however could not match the combinations for overall efficacy.

(I) Integrales de la forma

Z

senm(x)cosn(x)dx:

(a)

m= 2k+ 1

,

k

entero no negativo (m impar y no negativos).

Z

senm(x) cosn(x)dx=

=

Z

sen2k+1_{(x) cos}n_(x)dx

=

Z

(sen2_(x))k

_cosn_(x)sen(x)dx

=

Z

(1 cos2_(x))k

_cosn_(x)sen(x)dx

Esta última expresión es fácil de integrar.

Ejemplo

Z

sen5(x)cos2(x)dx=

=

Z

sen4_(x)cos2_(x)sen(x)dx

=

Z

(sen2_(x))2_cos2_(x)sen(x)dx

=

Z

(1 cos2_(x))2_cos2_(x)sen(x)dx

=

Z

(1 2cos2_{(x) + cos}4_(x))cos2_(x)sen(x)dx

=

Z

20.5 Integrales Trigonométricas 363

Hacemos la sustitución

u= cos(x)

,

du= sen(x)dx

y nos queda:

Z

sen5_{(x) cos}2_(x)dx=

=

Z

(u2

_2u4_+u6_)du

= 13u3_{+ 25u}5

1

7u7+C

= 13 cos3_{(x) + 25 cos}5_{(x) 17 cos}7_{(x) +C:}

(b)

n= 2l+ 1

,

l

entero no negativo (n impar y no negativo).

Z

senm(x) cosn(x)dx=

=

Z

senm(x) cos2l+1(x)dx

=

Z

senm(x)(cos2_(x))l

_cos(x)dx

=

Z

senm(x)(1 sen2_(x))l

_cos(x)dx:

Ejemplo:

Z

sen(x) cos3_(x)dx=

=

Z

sen(x) cos2(x) cos(x)dx

=

Z

sen(x)(1 sen2_{(x)) cos(x)dx}

=

Z

(sen(x) sen3_{(x)) cos(x)dx:}

Hacemos la sustitución

u= sen(x)

,

du= cos(x)dx

y nos que- da: Z

sen(x) cos3_(x)dx=

=

Z

(u u3_)du

= 12u2

1

4u4+C

= 12 cos2_{(x) 14 cos}4_{(x) +C:}

Se usa repetidas veces las identidades trigonométricas:

cos2_{(x) = 1 + cos(2}x)

2

y

sen2_{(x) = 1 cos(2}x)

2

;

hasta simplificar el integrando.

Ejemplo: Z

sen4_(x)dx=

Z

(sen2_(x))2_dx=

Z

(1 cos(2₂

x))2_dx

=

Z

1 2 cos(2x) + (cos2_(2x))

4

dx

=

Z

1

4

cos(22 +x)

14

1 + cos(4x)

2

dx

=

Z

1

4dx

Z

cos(2x)

2

dx+

Z

1

8dx+

Z

cos(4x)

8

dx

= 38x

sen(2_{4 +}x)

sen(4_{32 +}x)

C:

(II) Integrales de la forma

Z

tanm(x)secn(x)dx:

(a)

n= 2l

,

l

entero no negativo (n par y no negativo).

Z

tanm(x) secn(x)dx=

=

Z

tanm(x) sec2l(x)dx

=

Z

tanm(x)(sec2_(x))l

1

_sec2_(x)dx

=

Z

tanm(x)(1 + tan2_(x))l

1_sec2_(x)dx:

Ejemplo:

Z

tan3_{(x) sec}4_(x)dx=

=

Z

tan3_{(x) sec}2_{(x) sec}2_(x)dx

=

Z

tan3_{(x)(1 + tan}2_{(x)) sec}2_(x)dx

=

Z

(tan3_{(x) + tan}5_{(x)) sec}2_(x)dx:

Hacemos la sustitución

u

= tan(x)

,

du

= sec2(x)dx

y nos queda:

20.5 Integrales Trigonométricas 365 Z

tan3_{(x) sec}4_(x)dx=

=

Z

(u3_+u5_)du

= 14u4_{+ 16u}6_+C

= 14 tan4_{(x) + 16 tan}6_{(x) +C:}

(b)

m= 2k+ 1

,

k

entero no negativo (m impar y no negativo).

