Pensemos en los espacios siguientes: [0,1] y [0,1]∪[2,3]. Hay una diferencia esencial entre ellos, y es que el primero est´a formado por “una sola pieza” mientras que el segundo consta de “dos piezas”. La diferencia no es conjuntista, pues tambi´en podemos dividir [0,1] = [0,1/2]∪]1/2,1], pero esto no son dos piezas en el mismo sentido que en el caso de [0,1]∪[2,3]. La diferencia es que los intervalos [0,1/2] y ]1/2,1] est´an “pegados” mientras que los intervalos [0,1] y [2,3] est´an “separados”. Con m´as precisi´on, el punto 1/2 est´a s´olo en uno de los intervalos, el [0,1/2], pero aunque no est´a en el otro, est´a pegado a ´el, en el sentido de que est´a en su clausura.
En general, si un espacio X se expresa como X = U ∪V, donde U y V
son disjuntos y no vac´ıos, podemos decir que U y V son dos “piezas” en el sentido que estamos considerando siU no contiene puntos de la clausura deV
y viceversa. Ahora bien, cualquier punto deV que no estuviera en V deber´ıa estar en U, luego la condici´on equivale a que V = V y U = U, o sea, a que
U y V sean cerrados. Por otra parte, dado que U y V son complementarios, es lo mismo decir que son cerrados o que son abiertos. Con ello llegamos a la definici´on de conexi´on:
Definici´on 2.15 Un espacio topol´ogicoX esdisconexosi existen subconjuntos abiertosU yV enX tales queX=U∪V,U∩V =∅yU 6=∅6=V. En caso contrarioX esconexo.
Seg´un hemos dicho, es indistinto exigir que U yV sean abiertos como que sean cerrados, pues de hecho si cumplen esto son a la vez abiertos y cerrados. Por lo tanto, un espacio X es conexo si y s´olo si sus ´unicos subconjuntos que son a la vez abiertos y cerrados sonX y∅.
Es obvio que [0,1]∪[2,3], o incluso [0,1/2[∪]1/2,1] son ejemplos de espacios disconexos. Notar que [0,1/2[ no es cerrado en R, pero s´ı lo es en el espacio [0,1/2[∪]1/2,1] (su clausura en este espacio es la intersecci´on con ´el de su clausura enR, que es [0,1/2], o sea, es [0,1/2[).
Es importante tener claro que los intervalos [0,1/2[ y ]1/2,1] est´an separados pese a que s´olo falta un punto entre ellos. La falta de ese punto es suficiente para que ambas partes no se puedan “comunicar”, en el sentido de que, por ejemplo, ninguna sucesi´on contenida en una de las piezas puede converger a un punto de la otra. Esto es suficiente para que ambas partes sean independientes topol´ogicamente. As´ı, la funci´onf : [0,1/2[∪]1/2,1]−→Rdada por
f(x) = Ω
1 si x∈[0,1/2[,
2 si x∈]1/2,1]
es continua, mientras que ser´ıa imposible definir una funci´on continua sobre [0,1] que s´olo tomara los valores 1 y 2.
Si la desconexi´on de estos espacios es clara, no lo es tanto la conexi´on de espacios como [0,1].
Ejercicio: Probar que el intervalo [0,1]⊂Qes disconexo.
Teorema 2.16 Un subconjunto deR es conexo si y s´olo si es un intervalo. Demostraci´on: SeaC un subespacio conexo de R. Seana yb su ´ınfimo y su supremo, respectivamente. Vamos a probar que C es uno de los cuatro intervalos de extremos a y b. Para ello basta ver que si a < x < b entonces
x ∈ C. En caso contrario los conjuntos C∩[−∞, x[ y C∩]x,+∞] son dos abiertos disjuntos no vac´ıos deC cuya uni´on esC.
Tomemos ahora un intervalo I y veamos que es conexo. Supongamos que existen abiertos disjuntos no vac´ıos U y V en I de modo que I = U ∪V. Tomemosx∈U ey∈V. Podemos suponer que x < y.
Como I es un intervalo, [x, y] ⊂ I y U0 =U ∩[x, y], V0 = V ∩[x, y] son abiertos disjuntos no vac´ıos en [x, y] de modo que [x, y] =U0∪V0.
