x2 = 1y x3 = 2. El primero y el tercero son inestables pero el segundo es asintóticamente estable. Se puede observar que la pendiente de la gráfica alrededor del punto de equilibrio determina la estabilidad del mismo. El equilibrio es estable si la pendiente es negativa e inestable si es positiva. La figura 3.4 muestra la trayectoria para x(t) cuando x(0) = 0.Observamos que lim
t→−∞x(t) =−1 y limt→∞x(t) = 1.
52 Ecuaciones no lineales de primer orden
x.
x
-1 1 2
2
Figura 3.3: Diagrama de fase de la ecuación (3.6).
Teorema 3.3.1
Dados el sistema dinámico ˙x = f (x)y un punto de equilibriox∗tal quef(x∗)= 0,se cumple
f(x∗) < 0⇔ x∗esasintóticamente estable.
Demostración (esbozo)
Sean x∗un punto fijo del sistema dinámico y η(t) = x(t)− x∗una pequeña perturbación alrededor de x∗; se tiene entonces que ˙η = ˙x = f (x). Usando la aproximación lineal de Taylor de ˙η alrededor de x∗ tenemos que
˙
η f(x∗)(x− x∗) = ηf(x∗). (3.7) Notamos que (3.7) tiene como solución η = Kef(x∗)t,con lo cual tenemos que la perturbación tiende
a cero si f(x∗) < 0y diverge si f(x∗) > 0.Por lo tanto si f(x∗) < 0, lim t→∞η(t) = limt→∞(x− x ∗) = 0, con lo cual, lim t→∞x(t) = x ∗
y x∗es asintóticamente estable si f(x∗) < 0. De manera análoga, si f(x∗) > 0, lim
t→∞η(t) = limt→∞(x− x
∗) =±∞
con lo cual x∗es inestable.
A continuación realizamos el análisis cualitativo de algunos modelos económicos.
§3.3.1 Modelo de Solow-Swan
El modelo de crecimiento de Solow y Swan (véase [Sol56] y [Swa56]) extiende el modelo visto en el ejemplo 2.2.3 incorporando una función de producción. Una vez más, se trata de explicar el crecimiento
§ 3.3 Diagramas de fase y estabilidad 53 x* = 1 x = 00 t x x* = -1 Figura 3.4: Trayectoria de x(t) si x(0) = 0.
de la producción por medio de un modelo plausible. Al igual que antes, se asume que la propensión marginal a ahorrar está dada de manera exógena. Se utiliza la siguiente notación:
• Y = producción, • K = capital, • L = fuerza laboral, • S = ahorro, • I = inversión bruta,
• δ = tasa de depreciación del capital,
• s = propensión marginal a ahorrar (constante),
• n = tasa constante de crecimiento de L, suponiendo crecimiento exponencial, • y = Y
L =producción per cápita, suponiendo que todos trabajan,
• k = K
L =capital per cápita.
Se asume que Y = F (K, L), donde F es una función de producción linealmente homogénea2 y con las propiedades usuales: FK, FL > 0, FKK, FLL < 0, FKL > 0, FK(0, L) > δy F (0, L) =
F (K, 0) = 0. 2Una función f(x
1, x2, . . . , xn) es homogénea de grado k si para todo λ = 0 se tiene
f(λx1, λx2, ..., λxn) = λkf(x1, x2, ..., xn). En particular, si k= 1 decimos que la función es linealmente homogénea.
54 Ecuaciones no lineales de primer orden
La población es igual a la fuerza laboral y crece a la tasa constante n y el ahorro es una proporción fija, s, del ingreso, de manera que se cumplen
˙ L = nL, S = sY. Por definición, la inversión bruta está dada por
I = ˙K + δK,
es decir, está compuesta de la inversión neta, ˙K,más la inversión requerida para reponer el capital depre- ciado, δK. Dado que la función de producción es linealmente homogénea podemos expresar la produc- ción per cápita como sigue:
y =Y L = F ( K L, L L) = F (k, 1) = f (k),
donde f > 0, f < 0, f(0) > δy f (0) = 0. Al igual que en el modelo de Harrod-Domar se tiene que, en equilibrio, I = S y por lo tanto
sY = ˙K + δK.
De aquí se obtiene ˙K = sY − δK y dividiendo ambos lados entre K ˙ K K = sY − δK K = sY L ( L K)− δ = sf (k) k − δ. No es difícil verificar que
˙ K K = ˙k k+ ˙ L L = ˙k k+ n,
así que sustituyendo en la ecuación anterior y reacomodando términos se obtiene finalmente
˙k = sf(k) − (n + δ)k. (3.8)
El análisis cualitativo se puede realizar, a pesar de no conocer la forma específica de la función f . Nótese que la gráfica en el plano K ˙Kpasa por el origen, es cóncava y tiene un máximo en kmax, donde kmaxes tal que f(kmax) = n+δ
s . Asimismo, existen dos equilibrios: uno en el origen (inestable) y otro
en k∗ (estable), donde k∗ satisface sf (k∗)− (n + δ)k∗ = 0. Podemos utilizar el teorema 3.3.1 para verificar este hecho. Lo importante es notar que la función sf (k)− (n + δ)k cruza al eje horizontal en dos puntos, uno con pendiente positiva y otro con pendiente negativa. Estas consideraciones pueden observarse en la figura 3.5.
La trayectoria del capital se ilustra en la figura 3.6, donde puede observarse la convergencia asintótica a k∗.Como consecuencia de esto, la producción per cápita converge a un estado estacionario dado por y∗= f (k∗).
Antes de la aparición del modelo de Solow-Swan el modelo más utilizado era aquel el propuesto por Harrod y Domar (véase [Har39] y [Dom46]). Influenciados por la gran depresión de los años treinta del siglo pasado, la finalidad de este modelo era el concluir que el sistema capitalista era intrínsecamente
§ 3.3 Diagramas de fase y estabilidad 55 . k k* k 0 kmax
Figura 3.5: Diagrama de fase para el modelo de Solow.
k*
k0
t k
k0
Figura 3.6: Trayectoria del capital.
inestable. Una característica de este modelo es la relación ˙K = v ˙Y entre el capital y la producción utilizada en el ejemplo 2.2.3. A diferencia del modelo visto en el ejemplo mencionado, Harrod y Domar tenían en mente una función de producción con dos insumos: K y L en donde la razón capital trabajo era constante.
El modelo de Harrod-Domar puede plantearse básicamente igual al de Solow-Swan con excepción de la función de producción, que tomamos tipo Leontieff, es decir, de la forma
Y = F (K, L) = min{AK, BL}, A, B > 0.
Esta especificación de la función de producción implica que no hay capacidad de sustitución entre el capi- tal y el trabajo, de manera que estos factores siempre se utilizan en las mismas proporciones. El problema radica en que, salvo para ciertos valores de los parámetros (concretamente si sA = n + δ), siempre existe desempleo en alguno de los factores de producción (K o L). En el estado estacionario existirán máqui- nas ociosas o trabajadores desempleados cuyo número aumentará de manera sostenida. El modelo de
56 Ecuaciones no lineales de primer orden
Solow-Swan soluciona este problema al considerar una función de producción doblemente diferenciable, en donde los productos marginales se ajustan continuamente a las cantidades de los insumos. Remitimos al lector a [SiM94] para mayor detalle sobre el modelo de Harrod-Domar.