Linear and non-linear algorithms

Se consideraran los polígonos regulares que tienen más de 4 lados iguales por ejemplo pentágonos (5 lados), hexágonos (6 lados), entre otros. Los ángulos también son iguales.

Para calcular el área de estos polígonos se utiliza la siguiente expresión matemática 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 × 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑑𝑜 × 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 2 2 a L n A   .

La apotema es el segmento que va desde el centro del polígono hasta mitad de un lado. Ejemplo 1: calcular el área de un paralelogramo cuya base mide 10cm y la altura es de 7cm Solución

El área del paralelogramo viene dada por

𝐴 =𝑏 × ℎ

2

Se conoce la longitud de la base b= 10cm y la altura h= 7 cm, reemplazando valores

𝐴 = 10𝑐𝑚 × 7𝑐𝑚

2 =

70𝑐𝑚2

2 = 35𝑐𝑚2

Es decir que el área del paralelogramo es de 35cm2

Problema 1: Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para enlosar una superficie rectangular de 4 m de largo y 9 m de ancho.

Solución

Entender el problema: se dan las dimensiones de las baldosas de forma cuadrada que representan una superficie pequeña con el fin de conocer cuántas de ellas se necesitan para cubrir una superficie más grande de forma rectangular.

Configurar el plan: Se debe calcular primero el área de cada baldosa con el fin de conocer la superficie que cubre cada una de ellas, luego se calcula el área de la superficie mayor que se va a embaldosar. Debe tenerse en cuenta que las dimensiones tanto de las baldosas como de la superficie a embaldosar deben estar expresadas en las mismas unidades de medidas. Una vez calculadas las dos áreas para conocer cuántas baldosas se necesitan se divide el área de la superficie entre el área de la baldosa

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CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 92 de 138 Las baldosas tienen formas de un cuadrado de lado l = 10cm por lo tanto área de cada baldosa es 𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑙 × 𝑙 𝐴 = 10 𝑐𝑚 × 10 𝑐𝑚 = 100 𝑐𝑚2 Se convierten los 𝑐𝑚2 _{a 𝑚}2 100𝑐𝑚2 ₌ 100 10000𝑚2 = 0.01 𝑚2

La superficie que se va a embaldosar tiene forma de un rectángulo, por lo tanto su área viene dada por

𝐴 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 × 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝐴 = 𝐿 × 𝑎

Donde 𝐿 = 4 𝑚 y 𝑎 = 9 𝑚, remplazando valores se tiene

𝐴 = 4 𝑚 × 9 𝑚 = 36 𝑚2

Ahora se divide el área de la superficie por el área de la baldosa

36 𝑚2

0.01 𝑚2 = 3600

Por lo tanto se necesitan 3600 baldosas para enlosar la superficie.

Mirar atrás: para comprobar el resultado se podría estimar cuantas baldosas caben a lo largo y a lo ancho de la superficie. Se tendrá en cuenta que cada baldosa tiene 0,1m de lado, lo que significa en los 4m caben 40 baldosas y en los 9 m caben 90 baldosas. Por lo tanto 90×40 = 3600 baldosas

Problema 2: En las instalaciones la Universidad del Magdalena se desea construir un jardín como el que está representado en la siguiente figura. En la zona sombreada se va sembrar grama y el resto corales rojos. ¿Cuál es el área del jardín, qué área queda cubierta con corales y qué área queda cubierta con grama?.

Solución

Comprender el problema: Se presenta un hexágono de apotema a =8m, inscrito en una circunferencia de radio r =9m , se pide hallar el área del jardín que equivale al área del círculo, el área sembrada por corales que corresponde al área del hexágono y

el área sembrada con grama que corresponde la diferencia entre estas dos áreas.

Configurar el plan: Primero se encuentra el área de la circunferencia conociendo el radio r = 9m, luego se calcula el área del hexágono cuya apotema mide 8 m, como no se conoce el valor de los lados del hexágono se utiliza el teorema de Pitágoras para hallarlo y por último se

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CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA Página 93 de 138 calcula el área sombreada que se obtiene de la diferencia entre el área del círculo y el área del hexágono.

Ejecutar el plan:

 Se calcula el área del jardín que corresponde al área del círculo que viene dada por

𝐴 = 𝜋. 𝑟2 _{Reemplazando valores}

𝐴 = 3,14 × (9𝑚)2 _{= 3,14 × 81𝑚}2 _{= 254,46𝑚}2

El área del jardín será de 254,46 m2

 Se calcula el área sembrada con corales que corresponde al área del hexágono

Como no se conoce la longitud del lado del hexágono, aplicando el teorema de Pitágoras se puede calcular la mitad de la longitud del lado según se observa en la figura.

(𝐿₂)2 = 𝑟2_{− 𝑎}2 _{Reemplazando valores}

(𝐿₂)2 = (9𝑚)2_{− (8𝑚)}2 _{= 81𝑚}2_{− 64𝑚}2 _{= 17𝑚}2 _{Extrayendo raíz cuadrada}

𝐿

2=4,12m despejando L se tiene

L= 4,12m×2=8,24m

Se calcula el perímetro del hexágono 𝑃 = 6𝐿 = 6 × 8,24𝑚 = 49,44𝑚 El área del hexágono viene dada por 𝐴 =𝑃×𝑎₂

𝐴 =49,44𝑚 × 8𝑚

2 =

395,52𝑚2

2 = 197,76𝑚2

El área de la plantación de corales es de 197,76m2

 El área sembrada con grama se calcula restando el área del círculo menos la del hexágono

A = 254,46m2 _{– 197,76m}2 _{= 56,7 m}2

Luego el área sembrada con grama es de 56,7 m2

Mirar atrás: comprobar los cálculos ACTIVIDAD N° 2

1. Realiza las conversiones según se indique

2. Convertir a metros cuadrados las siguientes unidades de superficie.

a. 32 Dm2 _{b. 30000 cm}2 _{c. 1,16 Hm}2 ₌

d. 520000 dm2 _{e. 0,008 km}2 _{f. 2 000 000 mm}

3. Convierta a la unidad indicada

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d. 7.77 Km2 _{a Dm}2 _{e. 8000 cm}2 _{a m}2 _{f. 0.025 m}2 _{a cm}2

4. Una alfombra rectangular tiene 95cm de ancho y 175cm de largo. ¿Cuántos metros cuadrados se pueden cubrir con la alfombra?

5. Un terreno rústico de 5 hectáreas está valorado en $133.350.000.000 y se desea vender por metros cuadrados. ¿Cuál es el precio del metro cuadrado?

6. La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1.5m de lado y dos semicírculos adosados en l os lados

opuestos, como muestra la figura. Hállese el área de la mesa en m2 _{y en cm}2