Seas el supremo deU0. Entonces s∈U0∩[x, y] =U0, luego en particular
s < y. Claramente ]s, y]⊂V0, luegos∈V0∩[x, y] =V0, contradicci´on. Una consecuencia de esto es que un intervalo [a, b[ no es homeomorfo a uno de tipo ]c, d[. En efecto, si eliminamos un punto de un intervalo ]c, d[ nos queda un espacio disconexo, mientras que en [a, b[ podemos eliminar el punto
ay obtenemos un conexo. (Si fueran homeomorfos, el espacio que resultara de eliminar la imagen deaen ]c, d[ deber´ıa ser homeomorfo a ]a, b[).
Ejercicio: Probar que dos intervalos (acotados o no acotados) son homeomorfos si y s´olo si son del mismo tipo: abierto ]a, b[, cerrado [a, b] o semiabierto [a, b[.
Los resultados siguientes permiten probar con facilidad la conexi´on de mu- chos espacios. El primero refleja el hecho de que las aplicaciones continuas pueden pegar pero nunca cortar.
Teorema 2.17 Las im´agenes continuas de los espacios conexos son conexas. Demostraci´on: Sif :X −→Y es una aplicaci´on continua y suprayectiva peroY no es conexo, entoncesX tampoco puede serlo, pues siAes una abierto cerrado no vac´ıo enY y distinto deY, entoncesf−1[A] cumple lo mismo enX.
Teorema 2.18 Sea {Ai}i∈I una familia de subespacios conexos de un espacio X tal que T
i∈I
Ai6=∅. Entonces S
i∈I
Ai es conexo. Demostraci´on: Supongamos que S
i∈I
Ai=U∪V, dondeUyV son abiertos
disjuntos. Entonces para unicualquiera se tendr´a queAi= (U∩Ai)∪(V∩Ai), peroU∩Ai,V ∩Ai son abiertos disjuntos enAi, luego uno de ellos es vac´ıo, y
as´ıAi⊂U o bienAi⊂V.
Pero si Ai ⊂U, entoncesU contiene a T
i∈I
Ai, luegoU corta a todos losAi
y por conexi´on los contiene a todos. As´ı S
i∈I
Ai =U, yV =∅. Igualmente, si Ai⊂V se deduce queU es vac´ıo.
Ejemplo Las circunferencias son conexas.
Seaf : [−1,1]−→ {(x, y)∈R2|x2+y2= 1, y≥0}la aplicaci´on dada por f(x) =°x,√1−x2¢.
Claramente f es continua y suprayectiva, lo que prueba que la semicircun- ferencia es conexa. Igualmente se prueba que la semicircunferencia opuesta es conexa, y como ambas se cortan en los puntos (±1,0), su uni´on, es decir, la circunferencia, es conexa.
Teorema 2.19 Si A es un subespacio conexo de un espacio X, entonces Aes conexo.
Demostraci´on: Supongamos que A=U ∪V, donde U y V son abiertos disjuntos enA. EntoncesA= (U∩A)∪(V ∩A), yU∩A,V ∩Ason abiertos disjuntos enA. Por conexi´on uno es vac´ıo, luegoA⊂U o bienA⊂V. Digamos
A⊂U ⊂A.
PeroU es cerrado enA, luegoA⊂U =U, es decir,U =A yV =∅. Esto prueba queAes conexo.
Hemos dicho que un espacio disconexo es un espacio formado por varias “piezas” ahora podemos dar una definici´on rigurosa de lo que entendemos por una “pieza”.
Definici´on 2.20 Sea X un espacio topol´ogico y x∈ X. Llamaremos compo- nente conexadexa la uni´onC(x) de todos los subconjuntos conexos deX que contienen a x. Por el teorema 2.18, C(x) es un conexo, el mayor subespacio conexo deX que contiene ax.
Es obvio que six,y∈X, entoncesC(x) yC(y) son iguales o disjuntas. En efecto, si tienen puntos en com´un, por el teorema 2.18 resulta queC(x)∪C(y) es un conexo, luego C(x)∪C(y) ⊂ C(x) y C(x)∪C(y) ⊂ C(y), con lo que
C(x) =C(x)∪C(y) =C(y).
En resumen, todo espacioXest´a dividido en componentes conexas disjuntas. Las componentes conexas son cerradas por el teorema 2.19. En efecto,C(x) es un conexo que contiene ax, luego C(x)⊂C(x).