Z

tanm(x) secn(x)dx=

=

Z

tan2k+1_{(x) sec}n_(x)dx

=

Z

(tan2(x))ktan(x) secn

1(x)sec(x)dx

=

Z

(sec2_{(x) 1)}k

_secn

1_{(x)sec(x)tan(x)dx:}

Ejemplo:

Z

tan3_{(x) sec}5_(x)dx=

=

Z

(tan2_{(x))tan(x) sec}4_{(x) sec(x)dx}

=

Z

(sec2_{(x) 1) sec}4_{(x) sec(x)tan(x)dx}

=

Z

(sec6_{(x) sec}4_{(x)) sec(x)tan(x)dx:}

Hacemos la sustitución

u= sec(x)

,

du= sec(x)tan (x)dx

y nos queda: Z

tan3_{(x) sec}5_(x)dx=

=

Z

(u6

_u4_)du

= 17u7

1

5u5+C

= 17 sec7_{(x) 15 sec}5_{(x) +C:}

(c)

n= 0

y

m= 2k

,

k

entero no negativo (m par y no negativo).

Z

=

Z

tanm

2_(x)(tan2_(x))dx

=

Z

tanm

2_(x)(sec2_{(x) 1)dx}

=

Z

tanm

2(x) sec2(x)dx

Z

tanm

2_(x)dx:

La primera es del tipo (II.a) y la segunda es del tipo (II.c) pero de menor exponente. Ejemplo: Z

tan4_(x)dx=

=

Z

(tan2_(x))(tan2_(x))dx

=

Z

tan2_(x)(sec2_{(x) 1)dx}

=

Z

tan2_{(x) sec}2_(x)dx

Z

(tan2_(x))dx

=

Z

tan2_{(x) sec}2_(x)dx

Z

(sec2_{(x) 1)dx}

=

Z

tan2(x) sec2(x)dx

Z

sec2_(x)dx+

Z

dx:

Hacemos la sustitución

u= tan(x)

,

du= sec2(x)dx

en la pri- mera integral integrales y nos queda:

Z

tan4_(x)dx=

=

Z

u2_du

_{tan(x) +x+K}

= 13u3

_{tan(x) +x+C}

= 13 tan3_{(x) tan(x) +x+C:}

(d)

m= 0

y

n= 2l+ 1

,

l

entero no negativo (n impar y no negativo).

Z

20.5 Integrales Trigonométricas 367

=

Z

secn

2_{(x) sec}2_(x)dx:

Tomamos

u= secn

2(x)

y

dv= sec2(x)

e integramos por partes.

Ejemplo:

Z

sec3(x)(x)dx=

Z

sec(x)sec2(x)dx:

Tomamos

u= sec(x)

y

dv= sec2(x)

e integramos por partes.

Z

sec3_(x)(x)dx=

=

Z

sec(x) sec2_(x)dx

= sec(x) tan(x)

Z

sec(x)tan(x) tan(x)dx

= sec(x) tan(x)

Z

sec(x)(tan2_(x))dx

= sec(x) tan(x)

Z

sec(x)(sec2(x) 1)dx

= sec(x) tan(x)

Z

sec3_(x)dx

+

Z

sec(x)dx:

Despejando Z

sec3_(x)dx

_{de la ecuación, nos queda:}

2

Z

sec3_(x)(x)dx=

sec(x) tan(x) +

Z

sec(x)dx

= sec(x) tan(x) +

Z

sec(x)dx:

Por lo tanto: Z

sec3_(x)(x)dx=

= 12 sec(x) tan(x)

+12ln

j

sec(x) + tan(x)

j

+C:

20.6

Ejercicios adicionales

En las últimas páginas de este capítulo presentamos una lista de ejercicios de un problemario usado desde 1984.

Capítulo 21

Aplicaciones de la Integral

Como la derivada, la integral tiene muchas interesantes aplicaciones a problemas físicos y geométricos. Algunas de estas aplicaciones serán dadas en este capítulo.

21.1

Areas

Si

f

es una función continua con valores no negativos en el intervalo cerrado

[a;b]

, entonces las líneas

x=a

,

x=b

, el eje

x

y el gráfico de la función definen una región

R

del plano (figura 21.1).

