Ya hemos calculado las soluciones de equilibrio del problema de los tres cuerpos cuando y = 0 para distintos valores de μ ∈ 0,12. A continua- ci´on calcularemos las soluciones de equilibrio cuando ´estas no est´an en el eje
x, es decir, para y= 0.
Para determinar estas soluciones consideramos las ecuaciones (4.6) de nuevo. Estas ecuaciones son las que definen las soluciones de equilibiro. Como y= 0 de la segunda ecuaci´on se obtiene que:
1−1− μ
r13 − μ r23 = 0.
Multiplicando esta ecuaci´on por x− x2 y x− x1 y restando los productos por separado de la primera ecuaci´on de (4.6); el resultado es:
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ x2− (1 − μ)x2− x1 r31 = 0, x1− μx1− x2 r23 = 0. (4.12)
Pero, x2 = 1− μ, x1 =−μ, y x2− x1 = 1; entonces las ecuaciones (4.12) se
reducen a: ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1− 1 r13 = 0, −1 + 1 r32 = 0. (4.13)
Las ´unicas soluciones reales son r1 = 1, r2 = 1. Es decir, que las soluciones corresponden a aquellos puntos que forman un tri´angulo equilatero junto con los cuerpos finitos. A dichas soluciones las llamaremos L4 y L5. Una representaci´on gr´afica de la situaci´on a la que nos enfrentamos podemos verla en la Figura 4.4.
Las coordenadas de los puntos L4 y L5 ser´an las siguientes:
Como las soluciones son los vertices de dos tri´angulos equilateros en los que los otros dos v´ertices son las coordenadas de los cuerpos finitos, tenemos que la coordenada x ser´a la del punto medio de los dos cuerpos, es decir, como la coordenada de uno es −μ y la del otro es 1 − μ, la coordenada x de las soluciones L4 y L5 ser´a x = 12 − μ.
La altura de un tri´angulo equilatero de lado uno no cambia al cambiar el parametro μ, pues la distancia entre los dos cuerpos siempre es uno. Por lo tanto la coordenada y de los puntos L4 y L5 es y =±√23. Por tanto, L4= 1 2− μ, √ 3 2 , L5 = 1 2− μ, − √ 3 2
Nuestro objetivo es caracterizar las cuencas de atracci´on de estas cinco solu-
Figura 4.4: Representaci´on gr´afica de las cinco soluciones de equilibrio del problema restringido de tres cuerpos.
ciones cuando se aplica el m´etodo de Newton al sistema (4.7) para diferentes valores de μ. Para ello debemos rese˜nar una diferencia notable frente a los ejemplos presentados en el Cap´ıtulo 3. En este caso no conocemos las ra´ıces de forma exacta, sino aproximada. Por ello es necesario determinar, en primera instancia, los valores de las ra´ıces. Puesto que disponemos de aproximaciones de dichas ra´ıces L1, L2 y L3 dadas por (4.9), (4.10) y (4.11) respectivamente, podemos aplicar el m´etodo de Newton a los valores aproximados, bajo la suposici´on de que son buenas aproximaciones, es decir, est´an en la cuenca inmediata de atracci´on y nos conducir´an a los verdaderos valores de L1, L2 y L3.
Una vez obtenidas las ra´ıces procedemos como en el Cap´ıtulo 3. En la Figura 4.5 se muestran las cuencas de atracci´on para valores de μ = 0.001, μ = 0.1,
4.3. SOLUCIONES PARTICULARES 45
μ = 0.2, μ = 0.3, μ = 0.4 y μ = 0.5.
Comentamos a continuaci´on algunos aspectos relativos a las cuencas de atrac- ci´on obtenidas:
Es importante se˜nalar que las cuencas est´an muy mezcladas entre s´ı, y que cuanto m´as peque˜no es μ, m´as mezcladas est´an. Adem´as las fronteras de las cuencas no est´an muy bien delimitadas.
Las cuencas de las ra´ıces L4 y L5, que a diferencia de las otras si obte- nemos de manera exacta, predominan sobre las otras. Adem´as, cuanto m´as peque˜no es μ la cuenca de atracci´on del punto L2 es m´as peque˜na. Podemos ver en la Figura 4.5, cuando μ = 0.001, la cuenca pintada en rojo, correspondiente a la ra´ız L2, es muy peque˜na en comparaci´on con la de L1.