Sin embargo las componentes conexas no siempre son abiertas. Si un espacio tiene un n´umero finito de componentes conexas, ´estas ser´an abiertas y cerradas a la vez, evidentemente, pero si hay infinitas componentes ya no es necesario. Por ejemplo, ning´un subconjunto deQcon m´as de un punto es conexo, porque no es un intervalo de R, luego las componentes conexas de Q son los puntos, que no son abiertos.
x
y
A la hora de probar que un espacio es conexo, resulta ´
util el concepto de arco. Un arco en un espacio X es una aplicaci´on continua a: [0,1]−→ X. El espacio X esarco- conexosi para todo par de puntosx,y ∈X existe un arco
a: [0,1]−→X tal quea(0) =x,a(1) =y.
Como entoncesxeyest´an en la imagen del arcoa, que es un conexo, resulta quexey est´an en la misma componente conexa deX, o sea, queX tiene una ´
unica componente conexa: Los espacios arco-conexos son conexos. El rec´ıproco no es cierto, pero no vamos a dar un ejemplo.
Dados dos puntos x, y ∈ Rn, el segmento que los une est´a formado por
los puntos de la forma y+λ(x−y), con λ∈ [0,1]. Esto se puede definir en cualquierK-espacio vectorial. SiV es un espacio vectorial topol´ogico yx,y∈V, entonces la aplicaci´ona: [0,1]−→V dada pora(λ) =λx+ (1−λ)yes un arco (elsegmento) que unexcony.
Un subconjuntoA de unK-espacio vectorialV esconvexosi para todos los puntos x, y ∈ A y todo λ ∈ [0,1] se cumple λx+ (1−λ)y ∈ A, es decir, si cuandoAcontiene a dos puntos, tambi´en contiene al segmento que los une.
Uniendo todo esto, resulta que en un espacio vectorial topol´ogico, todo con- vexo es arco-conexo, luego conexo. En particular todo espacio vectorial to- pol´ogico es conexo. En particularKn es conexo.
Ejercicio: Probar que toda esfera de centroOenRnes imagen continua deRn\ {0}. Probar queRn
\ {0}es conexo y deducir de aqu´ı la conexi´on de la esfera.
Ejercicio: Probar queR2 no es homeomorfo aR.
Los conjuntos convexos tienen una propiedad que en general no cumplen los conexos, y es que, claramente, la intersecci´on de convexos es convexa.
Ejemplo Las bolas en los espacios normados son convexas.
En efecto, si x, y ∈ B≤(z), entonces kx−zk< ≤, ky−zk < ≤, luego para
todoλ∈[0,1] se cumple
kλx+ (1−λ)y−zk=kλx+ (1−λ)y−λz+ (1−λ)zk
≤ kλ(x−z)k+k(1−λ)(y−z)k=λkx−zk+ (1−l)ky−zk< λ≤+ (1−λ)≤=≤.
Por lo tantoλx+ (1−λ)y∈B≤(z).
(Cambiando las desigualdades estrictas por desigualdades no estrictas se prueba que las bolas cerradas son convexas.)
Por esto se dice que los espacios normados son localmente convexos. En general, un espacio vectorial topol´ogico eslocalmente convexosi tiene una base formada por conjuntos convexos. Igualmente un espacio topol´ogico eslocalmente conexoo localmente arco-conexosi tiene una base formada por abiertos cone- xos o arco-conexos, respectivamente. As´ı, los espacios localmente convexos son localmente arco-conexos y los espacios localmente arco-conexos son localmente conexos.
Un hecho importante es que si A es un abierto en un espacio localmente conexoX, entonces las componentes conexas deA son abiertas y cerradas. En efecto, siCes una componente conexa deAyx∈C, entonces existe un abierto (b´asico)U deX tal queU es conexo yx∈U ⊂A. ComoC es la componente conexa dex, ha de serU ⊂C, luegoC es un entorno de x, o sea,Ces entorno de todos sus puntos, luego es un abierto.
Ejercicio: Probar que todo abierto no vac´ıo enRes la uni´on disjunta de una cantidad numerable de intervalos abiertos.
Veamos algunos hechos adicionales sobre arcos. Sean aybdos arcos en un espacioX de modo quea(1) =b(0).
Entonces la aplicaci´onb1: [1,2]−→X dada porb1(t) =b(t−1) es continua
y cumple queb1(1) = b(0), b1(2) =b(1) (se trata de la composici´on con b del homeomorfismoi: [1,2]−→[0,1] dado pori(t) =t−1).
a(0) b(1)
a(1) =b(0)
Ahora, la uni´onc=a∪b1: [0,2]−→X, esto es, la aplicaci´on que restringida
a [0,1] esay restringida a [1,2] esb1, es continua (porque restringida a los dos cerrados [0,1] y [1,2] lo es, y su imagen es la uni´on de las im´agenes deayb.