Región bajo el gráfico Figura 21.1

Nosotros estamos interesados en hallar el área de la región

R:

Si tomamos una partición

P

: [x0

=

a;x1;:::;xn

=

b]

del intervalo

[a;b]

y hacemos una suma de Riemann correspondiente a esta partición, tenemos:

RP

=

X

n

i=1f(x

0

i)(xi

xi

1)

donde

xi

x

0

ixi

1:

Ahora,

f(x

0

i)(xi

xi

1)

representa el área del rectángulo señalado en figura 21.2. Cuando tomamos particiones con longitud cada vez más pequeña,

RP

debe acercar- se al área bajo la curva. Asimismo, como

f

es integrable sabemos

lim

k

P

k!

0RP

=

R

b

a

f(x)dx:

Esto sugiere la definición de área de la región

R

,

A(R)

, como:

A(R) =

Z

b

area de cada rectángulo de la partición

Figura 21.2

Ejemplo: Sea

h(x) =

3 p

x:

Halle el área bajo el gráfico de la función

h

y el eje

x

entre 1 y 8.

Area de región bajo el gráfico de la raiz cúbica de

x

Figura 21.3 Solución: La región

R

, figura 21.3, tiene área

A(R) =

Z

8

1

3 p

xdx_{= 34}x4=3

j

81= 38(8

4=3

₁4=3_{) = 454:}

Si

f

es continua, con valores no positivos en el intervalo

[a;b]

, entonces

R

b

af(x)dx

0

y el área de la región acotada por el gráfico de la función, el eje

x

y las líneas

x=a

y

x=b

está dada por

A(R) =

R

b

a

f(x)dx:

Ahora suponga que tenemos dos funciones continuas

h

y

k

en el intervalo

[a;b]

y

h(x)k(x)

(Ver figura 21.4). Entonces

p(x) =h(x)

k(x)0:

Area de región entre dos funciones Figura 21.4 Es claro que el área de

R

está dada por

21.1 Areas 383

Usando integrales es:

A(R) =

Z

b

a

p(x)dx=

Z

b

a

(f(x)

g(x))dx

=

Z

b

a

f(x)dx

Z

b

a

g(x)dx

Ejemplo: Halle el área de la región

R

entre las gráficas de las funcio- nes

f(x) = 2x x2

y

g(x) =x

2

(Ver figura 21.5)

Región

R

entre las gráficas de las funciones

f(x) = 2x x2

y

g(x) =

x

2

Figura 21.5

Solución: Igualando las dos ecuaciones, obtenemos los puntos de intersección de los gráficos:

2x x2_=x

₂

)

x+ 2

x

2_{= 0}

)

x= 2

ó

x= 1:

Como

f(x)g(x)

entre -1 y 2, tenemos

A(R) =

Z

2

1[(2x x2) (x

2)]dx

=

Z

2

1(

x2+x+ 2)dx

= ( 13x3₊x2

2 + 2x)

j

2 1= 92

Ejemplo: Halle el área de la región acotada por el gráfico de la ecua-

ción

y2= 4x2

x4

Solución: Usaremos que el gráfico de la función es simétrico respecto al eje

x

y al eje

y:

La ecuación

y2

= 4x2

x4

se puede descomponer en dos funciones:

f(x) =x

p

4

x2

_y

_{g(x) =}

_x

p

4

x2

_{(Ver figura 21.6).}

Es claro que el área total es

4A(R):

Como los puntos de intersección del gráfico de la ecuación con el eje

x

es

4x2

_x4_{= 0}

)

x= 2;0;2

tenemos

A(total) = 4

R

2

0

f(x)dx= 4

R

2

0

x

p

4

x2_dx:

Si tomamos

u= 4

x2

, tenemos

du= 2xdx:

4

R

2

0

x

p

4

x2_dx

se convierte en

2

R

0

4

u1=2du= 223u3=2

j

04=323:

El área total es

4A(R)

Figura 21.6

Ejercicios

I. Halle el área de la región acotada por los gráficos de las siguientes ecuaciones. Haga un gráfico aproximado de la región.

