Georg Cantor creó la teoría de conjuntos a raíz de su deseo de dar una base firme a la teoría de los números reales. A pesar de los prejuicios y las críticas iniciales, a comienzos del siglo xx la teoría de conjuntos ya estaba firmemente asentada como una rama de las matemáticas.
¿Qué son los conjuntos?
Un conjunto puede considerarse un grupo de objetos. Esta definición es informal, pero nos da la idea fundamental. A los objetos en sí se les denomina «elementos» o «miembros» del conjunto. Si escribimos un conjunto A que tiene un miembro a, podemos escribir a ∈ A, como hacía Cantor. Un ejemplo es A = {1, 2, 3, 4, 5} y podemos escribir 1 ∈ A para indicar la perte nencia al conjunto, y 6 ∉ A para indicar la no pertenencia.Los conjuntos pueden combinarse de dos formas importantes. Si A y
B son dos conjuntos, el conjunto que consiste en elementos que son
miembros de A o B (o de ambos) se denomina la «unión» de los dos conjuntos. Los matemáticos escriben esto como
A ∪ B. Esto también puede describirse mediante un diagrama de Venn, llamado así en homenaje al Reverendo John Venn, lógico victoriano. Euler usó diagramas como éstos incluso antes.
El conjunto A ∩ B está compuesto por elementos que son miembros de A y B y se le llama la «inter sección» de los dos conjuntos.
Cronología
EA B
La unión de A y B
1872 d.C.
1881
Cantor da un paso de tanteo en Venn populariza los «diagramas la creación de la teoría de conjuntos de Venn» para los conjuntos
El complemento de A
1931
1939
1964
Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3, 5, 7, 10, 21}, la unión es A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 21} y la inter sección es A ∩ B = {1, 3, 5}. Si pensamos en un conjunto A como parte de un conjunto universalE, podemos definir el conjunto complementario
¬A diciendo que está compuesto por aquellos ele mentos de E que no están en A.
Las operaciones ∩ y ∪ en los conjuntos son análo
gas a × y + en el álgebra. Junto con la operación de complemento ¬, hay un «álgebra de conjuntos». El matemático
británico Augustus De Morgan formuló unas leyes para mostrar cómo funcionaban conjuntamente
las tres operaciones. En nuestra notación moder- A
na, las leyes de De Morgan son: ¬(A ∪ B) = (¬A) ∩ (¬B) y
¬(A ∩ B) = (¬A) ∪ (¬B)
Las paradojas
No hay ningún problema a la hora de ocuparnos de los conjuntos finitos, porque podemos hacer una lista de sus ele mentos, como en A = {1, 2, 3, 4, 5}, pero en la época de Cantor los conjuntos infinitos suponían un mayor desafío.Cantor definió los conjuntos como grupos de elementos que tenían una propiedad concreta. Piense en el conjunto {11, 12, 13, 14, 15...}, de todos los números enteros mayores de 10. Como el conjunto es in finito, no podemos anotar todos sus elementos, pero, no obstante, po demos precisarlo debido a la propiedad que todos sus miembros tienen en común. Siguiendo el ejemplo de Cantor, podemos escribir el con junto como A = {x: x es un número entero > 10}, donde los dos puntos significan «tal que».
En la teoría de conjuntos primitiva también podíamos tener un con junto de cosas abstractas, A = {x: x es una cosa abstracta}. En este caso
A es en sí misma una cosa abstracta, así que es posible que A ∈ A. Pero al permitir esta relación surgen graves problemas. Al filósofo bri tánico Bertrand Russell se le ocurrió la idea de un conjunto S que contenía todas las cosas que no se contenían a sí mismas. En símbolos, esto es S = {x: x ∉ x}. E A B La intersección de A y B E
Gödel demuestra que cualquier sistema Matemáticos franceses Cohen demuestra matemático axiomático formal contiene usan por primera vez el la independencia de la afirmaciones indecidibles seudónimo Bourbaki hipótesis del continuo
Después hizo la pregunta: «¿Es S ∈ S?» Si la respuesta es «Sí», S debe cumplir con la frase definitoria de S, y por consiguiente S ∉ S. Por otro lado, si la respuesta es «No» y S ∉ S, S no cumple con la relación definitoria de S = {x: x ∉ x} y por consiguiente S ∈ S. La pregunta de Russell acababa con esta afirmación, la base de la paradoja de Russell:
S ∈ S si y solamente si S ∉ S
Es imprescindible evitar este tipo de paradojas, que se denominan educadamente «antinomias». Para los matemáticos, sencillamente no es permisible tener sistemas que generen contradicciones. Russell creó una teoría de tipos y sólo permitió a ∈ A si a era de un tipo infe rior a A, evitando así expresiones como S ∈ S.