Finalmente, llamamos a∪b : [0,1] −→ X a la funci´on (a∪b)(t) = c(2t), es decir, la composici´on dec con el homeomorfismoj : [0,1]−→[0,2] definido
mediantej(t) = 2t. Claramentea∪b es un arco cuya imagen es la uni´on de las im´agenes deayb. En particular (a∪b)(0) =a(0) y (a∪b)(1) =b(1).
Esto significa que si podemos unir un punto xcon un punto y a trav´es de un arco a, y podemos unir un puntoy con un punto z a trav´es de un arco b, entonces podemos unirxconz mediante el arcoa∪b.
Por otra parte, siaes un arco en un espacioX, la aplicaci´on−a: [0,1]−→X
dada por (−a)(t) =a(1−t) es un arco con la misma imagen pero de modo que (−a)(0) =a(1) y (−a)(1) =a(0). Tambi´en es obvio que un arco constante une un punto consigo mismo.
De todo esto se sigue que la relaci´on “x e y se pueden unir mediante un arco” es reflexiva, sim´etrica y transitiva en todo espacioX.
Teorema 2.21 SeaX un espacio localmente arco-conexo. Entonces un abierto deX es conexo si y s´olo si es arco-conexo.
Demostraci´on: Obviamente los abiertos arco-conexos son conexos. Su- pongamos que Aes un abierto conexo no vac´ıo. Seax∈A. SeaU el conjunto de todos los puntos deAque pueden ser unidos con xmediante un arco conte- nido enA.
Veamos queU es abierto (enX o enA, es lo mismo). Seay∈U. Entonces existe un arco aenAtal quea(0) =x,a(1) =y. ComoX es localmente arco- conexo existe un abierto arco-conexoV tal que y∈V ⊂A. Siz∈V, entonces hay un arcob enV (luego enA) que uney conz, luegoa∪b es un arco enA
que unexconz, luegoz∈U.
Por lo tanto V ⊂U y as´ıU es un entorno dey. Tenemos, pues, que U es entorno de todos sus puntos, luego es un abierto.
Ahora veamos que U es un cerrado en A, o lo que es lo mismo, que A\U
es abierto. Como U no es vac´ıo, por conexi´on tendr´a que ser U =A, lo que significa queAes arco-conexo.
Siy∈A\U, entoncesyno puede ser unido axmediante un arco. Existe un abierto arco-conexoV tal quey ∈V ⊂A, pero los puntos deV pueden unirse ay mediante un arco. Si alguno de estos puntoszpudiera unirse axmediante un arcoa, tendr´ıamos un arcobque uneay conzy un arcoaque unezconx, luegoy se podr´ıa unir conx. Por lo tanto ning´un punto deV puede unirse con
x, es decir,V ⊂A\U, luegoA\U es abierto.
Una poligonal es una uni´on de un n´umero finito de segmentos. Una peque˜na modificaci´on del teorema anterior permite probar que en un espacio localmente convexo, un abierto es conexo si y s´olo se es conexo por poligonales, es decir, todo par de puntos se puede unir por una poligonal.
Ahora vamos con las aplicaciones de la conexi´on. El resultado principal es el siguiente hecho obvio:
Teorema 2.22 (Teorema de los valores intermedios) SiX es un espacio conexo, f : X −→ R es una aplicaci´on continua, x, y son puntos de X y
Demostraci´on: Se cumple que f[X] es un conexo, luego un intervalo. Comof(x) yf(y) est´an enf[X], a tambi´en ha de estar enf[X].
A pesar de su simplicidad, las consecuencias de este teorema son importantes. Por ejemplo, no hay polinomios irreducibles de grado impar sobre R, salvo los de grado 1:
Teorema 2.23 Todo polinomiop(x)∈R[x]de grado impar tiene al menos una ra´ız enR.
Demostraci´on: Como p(x) tiene una ra´ız si y s´olo si la tiene−p(x), po- demos suponer que su coeficiente director es positivo.
Entonces l´ım
x→+∞p(x) = +∞, mientras que l´ımx→−∞p(x) =−∞. En particular existe unu∈ R tal que p(u)<0 y existe un v ∈ R tal que p(v)> 0. Por el teorema de los valores intermedios tambi´en existe un a∈ Rtal que p(a) = 0.