(a)

y= 9

x2

,

y= 0; x= 2; x= 1:

Resp: 88/3 (b)

y=

p

x+ 4; y= 0; x= 0:

(c)

y=x2

4; y= 4

x2:

Resp: 64/3 (d)

4y=x2; x

4y+ 2 = 0:

(e)

x2y= 4;

3x+y

7 = 0:

Resp: 1/2 (f)

y=x3

x; y= 0

en el cuarto cuadrante. (g)

y2= 4x; x= 1:

Resp: 8/3

(h)

y

=

x2+ 4x

3

y las tangentes a esta parábola en los puntos

(0;

3)

y

(4;

3):

Resp: 16/3 (i)

y2=a2x6

x8:

Resp:

a4

(j)

y=x3

y

y= 2x x2:

Resp: 37/12

(k)

y2= 4x+ 8

y la recta que une

(2;4)

y

(4;8):

Resp: 9

II. Determínese la recta que pasa por el origen y biseca el área limitada por

y

=

6x x2

_{y el eje}

_x:

21.2 Volúmenes 385

21.2

Volúmenes

En esta sección vamos a usar la integral para calcular el volumen de ciertos sólidos en el espacio tridimensional.

Llamaremos sólido

C

a un cilindro acotado por dos regiones congruentes

R1

y

R2

ubicados en dos planos paralelos y por una superficie lateral compuesta de segmen- tos de líneas que conectan puntos correspondientes de las fronteras y son perpen- diculares a los planos de

R₁

y

R₂

(Ver figura 21.7). Cada una de las regiones

R₁

y

R2

es llamada una base del cilindro

C

; la distancia entre los planos de

R₁

y

R₂

es llamada la altura de

C:

Las regiones

R1

y

R2

es llamada una base del cilindro

Figura 21.7

El común cilindro circular recto es un cilindro con base un círculo.

Ahora supongamos que conocemos el área de la base

A(B)

y su altura

h:

Enton- ces el volumen de

C

,

V(C)

, está dado por

V(C) =A(B)h:

En el caso de que el sólido

S

esté compuesto de cilindros

C1;:::;Ck

entonces el volumen de

S; V(S)

, es

V(S) =V(C1) ++V(Ck):

Pasemos ahora a definir el volumen de un sólido

S

que no está compuesto de cilindros. Asumiremos que un plano que intercepta a

S

, la corta en una región plana, que llamaremos una sección de

S:

Nosotros definimos el volumen de

S

bajo la con- dición de que las áreas de todas las secciones de

S

perpendiculares a una línea fija son conocidas y cambia continuamente. Es decir, existe una línea

L

tal que el sólido

S

está comprendido entre los planos perpendiculares a

L

en los puntos

a

y

b

y la sección de

S

en el plano perpendicular a

L

en el punto

x

de

[a;b]

tiene área conocida

A(x)

tal que

A(x)

es continua en

[a;b]

(Ver figura 21.8).

La sección de

S

en el punto

x

de

[a;b]

tiene área conocida

A(x)

Figura 21.8 Ahora si tomamos una partición

P

: [x0=a;x1;:::;xn=b]

de

[a;b]

y puntos

zi

2

[xi

1;xi]

con sus respectivas secciones

A(zi)

, entonces la

suma de Riemann

RP

=

P

n

Ahora podemos definir

V(S) = lim

k

P

k!

0RP:

Este límite existe y es igual a R

b

aA(x)dx:

Por lo tanto podemos definir el volumen de

S

, con las condiciones estipuladas arriba, como

V(S) =

R

b

a

A(x)dx:

Ejemplos

1. Encuentre el volumen del sólido cuya base es la región comprendida entre el gráfico de la función

f(x) = 1

x2

y el eje

x

en el primer cuadrante. Cada sección perpendicular al eje

x

es un triángulo equilátero apoyado sobre su base. Solución: Vemos que la gráfica de

f

es una parábola que corta al eje

x

en

x= 1

y

x= 1

(Ver figura 21.9).

