A Spectroscopic, Photometric and X-ray Study of the DQ Herculis System 1H0542-
7.6 Interpretation and Models
7.6.2 Mass Transfer Rate
Sea V un espacio vectorial sobre C y sea () un producto interno en V; entonces:
Además, la igualdad se cumple si y solo si y son linealmente dependientes Si =0 o =0, es inmediato que la igualdad se verifica.
EJEMPLO:
DEFINICIÓN DE DISTANCIA ENTRE VECTORES.
Empleando el concepto de norma, podemos introducir en un espacio vectorial el concepto de distancia entre vectores:
Sea V un espacio vectorial con producto interno, y sean, , V. Se llama distancia de a y se representa con v 1
d u v( , )
v
u
v v u u v v u v u v38
La distancia es el conjunto de los números reales no negativos, y tiene las siguientes propiedades.
EJEMPLO: ÁNGULO ENTRE VECTORES El ángulo entre dos vectores de un espacio vectorial, se obtiene a partir de la siguiente expresión.
Siempre y cuando el campo de definición del espacio vectorial al cual pertenecen y sean los reales R. Si el campo de definición es complejo, entonces la expresión que me permite calcular el ángulo es:
Donde R( | ) representa la parte real del número complejo que resulte del producto interno. El hecho de que dos vectores definan 90° no implica que sean ortogonales. ( | )=2i 0, pero la parte real es 0 entonces =90° EJEMPLO VECTORES ORTOGONALES. En un espacio con producto interno, dos vectores y son ortogonales si:
La ortogonalidad depende de la selección del producto interno. Es posible que dos vectores sean ortogonales con respecto a un producto interno y que al mismo tiempo no lo sean con respecto a otro producto interno.
u v u v u v v u
39 EJEMPLO.
Uno de los resultados más importantes relacionado con la ortogonalidad de dos vectores es la generalización del llamado “Teorema de Pitágoras”, el cual se enuncia a continuación.
Sea V un espacio con producto interno y sean y V. Si y son ortogonales entonces:
4.3 Conjuntos ortogonales y ortonormales. Independencia de un conjunto ortogonal de vectores no nulos. Coordenadas de un vector respecpto a una base ortogonal. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.
CONJUNTOS ORTOGONALES Y ORTONORMALES.
Se considera que un conjunto es ortogonal, cuando cada uno de sus vectores es ortogonal a los demás elementos del conjunto, como lo establece la siguiente definición:
Sea V un espacio con producto interno y sea un conjunto de vectores de V. Se dice que S es un conjunto ortogonal cuando:
Si además el conjunto S es ortonormal.
EJEMPLO:
INDEPENDENCIA LINEAL DE UN CONJUNTO ORTOGONAL DE VECTORES NO NULOS. TEOREMA. Un conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente.
En el capítulo II se estableció el concepto de base de un espacio vectorial, considerando solamente 2 condiciones. - Independencia lineal - Conjunto generador u v 2 u 2 v 2 vi 1; i u v u v
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En este capítulo, se ampliará este concepto al combinarlo con ortogonalidad.
De esta manera, una base ortonormal es aquella base ortogonal en la que todos sus elementos tienen como valor del producto interno, consigo mismo a la unidad, esto es:
Para normalizar un vector, hay que dividirlo entre su norma.
Lo anterior significa que para obtener una base ortonormal, se debe partir de una base arbitraria, por lo cual se llegue a una base ortogonal y finalmente al dividir cada elemento por su norma respectiva, se obtenga la correspondiente base ortonormal.
Conjunto Independiente, generador, ortogonal y unitario.
COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO A UNA BASE ORTOGONAL.
Dado un vector a de un espacio vectorial, en el cual B constituye una base ortogonal,
se tiene que:
Para determinar la coordenada i se procede a efectuar el producto interno de la expresión anterior, miembro a miembro, considerando como factor al vector vi de la base ortogonal, esto es: En general el vector de coordenadas de a respecto a una base ortogonal viene dado por:
En el caso de que la base sea ortonormal, entonces el vector de coordenadas vendrá dado por:
Donde:
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Es una base ortonormal. EJEMPLO:
PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT
Este se utiliza para obtener bases ortogonales de un espacio vectorial, a partir de una base cualquiera de dicho espacio.
