La teor´ıa N = 4 SYM puede obtenerse como compactificaci´on sobre un T6 (toro de dimensi´on 6) de un multiplete vectorial N = 1 en 10 dimensiones. En particular, es posible ver que esta es la
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unica teor´ıa en d = 4 con cuatro supersimetr´ıas e invariante CPT. El contenido de campos consiste en un campo de gauge Aµ, con grupo de gauge que consideraremos SU (N ), seis escalares reales
ΦI y 4 fermiones de Weyl λa. Todos los campos toman valores en la representaci´on adjunta del
grupo de gauge, por ejemplo, Aµ = AcµTc, con Tc los generadores de SU (N ) en la representaci´on
fundamental, c = 1, . . . , N2− 1. El correspondiente Lagrangeano es9
L = tr ( 1 g2 Y M " 1 4FµνF µν+X a i¯λaσ¯µDµλa+ X I DµΦIDµΦI +X a,b,I CIabλaΦI, λb + X a,b,I ¯ CIabλ¯a h ΦI, ¯λb i +1 2 X I,J ΦI, ΦJ2 + θY M 16π2FµνF˜ µν . (1.84)
donde ˜Fµν = 12µνρσFρσy θY M es el ´angulo instant´onico. En este punto es importante aclarar que el
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algebra de supersimetr´ıa de N = 4 SYM posee una componente bos´onica denominada simetr´ıa R, la cual act´ua a trav´es de rotaciones entre las cuatro supercargas complejas, dando lugar a una simetr´ıa interna SU (4)R. Los ´ındices I, J, a, b en los campos escalares y fermi´onicos transforman ante esta
simetr´ıa interna. En particular, los I, J son ´ındices de la representaci´on 6 de SO(6)R ∼ SU (4)R,
mientras que los a, b pertenecen a la representaci´on 4 y 4∗ de SU (4)R. Por otro lado, los coeficientes
CIab y ¯CIab se obtienen a partir de las matrices del ´algebra de Clifford de SO(6)R∼ SU (4)R. Las
supercargas Qa
α y ¯Qa ˙α transforman en la representaci´on 4 y 4∗ de SU (4)R respectivamente y las
correspondientes transformaciones de supersimetr´ıa son de la forma δΦI =Qa α, φI = CIabλbα δλbβ = {Qaα, λbβ} = Fµν+(σµν)αβδab +ΦI, ΦJ αβ(CIJ)ab δ¯λbβ˙ = n Qaα, ¯λbβ˙ o = CIabσ¯µαβDµΦI δAµ= [Qaα, Aµ] = (σµ) ˙ β α¯λaβ˙
donde F+ es la fuerza de campo autodual y los (CIJ)ab se construyen a partir de bilineales en el
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algebra de Clifford de SO(6).
Esta teor´ıa es una caso particular de las teor´ıas de gauge discutidas al principio de este cap´ıtulo, por lo que posee un l´ımite planar bien definido, en el cual los valores esperados de los observables se organizan en una expansi´on topol´ogica de diagramas de Feynman, en t´erminos de los par´ametros N y λ = g2
Y MN . A su vez, como se mencion´o previamente, la dualidad AdS/CFT establece una
correspondencia entre esta teor´ıa y una teor´ıa de cuerdas tipo IIB sobre AdS5 × S5, la cual se
9Aqu´ı estamos escribiendo las matrices de Dirac en la representaci´on Weyl, en la cual la matriz de quiralidad es
diagonal y tenemos que
γµ= 0 σ µ ¯ σµ 0 ! , Espinor de Dirac ψ = ψα ¯ ψα˙ ! (1.83)
realiza expl´ıcitamente mediante la identificaci´on de los par´ametros de ambas teor´ıas, a saber gY M2 = 4πgs , λ = gY M2 N =
L4
α02 (1.85)