El área de la sección para

x

está da- da por el área del triángulo

Figura 21.9 El área de la sección para esta

x

está dada por:

A(x) =

área del triángulo

= 12(1

x2)

p

3

2 (1

x2)

por lo que el volumen del sólido en

x

y

x+ x

es, aproximadamente,

V

=

p

3

4

(1

x2)2x:

Usando la simetría de la región, tenemos que el volumen del sólido es

V

= 2

Z

1

0

p

3

4 (1

x2)2dx

=

p

3

2

Z

1

0

(1 2x2+x4)dx

=

p

3

2 (x

23x3+ 15x5)

j

10= 4

p

3

15

2. Halle el volumen del sólido

S

formado por la intersección de dos cilindros circu- lares rectos de radio

r

, cuyos ejes se interceptan en ángulos rectos.

Solución: (Ver figura 21.10)

Cada sección del sólido

S

en un plano paralelo a ambos ejes es un cuadra- do. Un cuarto de este cuadrado y un octavo del sólido

S

está dibujado en la figura 21.10. Este cuarto de cuadrado dibujado en la figura 21.10, tiene área

21.2 Volúmenes 387

El cuarto de cuadrado dibujado, tiene área

A(x) =y2=yz=z2

Figura 21.10

Como las ecuaciones de los cilindros son

x2+y2=r2

y

z

arbitrario y

z2+x2=r2

y

y

arbitrario, tenemos que

A(x) =y2=xy=z2=r2

x2:

Por lo tanto, una sección de todo el sólido es

A

0

(x) = 4A(x)

para cada

x

en

[

r;r]:

Así pues,

V(S) =

Z

r

r4(r2

x2)dx= 4(r2x x

3

3 )

j

r r= 163r3:

Hay sólidos, los llamados sólidos de rotación, cuyo volumen se puede hallar usando un razonamiento similar al expuesto. Este tipo de sólido consiste en rotar una región del plano alrededor de una línea

L

(aunque se podría rotar esta región respecto a una curva, nosotros no vamos a considerar estos casos). Veamos algunos ejemplos.

3. Halle el volumen del sólido

S

generado por la región limitada por la curva

y2=x

entre 0 y 4 (Ver figura 21.11).

Solución: El área de la sección

A(x) =y2

, ya que es un círculo.

La sección es un círculo Figura 21.11

Por lo tanto, el volumen de

S

,

V(S)

, es

V(S) =

Z

4

0

xdx=

x2

2

j

40

= 8

(recuerde que

y2=x

)

4. Ahora suponga que queremos hallar el volumen del sólido generado por la mis- ma región al rotar esta alrededor del eje

y:

Solución: Basta, por simetría, hallar el volumen generado por la región con

y

no negativa (La figura 21.12 contiene solamente la mitad superior del sólido).

La mitad superior del sólido Figura 21.12

Haciendo una partición de

[0;4]

y tomando

[x;x+ x]

como un subintervalito genérico, vemos que el volumen

V

de esta franja completa es, aproximada- mente,

V

(x+ x)

2_{y x}2_y

=y((x+ x)2

_x2₎

=y(x+ x+x)(x+ x x)

= 2y(2x+ _{2 )}x

x2yxx

(

2x+₂

x

la podemos aproximar por

x

)

V

2yxx= 2xf(x)x:

Por lo tanto, el volumen total es:

V

= 2

Z

4

0

2f(x)xdx

= 2

Z

4

0

2

p

xxdx= 4

Z

4

0

x3=2dx

= 42=5x5=2

j

40= 256

5

5. Supongamos que queremos hallar este mismo volumen pero ahora particiona- mos el eje

y

en vez del eje

x

(Ver figura 21.13).

Solución: Ahora al rotar la banda rayada en la figura 21.13, obtenemos un volu- men

V:

Al rotar la banda, obtenemos un vo- lumen

V:

21.2 Volúmenes 389

Este

V

es, aproximadamente,

V

1

2(42y x2y) = 12(16y y4y)

donde

y

está en

[0;2]:

Ahora si tomamos la vuelta completa alrededor de

y

entre 0 y 2, tenemos que el volumen es

2V:

Por lo tanto, el volumen total para

y

en

[0;2]

es:

V

=

Z

2

0

(16

y4)dy=

=(16y y_{5 )}5

j

20

=(32 32=5) =128₅

:

Si queremos el volumen total de la parábola para

x

entre 0 y 4, entonces este volumen es

2V

, que es

256₅

, que concuerda con el valor obtenido en el ejemplo 4.