Otra manera de evitar estas antinomias era formalizar la teoría de conjuntos. En este enfoque no nos preocupamos por la naturaleza de los propios conjuntos, sino que hacemos una lista de axiomas formales que estipulan reglas para tratarlos. Los griegos intentaron algo similar con uno de sus problemas: no tenían que explicar qué eran las líneas rectas, sino únicamente cómo se las debía tratar.
En el caso de la teoría de conjuntos, éste fue el origen de los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos, que impedían que en su sistema aparecieran conjuntos que eran demasiado «grandes». Esto impidió eficazmente que aparecieran criaturas tan peligrosas como el conjunto de todos los conjuntos.
El teorema de Gödel
El matemático austríaco Kurt Gödel tumbó de un golpe a aquellos que querían escapar de las paradojas a los sistemas axiomáticos formales. En 1931, Gödel demostró que in cluso en el caso de los sistemas formales más simples había afirmacio nes cuya veracidad o falsedad no podían deducirse desde el interior de estos sistemas. Informalmente, había afirmaciones que quedaban fue ra del alcance de los axiomas del sistema. Eran las afirmaciones inde cidibles. Por este motivo el teorema de Gödel se parafrasea como «el teorema de incompletitud». Este resultado era aplicable tanto al siste ma de Zermelo-Fraenkel como a otros sistemas.Los números cardinales
El número de elementos de un con junto finito es fácil de contar, por ejemplo A = {1, 2, 3, 4, 5} tiene 5 elementos, o decimos que su «cardinalidad» es 5 y escribimos card(A) = 5. Hablando en términos generales, la cardinalidad mide el «tama ño» de un conjunto.Según la teoría de conjuntos de Cantor, el conjunto de fracciones Q y el de los números reales R son muy distintos. El conjunto Q puede ponerse en una lista pero el conjunto R no (véase página 37). Aun que ambos conjuntos son infinitos, el conjunto R tiene un orden de
infinito superior al de Q. Los matemáticos denotan card(Q) mediante .
0 < c
א . Así que esto significa
0, el «álef cero» hebreo y card(R) = c
א
La hipótesis del continuo
La hipótesis del continuo, que Cantor sacó a la luz en 1878, dice que el siguiente nivel de infinito después del infinito de Q es el infinito de los números reales c. Dicho de otra manera, la hipótesis del continuo afirmaba que no había nin gún conjunto cuya cardinalidad estuviera comprendida estrictamente. Cantor lidió con ella y, aunque creía que era verdadera,
0 y c
א entre
no pudo probarla. Refutarla supondría hallar un subconjunto X de R , pero esto tampoco lo logró.
0 < card(X) < c
א con
El problema era tan importante que el matemático alemán David Hil bert lo situó a la cabeza de su famosa lista de 23 problemas destacados pendientes para el próximo siglo, que presentó al Congreso Matemá tico Internacional en París en 1900.
Gödel pensaba de forma categórica que la hipótesis era falsa, pero no lo demostró. Sí que demostró (en 1938) que la hipótesis era compati ble con los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos. Un cuarto de siglo después, Paul Cohen sobresaltó a Gödel y a los ló gicos demostrando que la hipótesis del continuo no podía deducirse de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. Esto equivale a demostrar que los axiomas y la negación de la hipótesis son compatibles. Combina do con el resultado de Gödel de 1938, Cohen había demostrado que la hipótesis del continuo era independiente del resto de los axiomas para la teoría de conjuntos.
Esta situación es similar en su naturaleza a cómo el postulado de las paralelas en geometría (véase página 114) es independiente de los otros axiomas de Euclides. Ese descubrimiento desembocó en un flo recimiento de las geometrías no euclídeas que, entre otras cosas, hi cieron posible el avance de la teoría de la relatividad de Einstein. De igual modo, la hipótesis del continuo puede aceptarse o recha zarse sin alterar los otros axiomas para la teoría de conjuntos. Des pués del resultado pionero de Cohen, se creó toda una nueva área de estudio que atrajo a generaciones de matemáticos que adoptaron las técnicas que él usó al demostrar la independencia de la hipótesis del continuo.