Entonces, dada la base: de un espacio vectorial, se tiene que:
Representa una base ortogonal del espacio vectorial considerando que: Donde r= 1,2,3,…, n-1 EJEMPLO: EJEMPLO.
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4.4 Complemento ortogonal. Proyección de un vector sobre un subespacio. El teorema de proyección.
COMPLEMENTO ORTOGONAL.
Sea V un espacio con producto interno y sea S un subconjunto de V. Se dice que un vector V es ortogonal al conjunto S si:
El conjunto de todos los vectores de V ortogonales a S se denota como S (complemento ortogonal), esto es:
S es un subespacio. ó EJEMPLO: TEOREMA:
Sea V un espacio con producto interno y sea W un subespacio de V de dimensión finita. Entonces cualquier vector V puede expresarse en forma única como:
EJEMPLO:
PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE UN SUBESPACIO.
Sea V un espacio con producto interno, W un subespacio de V de dimensión finita y
una base ortonormal de W. v w w donde w W w W ' ' y v v
43 Si v V, el vector ó EJEMPLO: TEOREMA DE PROYECCIÓN.
Uno de los resultados de la teoría de los espacios con producto interno es el llamado teorema de proyección (o teorema de la mejor aproximación).
Considerando el subespacio de R3 representado por el plano W de la siguiente figura, y un vector arbitrario vR3.
Se trata de encontrar un vector w0 del plano W que sea “el más cercano” a (o “el más
aproximado”), en el sentido de que la distancia entre y w0 sea la menor distancia posible entre y cualquier vector de W.
Tal vector existe, es único y es precisamente la proyección de sobre el plano W.
El vector w0 se conoce como la proyección de v sobre el espacio W, debido a que es la suma de las proyecciones de sobre cada uno de los elementos de una base de W.
Sea V un espacio con producto interno y sea W un subespacio de V. Para cada vector V existe uno y sólo un vector w0 W tal que:
Dicho vector es la proyección de sobre W.
EJEMPLO: v w0 v w , w W w, w0 v v v v v v
44 bAx ~ x Rn bAx~ bAx ~ x ~ b
Ax~
b~
~ x ~ x x~A Ax
T~
A b
T 4.5 MINIMOS CUADRADOS.Los sistemas inconsistentes surgen con frecuencia en las aplicaciones, aunque generalmente no con una matriz de coeficientes tan grande. Cuando se necesita una solución y no existe alguna, lo mejor que se puede hace es encontrar una solución tan cercana a la posible.
Por ejemplo al sistema no homogéneo Ax = b, se debe encontrar una x que haga Ax tan cercana a b como sea posible.
El término de mínimos cuadrados surge del hecho de que es la raíz cuadrada de una suma de cuadrados.
DEFINICIÓN.
Si A es una matriz de orden mxn y b está en Rn, una solución por mínimos cuadrados de Ax=b es una tal que:
TEOREMA:
Para cualquier matriz A de mxn y cualquier vector b, hay una solución de mínimos cuadrados de Ax=b. Además, si es la proyección de b sobre Col A, entonces:
TEOREMA: Si las columnas de una matriz de mxn forman un conjunto ortogonal, entonces ATA es una matriz diagonal nxn.
TEOREMA:
Si A es una matriz mxn, siempre hay solución por mínimos cuadrados de Ax=b. Además,
1. es una solución por mínimos cuadrados de Ax=b si y solo si es una solución de las ecuaciones normales
45 bAx~
El error de mínimos cuadrados se define por:
2. A tendrá columnas linealmente independientes si y solo si ATA es invertible. En este caso, la solución por mínimos cuadrados es única y puede calcularse con:
46 CAPITULO 5