Por supuesto el teorema es falso para polinomios de grado par. Basta pensar en el casox2+ 1.
Sia >0, el teorema de los valores intermedios aplicado al polinomioxn−a
nos permite concluir la existencia de unb >0 tal que bn = a. Es claramente
´
unico, pues sibn=cn, entonces (b/c)n= 1, de dondeb/c=±1, luego si ambos
son positivosb=c.
Definici´on 2.24 Para cada naturaln >0 y cada n´umero reala >0 definimos lara´ızn-simadeacomo el ´unico n´umerob >0 tal quebn =a. Lo representa- remosb= √na
Unas comprobaciones rutinarias muestran que si m,nson n´umeros enteros
n >0 ya >0 entonces el n´umeroam/n =°√na¢m depende s´olo de la fracci´on
m/n, con lo que tenemos definida la exponencial ar para todo n´umero real
positivoay todo n´umero racionalry extiende a la exponencial entera. Tambi´en se comprueba quear+s=aras, (ar)r=ars.
*Afinidades directas e inversas Las isometr´ıas de un espacio af´ın eucl´ıdeo
E se clasifican en movimientos y simetr´ıas seg´un que el determinante de la aplicaci´on lineal asociada sea igual a 1 o a−1. La topolog´ıa proporciona una interpretaci´on geom´etrica de esta distinci´on puramente algebraica. En efecto, es conocido que todo movimiento (en dimensi´on mayor que 1) se descompone en composici´on de giros, y un giro es una aplicaci´on f que en un sistema de referencia af´ın adecuado tiene la expresi´on:
x01 = x1cosα−x2senα, x02 = x1senα+x2cosα x0 3 = x3, · · · · · · x0n = xn
Vamos a admitir la continuidad de las funciones trigonom´etricas. La demos- traremos en el cap´ıtulo III.
Consideremos ahora la aplicaci´on f : [0,1]×E −→ E tal que si el punto
x tiene coordenadas (x1, . . . , xn) en el mismo sistema de referencia, entonces ft(x) =f(t, x) es el punto de coordenadas (x0 1, . . . , x0n) dadas por x01 = x1costα−x2sentα, x0 2 = x1sentα+x2costα x03 = x3, · · · · · · x0n = xn
Claramente entonces, para cada t ∈ [0,1], la aplicaci´on ft es un giro de
´
angulotα, de modo quef0 es la identidad yf1=f. Adem´as la aplicaci´onf es
continua. Veamos que podemos obtener una aplicaci´on similar para movimientos arbitrarios:
Teorema 2.25 Sif es un movimiento en un espacio af´ın eucl´ıdeoEexiste una aplicaci´on continuaf : [0,1]×E−→E tal que para todot∈[0,1], la aplicaci´on
ft(x) =f(t, x)es un movimiento,f0= 1 y f1=f.
Demostraci´on: Lo probamos por inducci´on sobre el n´umero de giros en que se descomponef. Ya lo tenemos probado cuandof es un giro. Basta probar que sif cumple el teorema,ges un giro yh=f gentonceshcumple el teorema. Tenemos, pues, las aplicacionesftygt. Seah: [0,1]×E−→E dada por
h(t, x) = Ω
f(2t, x) si 0≤t≤1/2, g°2t−1, f(x)¢ si 1/2< t≤1,
La aplicaci´on h es claramente continua en el cerrado [0,1/2]×E. Basta observar que su restricci´on al cerrado [1/2,1]×E viene dada porg°2t−1, f(x)¢, pues entonces tambi´en ser´a continua en este cerrado y por consiguiente en todo su dominio. Ahora bien, los ´unicos puntos donde esta igualdad no es cierta por definici´on son los de la forma (1/2, x), pero
h(1/2, x) =f(1, x) =f(x) =g°0, f(x)¢=g°2·(1/2)−1, f(x)¢.
El resto del teorema es obvio: para cadatla aplicaci´onhtes de la formaft0 o
gt0, luego es un movimiento, etc.
Este teorema se interpreta como que los movimientos pueden efectuarse de forma continua en el tiempo. El puntoft(x) se interpreta como la posici´onxen el instantet, de modo que parat= 0 tenemos la posici´on inicialxy parat= 1 tenemos la posici´on final f(x). El arcof(t, x), para un xfijo, es la trayectoria que sigue x. El hecho de que cada ft sea un movimiento se interpreta como
que en cada instante t las distancias entre los puntos son las mismas que las originales.
f [H]ο f [H]0,125 f [H] 0,375 f [H]0,250 f [H]0,500 f [H]0,625 f [H]0,750 f [H]0,875 f [H]1
Ahora probamos que esta propiedad distingue a los movimientos de las se- mejanzas.