Está claro que uno escoge el método más fácil para resolver ejercicios como el 4 y 5 de esta sección.

Veamos otros ejemplos.

6. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región

R

alrededor del eje

y: R

está limitada por el gráfico de la ecuación

xy

= 2

, eje

y

y las rectas

y= 1; y= 6:

R

está limitada por el gráfico de la ecuación

xy= 2

, eje

y

y las rectas

y= 1; y= 6:

Figura 21.14

Solución: El volumen generado por la región genérica

R

entre

y

y

y+ y

es, aproximadamente,

V

x

2_y=

4

y2y

donde

y

está entre 1 y 6. Por lo tanto, el volumen del sólido es

V

= 4

Z

6

1

y

2dy= 4( 1y)

j

61= 23+ 4= 10

7. Halle el volumen de la región

R

comprendida entre

p

x+

p

y

= 1

y

x+y= 1

al girar esta región alrededor del eje

y

Solución: Vamos a usar bandas verticales (Ver figura 21.15).

El volumen aproximado

V

generado al girar

R

alrededor del eje

y

es

V

2(x+ x)(1

x)x

2x(1

p

x)2_x

Bandas verticales Figura 21.15

La primera parte nos da como volumen

V1=

Z

1

0

2x(1

x)dx==3

y la segunda nos da como volumen

V2=

Z

1

0

2x(1

p

x)2_dx==15:

El volumen total,

V

, es

V₁

V₂:

Por lo tanto,

V

==3

=15 =4₁₅:

Ejercicios

1. La base de un sólido es un círculo de radio

r:

Las secciones del sólido per- pendicular a un diámetro fijo de la base son cuadradas. Halle el volumen del sólido.

Resp:

16r

3

3

:

2. Una esfera de radio

r

es cortada por un plano formando un segmento de la esfera de altura

r:

Pruebe que el volumen del segmento es

h2(r

h₃):

3. Demuestre que el volumen del elipsoide

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1; a;b;c

positivos es

abc

veces más que el volumen de la esfera

x2+y2+z2= 1:

4. La región limitada por

y

= 4x2

y

y

= 2x

se hace girar alrededor de las rectas dadas abajo. Encuéntrese en cada caso el volumen del sólido generado

(a) eje

x

(b) eje

y

21.3 Trabajo 391

(c) y=2 (d) x=2

5. Un agujero cilíndrico de radio

a

se taladra pasando por el centro de una esfera de radio

2a:

¿Cuál es el volumen del material quitado?

Resp:

2₃a3(16 6

p

3):

6. Hallar el volumen generado al girar la región dada alrededor del eje

x

(a)

f(x) =x2; x

en

[0;1]

Resp:

=5:

(b)

f(x) = 1=x; x

en

[1;2]

Resp:

=2:

(c)

g(x) =

p

x; x

en

[0;1]

y

g(x) =x2; x

en

[0;1]

Resp:

₁₀3:

7. Hallar el volumen generado al girar cada una de las regiones dadas en el ejer- cicio anterior alrededor del eje

y

21.3

Trabajo

Si una fuerza constante

F

es aplicada a un objeto moviéndolo una distancia

d

, enton- ces el trabajo

W

realizado sobre el objeto es definido como:

W

=Fd

Las unidades de

W

serán metro - kilogramo - fuerza o m-kgf. Otras unidades podrían ser pies - libras - fuerza o f-lbf, etc. . .

Ejemplos

1. Un objeto de peso 110 kgf. se sube con velocidad constante a una altura de 23 metros. Halle el trabajo realizado.

Solución: Como la fuerza necesaria para subir el objeto es 110 kgf, el trabajo realizado es:

W

= 11023 = 2530

m-kgf.