Asignando las dimensiones cl´asicas usuales, a saber [Aµ] = [φI] = 1, [λa] = 32, [gY M] = [θY M] =
0, es f´acil ver que la teor´ıa posee invariancia de escala a nivel cl´asico. M´as a´un, se puede ver que, a nivel cu´antico, las funciones de correlaci´on de los campos can´onicos no poseen divergencias UV, por lo que se concluye que la invariancia de escala es una simetr´ıa exacta de la teor´ıa, es decir β = 0 10. Esta simetr´ıa se combina con la invariancia frente al grupo de Poincar´e en d = 4 y con las transformaciones conformes especiales para formar el grupo de simetr´ıa conforme en d = 4, SO(2, 4) ∼ SU (2, 2). A su vez, en combinaci´on con el grupo de supersimetr´ıa Poincar´e N = 4, estas simetr´ıas cierran el grupo de simetr´ıa superconforme SU (2, 2|4). Este supergrupo posee los sub- grupos bos´onicos SO(2, 4) y SU (4)R, cuyos generadores son {Pµ, Kµ, Lµν, D} y {TA, A = 1, . . . 15}
respectivamente. Notar que, en el contexto de la correspondencia gauge/gravedad, estos grupos de simetr´ıa se asocian naturalmente a las isometr´ıas de AdS5 y la esfera S5. Esta identificaci´on entre
las simetr´ıas globales es de vital importancia al momento de identificar los observables entre las teor´ıas duales. Por otro lado, las cargas fermi´onicas son Qaα, ¯Sαa˙ y ¯Qa ˙α, Saα, las cuales transforman
en las representaciones 4 y 4∗ de SU (4)R respectivamente11. Debido a que posee 4 cargas super-
Poincar´e junto con 4 cargas superconformes, las cuales son generadas por los espinores de Weyl {Qa, S
a}, la teor´ıa tiene en total 32 supersimetr´ıas reales.
Si bien no presentaremos aqu´ı los detalles del ´algebra superconforme, haremos menci´on a al- gunos puntos importantes. Se define un operador primario superconforme, el cual es aniquilado por las cargas superconformes S, [S, O]± = 0, donde ± indica que se eval´ua el conmutador o anticon- mutador seg´un corresponda. Estos operadores son tambi´en operadores primarios, en el sentido que tambi´en satisfacen [K, O] = 0, sin embargo el razonamiento inverso no es cierto. A partir de los operadores primarios superconformes, es posible armar los multipletes en t´erminos de los operadores descendientes superconformes, los cuales se obtienen de aplicar las cargas Q sobre los operadores primarios superconformes. Se puede ver que el espectro de operadores primarios superconformes para N = 4 SYM puede obtenerse a partir de m´ultiples trazas de productos de campos escalares ΦI. Este tipo de operadores se construyen a partir de los operadores de traza simple, los cuales son de la forma
Ost = trΦI1. . . ΦIn , (1.87) 10
Esta afirmaci´on es en pricipio una conjetura, verificada en los primeros ´ordenes en el desarrollo perturbativo, aunque la evidencia sugiere fuertemente que esta simetr´a es exacta.
11Las dimensiones de escala para los generadores son las siguientes
[D] = [Lµν] = [TA] = 0 , [Pµ] = 1 , [Kµ] = −1 , [Q] =
1
2, [S] = − 1
Debido a que trΦI = 0, los ejemplos m´as simples de este tipo de operadores son trΦ{IΦJ } y P
ItrΦIΦI (operador de Konishi).