Todas las cuencas de atracci´on son sim´etricas respecto al eje x y en particular la cuenca de atracci´on para μ = 0.5, Figura 4.5, es sim´etrica respecto a ambos ejes. Lo vemos a continuaci´on
Si construimos el m´etodo de Newton de forma an´aloga a como lo hemos hecho en el Cap´ıtulo 3 llegamos a que
xk+1= xk+ F1(xk, yk, μ),
yk+1 = yk + F2(xk, yk, μ).
donde F1 y F2 son la primera y segunda ecuaci´on respectivamente del siste- ma (4.7). Puede verse que si a cierto punto (xk, yk) le aplicamos el m´etodo
de Newton obtenemos (xk+1, yk+1). Y que si tomamos el punto (xk,−yk),
llegamos a (xk+1,−yk+1), lo que implica la existencia de simetr´ıa respecto al
eje x. Esta simetr´ıa se demuestra despejando xk e yk de las ecuaciones del
m´etodo, resultado que obviamos por su extensi´on.
En la Figura 4.5 vemos las cuencas de atracci´on cuando μ = 0.001, un valor aproximado al existente en el sistema solar, es decir, el problema al que nos enfrentamos podr´ıa ser aqu´el en el que los cuerpos fueran la Tierra, la Luna y un sat´elite, o en el que fueran el Sol, J´upiter y un asteroide.
En la Figura 4.5 est´an dibujadas las cuencas de atracci´on para μ = 0.5, a este problema se le conoce con el sobrenombre de Problema de
Figura 4.5: Arriba a la izquierda vemos como son las cuencas de atracci´on de las cinco soluciones particulares para el caso μ = 0.001, a la derecha como son las cuencas para el valor de μ = 0.1. En el centro a la izquierda vemos las cuencas para μ = 0.2 y a la derecha para μ = 0.3. Abajo a la izquierda para μ = 0.4 y a la derecha para μ = 0.5.
CONCLUSIONES 47
Conclusiones
Hemos redactado esta memoria con la intenci´on de separarla en dos par- tes bien diferenciadas.
En la primera parte tratamos el m´etodo de Newton en la recta real, el plano R2 y el plano complejo. Hemos visto sus semajanzas y diferencias en las dis-
tintas variantes y tratado sus cuestiones m´as espec´ıficas para cada una de ellas.
El m´etodo de Newton es muy conocido, sin embargo durante la realizaci´on de este trabajo hemos visto la profundidad y las repercusiones que tiene. Duran- te el Grado en Matem´aticas el m´etodo de Newton ha aparecido en numerosas ocasiones, aunque hasta ahora no hab´ıa alcanzado tama˜na dimensi´on. Hemos adquirido tambi´en nuevas nociones, cabe destacar la de cuenca de atracci´on, comprendiendo su importancia y relevancia a la hora de hallar todas las ra´ıces de una ecuaci´on no lineal.
En la segunda parte hemos estudiado, aunque sin entrar en demasiada pro- fundidad, el problema de los tres cuerpos. Un problema estudiado por grandes matem´aticos y f´ısicos a lo largo de la historia, y hemos sido conscientes de su complejidad, su importancia y el deseo de resoluci´on por parte de dichos cient´ıficos.
El m´etodo de Newton tan ampliamente descrito en la primera parte, ha sido utilizado en la segunda para resolver las ecucaciones asociadas al problema de los tres cuerpos, para representar gr´aficamente la cuenca de atracci´on de sus cinco ra´ıces y para apreciar c´omo ´estas evolucionan al cambiar el par´ametro
Bibliograf´ıa
[1] T. M. Apostol, An´alisis Matem´atico, Revert´e, Massachusetts, 1976. [2] R. Fitzpatrick, An Introduction to Celestial Mecha-
nics, Cambridge University Press, University of Texas, 2012. http://anzhelka.googlecode.com/git-history/ e2fde3236b9e9b6b3d074beddd15f0573155531d/doc/notes/intro_ celestial_mechanics.pdf.
[3] A. Giraldo y M. A. Sastre, Sistemas din´amicos discretos y caos.
Teor´ıa ejemplos y algoritmos, Departamento de matem´atica aplicada. Facultad de Inform´atica. Universidad Polit´ecnica de Madrid, 2002. [4] C. T. Kelley, Solving Nonlinear Equations with Newton’s Method,
Society for Industrial and Applied Mathematics, Filadelfia 2003. [5] D. Kincaid y W. Cheney, An´alisis Num´erico, Addison-Wesley, Cali-
fornia, 1994.
[6] F. R. Moulton, An Introduction to Celestial Mechanics, The McMi- llan Company, New York, 1914.
[7] S. Plaza y J. M. Guti´errez, Din´amica del M´etodo de New-
ton, Universidad de La Rioja, 2013. https://catalogo.unirioja.es/
cgi-bin/abweb/X6104/ID389531821/G0?ACC=DCT1.
[8] J. L. Varona, Graphic and numerical comparison between iterative methods, Math. Intelligencer 24 (2002), n.o 1, 37–46.