El problema se complica si la fuerza varía con la posición del objeto. Nosotros vamos a asumir que el objeto

O

se mueve a lo largo de una recta

L

, con una fuerza

F(x)

que es aplicada a

O

cuando esté en la posición

x

de

L

figura 21.16 . También asumimos que el objeto se mueve desde

a

hasta

b

y

F(x)

es una fuerza continua en el intervalo

[a;b]:

Una fuerza

F(x)

que es aplicada a

O

cuando esté en la posición

x

Figura 21.16

Para calcular el trabajo que realiza

F(x)

cuando se mueve a

O

desde

a

has- ta

b

, tomamos una partición

P

= [x0;x1;:::;xn]

de

[a;b]:

En cada subintervalo

[xi

1;xi]

de

P

, sea

x

0

i

un punto en

[xi

1;xi]:

El trabajo realizado es aproxima- damente:

WixiF(x

0

El trabajo total para mover a

O

desde

a

hasta

b

es aproximadamente:

W

n

X

i=1F(x

0

i)xi

Como

F

es continua, sabemos que la suma

n

X

i=1F(x

0

i)xi

! Z

b

a

f(x)dx;

cuando

jj

P

jj!

0

Por lo tanto, es lógico definir el trabajo

W

realizado en un objeto

O

desde

a

hasta

b

por una fuerza

f(x)

continua como

W

=

Z

b

a

f(x)dx

2. Halle el trabajo que se realiza al vaciar un tanque de forma cilíndrica, desde arriba, suponiendo que éste está lleno y sus medidas son

2

m. de radio por

6

m. de altura.

Solución: El trabajo del disco:

W

=

fuerzadistancia. Y esto es, aproximadamente,

W

=22_kx0(6

_x)

donde

k

es el peso de un metro cúbico de agua.

Un tanque de forma cilíndrica Figura 21.17 Por lo tanto:

W

=

Z

6

0

4(6

x)k dx= 4k

6x x₂26

0= 72k

21.3 Trabajo 393

3. Halle el trabajo realizado al estirar un resorte desde su posición de equilibrio de

6

pulgadas hasta

12

pulgadas si se necesita una fuerza de

20

gramos - fuerza para mantener el resorte con ese estiramiento.

Solución: La fuerza

f(x)

requerida es:

f(x) =

k x

(

k

constante, depende del material del resorte). Esta es la ley de Hooke.

Como

f(6) = 20

)

20 = 6k

)

k=

10₃

_{Así se tiene que}

_{f(x) =}

10_3x:

_{Por lo tanto}

el trabajo

W

realizado al alongar el resorte de la posición cero hasta seis es:

W

=

Z

6

0

10

3xdx= 60

pulgadas - gramos - fuerza.

4. Un depósito con forma de cono circular recto, está lleno de un líquido de peso

k

por metro cúbico del líquido. La altura es de

20

metros y el radio en la cúspide es de

4

metros. Halle el trabajo en bombear el líquido hasta una altura de

10

Un depósito con forma de cono circular recto

Figura 21.18

metros por encima del borde superior del depósito (ver figura 21.18).

Solución: El trabajo realizado en llenar el disco hasta

30

metros, sería aproxima- damente:

W

=

fuerzadistancia. Luego, la fuerza

=kr2y

donde

r=

204y

,

ya que

₂₀4

=

ry:

Ahora la distancia es desde

y

hasta

30:

Así pues,

W

k(

1

5)y)2(30

y)y:

Por lo tanto el trabajo

W

es

W

=

Z

20

0

k(15)y)2(30

y)dy= 1600k:

Ejercicios

1. Halle el trabajo que se realiza al estirar un resorte desde el equilibrio (de

12

pulgadas) a una longitud de

18

pulgadas, si para mantener el resorte extendido

una pulgada es necesario

4

libras - fuerza de fuerza.

2. Un tanque vertical cilíndrico de

6

metros de diámetro y

10

metros está lleno a la mitad. Halle el trabajo que se realiza al pasar todo el líquido por la parte supe- rior del tanque. Asuma el peso de un metro cúbico del líquido

20

kgf.

3. Dos electrones se repelen con una fuerza inversamente proporcional al cuadra- do de la distancia entre ellos. Supongamos que tenemos dos electrones en los puntos

10

y

10

en el eje

x:

Halle el trabajo necesario para mover un tercer electrón desde el punto

(8;0)

hasta el

( 2;0)

a lo largo del eje

x:

4. Se vacía un depósito semiesférico que contiene un líquido que pesa

2

kgf por metro úbico. El radio del depósito es

10

metros. Hallar el trabajo cuando el nivel del líquido desciende desde su cúspide hasta

4

metros.