Teorema 2.26 Si E es un espacio af´ın eucl´ıdeo y f : [0,1]×E−→E es una aplicaci´on continua tal que para todot∈[0,1], la aplicaci´onft(x) = f(t, x)es una isometr´ıa yf0= 1, entonces todas las aplicacionesft son movimientos.
Demostraci´on: Fijado un sistema de referencia af´ın enE, la aplicaci´on
h:E−→Rnque a cada punto le asigna sus coordenadas es un homeomorfismo.
La aplicaci´on g : [0,1]×Rn −→ Rn dada por g(t, X) = h(f(t, h−1(X)) es
continua, y es de la forma g(t, X) = Pt+XAt, donde Pt ∈ Rn y At es una
matrizn×nde determinante±1.
La aplicaci´ong0(t, X) =g(t, X)−g(t,0) =XA
ttambi´en es continua. Sieies
el vectori-´esimo de la base can´onica, la aplicaci´ongij(t) =g0(t, ei)ejes continua,
ygij(t) es simplemente el coeficiente (i, j) de la matrizAt. El determinante de
una matriz depende polin´omicamente de sus coeficientes, por lo que la funci´on detft= detAtes continua.
Ahora bien, si algunaftfuera una simetr´ıa, detf0= detI= 1, mientras que
detft= detAt=−1. Tendr´amos, pues, una aplicaci´on continua y suprayectiva
del espacio conexo [0,1] en el espacio disconexo{−1,1}, lo cual es imposible.
Los mismos argumentos sirven para interpretar otros grupos de afinidades. Por ejemplo:
Teorema 2.27 Sif es una biyecci´on af´ın de determinante positivo en un espa- cio af´ınE existe una aplicaci´on continua f : [0,1]×E−→E tal que para todo
t∈[0,1], la aplicaci´onft(x) =f(t, x) es una biyecci´on af´ın,f0= 1 y f1=f.
Demostraci´on: Probaremos primero el teorema para automorfismos de determinante positivo del espacio vectorial asociado E~. Cada uno de estos automorfismos se puede expresar como composici´on de una homotecia lineal de determinante positivo y un automorfismo de determinante 1. A su vez, estos automorfismos se descomponen en producto de transvecciones, es decir,
de aplicaciones de la forma f(x) = x+u(x)h, donde u : E~ −→ R es una aplicaci´on lineal yhes un vector del n´ucleo de u.
Para una transvecci´on definimos
f(t, x) =x+tu(x)h,
que es una transvecci´on para todot, es continua como aplicaci´on [0,1]×E~−→E~,
f0= 1 yf1=f.
Una homotecia lineal es de la forma f(x) = rx. Definimos la aplicaci´on
f(t, x) =°1 +t(r−1)¢x. Como 1 +t(r−1)>0 siempre quer >0 y 0≤t≤1, tenemos que ft es una homotecia lineal para todo t. Claramente se cumplen tambi´en las otras propiedades.
Aplicando la misma t´ecnica de composici´on que en el caso de los movimientos llegamos a que todo automorfismo de E~ de determinante positivo cumple el teorema.
Una biyecci´on af´ın en Ede determinante positivo es de la forma
f(P) =O+~v+f~(−−→OP),
donde O es un punto arbitrario deE y f~es un automorfismo de E~ de deter- minante positivo. Definimosf(t, P) =O+t~v+f~t(−−→OP). Es f´acil ver que esta
aplicaci´on cumple lo pedido.
El teorema es falso para biyecciones afines de determinante negativo, pues con el mismo argumento que hemos empleado para las simetr´ıas se llega a que la aplicaci´on detftes una aplicaci´on continua en el espacio conexo [0,1] tal que
detf0= 1, detf1 <0 pero que nunca toma el valor 0, lo cual es imposible. Si
un endomorfismo deE~ tiene determinante 0 su imagen tiene dimensi´on menor queE~. Por consiguiente, cualquier aplicaci´on que transforme continuamente un conjunto en su imagen por una biyecci´on af´ın de E de determinante negativo, en un momento dado “aplanar´a” el espacio en una variedad af´ın de dimensi´on menor.
Orientaci´on Los resultados que acabamos de ver nos llevan a introducir un