La fórmula que nos permite para calcular el tiempo (n) es la siguiente:
n I
P i =
* (4)
ejemplo 1
cálculo del tiempo (n)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a una TNA de 30%. Si el banco cobra $1.500 de interés, ¿cuántos años duró la deuda?
solución:
Los datos son: n = ?
TNA = 30% P = $5.000 I = $1.500
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (4), se obtiene:
n= 1 500 =
5 000 0 30 1
.
. * ,
La deuda tuvo una duración de un año.
ejemplo 2
cálculo del tiempo (n)
Luis Alberto solicitó un préstamo al BWS por $10.000 a una TNS de 18%. Si el banco le cobró $1.200 de interés, ¿cuántos meses se mantuvo la operación?
Solución: Los datos son: n = ?
TNS = 18% P = $10.000 I = $1.200
n= 1 200 = 10 000 0 18 6 4 . . * ,
La operación duró cuatro meses.
ejemplo 3
cálculo del tiempo (n)
El 13 de febrero se efectúo una inversión por $2.000 a una TNM de 2%. Si pasado cierto tiempo he ganado $382,67. de interés, ¿cuántos días se mantuvo la inversión?
solución:
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (2), se obtiene:
n= 382 67 = 2 000 0 02 30 287 , . * ,
La inversión se mantuvo 287. días.
3. interés con PrinciPal constante Y tasa noMinal variaBle
En los ejemplos anteriores se calculo el interés cuando el principal y la tasa nominal son constantes, pero ¿cómo debe calcularse el interés simple cuando una persona coloca una inversión a un plazo fijo al cual no pueden efectuársele cargos o abonos luego de la apertura y antes del término del horizonte temporal, mientras que la tasa de interés está sujeta a las variaciones del mercado? Cuando en el horizonte temporal de la cuenta el principal no cambia y se produce variaciones en la magnitud de la tasa de interés nominal, cuyos respectivos plazos pueden cambiar, por ejemplo de TNA a TNS a TNM, etc. (j tiene un comportamiento variable), el interés simple se obtiene al modificar de manera conveniente F, de acuerdo con el plazo de j para que n pueda incluir los plazos de vigencia de las tasas variables durante el horizonte temporal.
La fórmula que calcula el interés generado en un horizonte temporal cuando las tasas o los períodos de tasa son variables es la siguiente:
I P j h F k k k k z = ∗ =
∑
1 (5) Donde:“z” es el número de subhorizontes, donde la j no sufre variaciones “jk” es la tasa nominal anunciada vigente en k-ésimo horizonte “nk” es el número de periodos de la tasa jk en k-ésimo horizonte “F” es el plazo de la tasa de interés nominal
ejemplo 1
cálculo del interés cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés simple. La TNA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27. de noviembre. Calcule el interés en la fecha de cierre.
solución:
Los datos son: I = ? P = $5.000 TNA1 = 28% TNA2 = 25% TNA3 = 22% h1 = 146 h2 = 7.3 h3 = 68
Según la tabla de fechas, el horizonte temporal total de la operación es de 287. días. y dentro de dicho horizonte encontramos tres subhorizontes; el primero de ellos de 146 días; el segundo de 7.3 días y el tercero de 68 días.
Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene:
I= + + = 5 000 0 28 146 630 0 25 73 360 0 22 68 360 1 029 03 . * , * , * , * $ . ,
El interés generado asciende a $1.029,03.
ejemplo 2
cálculo del interés cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de interés nominal variable. La cuenta se cierra el 27. de noviembre. Al término del plazo se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
tasa a partir del
TNA 28,0% 13/02
TNS 12,5% 09/07.
TNT 5,5% 20/09
solución:
Los datos son: I = ? P = $5.000 TNA1 = 28% TNS2 = 12,5% TNT3 = 5,5% h1 = 146 h2 = 7.3 h3 = 68
Este problema es el mismo al ejemplo anterior, en cuanto a horizonte y subhorizontes temporales. Un horizonte temporal total de 287. días y tres subhorizontes de 146, 7.3 y 68 días.
Lo que cambia son las tasas nominales, manteniéndose el principal constante. Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene:
I= + + = 5 000 0 28 146 360 0 125 73 180 0 055 68 90 1 029 03 . * , * , * , * $ . ,
Se puede observar que el resultado es el mismo al del ejemplo anterior. Ante esto surge una pregunta: ¿cómo puede la operación tener el mismo resultado si las tasas nominales son variables? La respuesta es que dichas tasas son equivalentes.
Por ejemplo, la TNA de 25% del ejemplo anterior es equivalente a la TNS de 12,5% del ejemplo actual y la TNA de 22% es equivalente a la TNT de 5,5%.
Para calcular la TNS equivalente de una TNA de 25%, se procede de la siguiente manera: TNS = 0 25
2 12 5
,
, % =
y para calcular la TNT equivalente de una TNA de 22%, se procede de la siguiente manera: TNS = 0 22
4 5 5
,
, % =
De lo anteriormente expuesto, se concluye que el interés generado asciende a $1.029,03.
4. Monto o valor futuro siMPle con PrinciPal Y tasa noMinal variaBle
A la suma del capital más el interés simple ganado se le llama monto simple o valor futuro simple, y se simboliza mediante la letra S. por tanto,
Al sustituir la ecuación (1) en la (5) se obtiene: S = P + Pjn Factorizando la expresión anterior se tiene:
S = P[1 + jn] (7)
Las ecuaciones (6) y (7.) indican que si un capital se presta o invierte durante un tiempo n, a una tasa de interés de j% por unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad S al final del tiempo n. Debido a esto, se dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Recuerde un dólar hoy vale más que un dólar mañana.
ejemplo 1
cálculo del monto o valor futuro (s)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a pagar en un año, a una TNA de 30%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo?
solución:
Los datos son: S = ?
P = $5.000 TNA = 30% n = 1 año
El monto o valor futuro se puede obtener de dos maneras, veamos cada una de ellas: Método 1
En primer lugar hallamos el interés, el cual es como sigue: I = 5.000 * 0,30 * 1 = $1.500
Utilizando la ecuación (6) para calcular el valor futuro, se tiene: S = 5.000 * 0,30 * 1 = $6.500
Método 2
El monto o valor futuro se obtiene directamente utilizando la ecuación (7.): S = 5.000[1 + 0,30 * 1] = $6.500
ejemplo 2
cálculo del monto o valor futuro (s)
Luis Alberto solicita un préstamo al BWS por $10.000 a pagar en cuatro meses, a una TNS de 18%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo?
solución:
Los datos son: S = ?
P = $10.000 TNS = 18% n = 4 meses
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (7.), se obtiene:
S = 10 000 1 0 18 4 6 11 200 . + , * $ . =
Luis Alberto pagará al final del plazo un monto de $11.200.
ejemplo 3
cálculo del monto o valor futuro (s)
¿De qué monto podrá disponerse el 27. de noviembre, si el 13 de febrero se invirtió $2.000 a una TNM del 2%?
solución:
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (6), se obtiene:
S = 2 000 1 0 02 287 30 2 382 67 . + , * $ . , =
Se podrá disponer de un monto de $2.382,67..