21.4

Ejercicios adicionales

En las últimas páginas de este capítulo presentamos una lista de ejercicios de un problemario usado desde 1984.

Capítulo 22

Integrales Impropias

Hemos visto la definción de la integral para funciones

f

definidas en un intervalo cerrado

[a;b]

y acotadas en ese intervalo. En este capítulo queremos generalizar el concepto de integración.

Para comenzar podemos considerar el comportamiento de

R

b

a

f(x)dx

cuando

b

tiende a infinito. Esto nos conduce al concepto de integración sobre intervalos infi- nitos. Por otra parte podemos considerar la integral de funciones no acotadas en el intervalo

(a;b)

. A continuación vamos a formalizar estas ideas.

22.1

Integrales sobre intervalos infinitos

Definición: Sea

f

una función definida en

[a;

1

)

. Supongamos que

para cada

b

2Rla integral R

b

a

f(x)dx

existe. Definimos Z 1

a

f(x)dx= limb

!1 Z

b

a

f(x)dx:

A esta expresión la llamaremosla integral impropia de

f

en

[a;

1

)

. Si el

límite existe diremos que la integral impropia converge y en caso contrario diremos que la integral impropia diverge.

Ejemplos

1. Sea

f(x) =e

x

y tomemos

a= 0

. Para cada

b

2Rtenemos Z

b

0

e

xdx=

e

x

j

b0= 1

e

b:

Por tanto, Z 1

0

e

xdx= limb

!1 Z

b

0

e

xdx= limb

!1

1

e

b_{= 1}

y la integral impropia converge.

2. Sea

f(x) = cos(x)

y

a= 0

. En este caso

R

b

0

cos(x)dx=sin(x)

j

b0= sin(b)

. Como

el

limb

!1

sin(b)

no existe, entonces la integral impropia R

1

3. Sea

f(x) =x

. Entonces

R

b

a

xdx= (b2

a2)=2

. Igual que en el ejemplo anterior,

limb

!1

(b

2

_a2₎₌₂

_{no existe y la integral impropia}R 1

a

xdx

diverge.

Definición: Sea

f

una función definida en

(

1

;b]

. Supongamos que

para cada

a

2Rla integral R

b

af(x)dx

existe. Definimos Z

b

1

f(x)dx= lim_a

! 1 Z

b

a

f(x)dx:

A esta expresión la llamaremos laintegral impropiade

f

en

(

1

;b]

. Igual

que antes, si el límite existe diremos que la integral impropia converge y en caso contrario diremos que la integral impropia diverge.

Observe que

R

b

1

e

x_dx

diverge (verifíquelo).

Ejemplo: Sea

f(x) =ex

. Para cada

a

2Rtenemos Z

b

a

exdx=ex

j

ba=eb

ea:

Por tanto, Z

b

1

ex_{dx= lim}

a

! 1 Z

b

a

e

xdx= lima

! 1

eb

_ea_=eb

y la integral impropia converge. En este ejemplo hemos encontrado la curiosa relación

eb

₌

Z

b

1

ex_dx:

Finalmente damos la siguiente definición:

Definición: Sea

f

una función definida en

(

1

;

1

)

. Sea

c

un número

real arbitrario y supongamos que para

a

2R y cada

b

2R las integrales R

a

c

f(x)dx

R

c

b

f(x)dx

existen. Definimos Z 1 1

f(x)dx= lim_a

! 1 Z

c

a

f(x)dx+ limb

!1 Z

b

c

f(x)dx

A esta expresión la llamaremos la integral impropiade

f

en

(

1

;

1

)

. Si

los límites existen diremos que la integral impropia converge y en caso contrario diremos que la integral impropia diverge.

Observación: El que la integral

R 1

1

f(x)dx

converja o dirverja no depende de la elección del número

c

. Si la integral converge, el valor numérico de la misma no depende de

c

. Esto lo dejamos como ejercicio al lector.

In document Queensland Grains Research - 2016 Regional Agronomy (Page 182-185)