A su vez, tambi´en existen operadores que, adem´as de ser primarios superconformes, son aniquila- dos por alg´un subconjunto de las supercargas Q, i.e. [S, O]± = [Q, O]±= 0. Estos operadores se denominan operadores superconformes quirales o simplemente operadores BPS12. Los multipletes construidos a partir de estos operadores primarios saturan la cota Bogomolnyi-Prasad-Sommerfield (BPS) y por lo tanto son m´as “cortos” (en el sentido de que hay menos operadores de creaci´on para generar descendientes). En general, la condici´on de ser un operador BPS conlleva a rela- ciones entre sus n´umeros cu´anticos, es decir, los autovalores respecto del sub´algebra de Cartan SO(1, 3) × SO(1, 1) × SU (4)R → {(s+, s−), ∆, [r1, r2, r3]}. Esto se debe a que, si OBP S es un
operador BPS, entonces cumple que, para alguna supercarga Qaα 0 = [{Qaα, Sbβ} , OBP S] = αβ(δbaD + Tab) + 1 2δ a bLµνσµναβ, OBP S . (1.88) Para casos en los que se preserven muchas simetr´ıas, como es el caso de los operadores 1/2 BPS, 1/4 BPS y 1/8 BPS, es posible identificar los n´umeros cu´anticos de los mismos. Notar que, al preservar supersimetr´ıas de la teor´ıa, los n´umeros cu´anticos de estos operadores suelen estar protegidos, es decir que no reciben correcciones cu´anticas. Esto puede verse f´acilmente de (1.88). De hecho, esta condici´on impone un relaci´on entre los correspondientes autovalores ∆, s± y ri. Si bien ∆
es un par´ametro cont´ınuo, s± y ri solo pueden tomar valores (semi)enteros. Por lo tanto, debido
a que la condici´on (1.88) debe satisfacerse, ∆ no puede recibir correcciones cu´anticas, es decir, est´a protegido por supersimetr´ıa. Vemos entonces que estos operadores poseen caracter´ısticas de naturaleza altamente no-perturbativa, siendo entonces candidatos ideales para realizar chequeos no triviales de la dualidad AdS/CFT. En este contexto, los operadores primarios quirales poseen una realizaci´on hologr´afica en t´erminos de modos de Kaluza-Klein, resultantes de compactificaciones en la esfera S5 de AdS5× S5.
Finalmente, es importante mencionar que N = 4 SYM posee una simetr´ıa discreta, derivada de la dualidad S [16, 70, 17]. Para ello se introduce el par´ametro complejo τ definido como
τ = θY M 2π +
4πi
gY M2 . (1.89)
La teor´ıa es entonces invariante frente a transformaciones SL(2, Z) que act´uan sobre el par´ametro
12
En el resto de esta tesis el t´ermino BPS se utilizar´a mucho, pero no siempre con el mismo significado. En este caso, BPS implica que un dado operador es aniquilado por una carga super-Poincar´e (Q). En el contexto de Wilson loops se suele hablar de operadores BPS en el sentido de que preservan supersimetr´ıas de la teor´ıa, si bien las mismas no son necesariamente cargas super-Poincar´e puras, como en el caso de Wilson loops circulares. A lo largo de esta tesis intentaremos ser claros respecto al sentido en el que usa el t´ermino BPS en cada ocasi´on.
τ de la siguiente manera
τ → τ0 = aτ + b
cτ + d , ad − bc = 1 , a, b, c, d ∈ Z . (1.90) Notablemente, la teor´ıa de cuerdas tipo IIB tambi´en posee una simetr´ıa SL(2, Z). Esta simetr´ıa da cuenta de la invariancia de supergravedad IIB ante transformaciones modulares del siguiente campo complejo
τ = C0+ i e−Φ (1.91)
donde C0 es el campo axi´onico (0-forma de RR) y Φ es el dilat´on. Para el caso de AdS5× S5, estos
campos poseen un valor constante. En conclusi´on, esta simetr´ıa modular en teor´ıa de cuerdas es la realizaci´on hologr´afica de la simetr´ıa S en N = 4 SYM, dada la siguiente identificaci´on
θY M 2π + 4πi gY M2 = C0 2π+ i gs (1.92)
donde hemos usado que eΦ= eφ0 = g
s.
En resumen, es posible hacer una identificaci´on precisa de las geometr´ıas en un lado y el otro de la dualidad propuesta por Maldacena, a saber
• La simetr´ıa conforme SO(2, 4) se identifica con el grupo de isometr´ıa de AdS5.
• La simetr´ıa R , SU (4)R∼ SO(6)Rse identifica a su vez con el grupo de isometr´ıas de la S5.
• Las 32 supersimetr´ıas reales de N = 4 SYM se asocian con las 32 supersimetr´ıas de la teor´ıa tipo IIB, generadas por dos espinores de Killing, los cuales son de Majorana-Weyl en 10 dimensiones.
• La simetr´ıa discreta SL(2, Z) derivada de la dualidad S se identifica con el grupo de trans- formaciones modulares del campo complejo τ = C0+ i e−Φ.