A partir del análisis didáctico, principalmente de la investigación en errores y dificultades estudiadas en torno al contenido patrones, se analizan las respuestas de los estudiantes a partir de las categorías:
• PPT: Obtienen la ley general – el patrón- analizando los primeros términos sin
analizar los términos superiores.
La tarea analizada se propuso a los estudiantes durante la segunda clase de la secuencia didáctica. Esta consistía en continuar un collar que se entregaba incompleto a los alumnos. En una primera instancia se les solicitó que en parejas identificaran una forma para completar el collar y que posteriormente cada uno lo completara considerando lo discutido con su compañero.
Se presenta a continuación la instrucción dada a los estudiantes en esta tarea:
“Un artesano recibe un collar para reparar; el dueño del collar desea conservar el diseño original de la joya, por ello junto a las piezas sueltas trae consigo parte del collar que quedó sin desarmar”.
A partir de la construcción de los estudiantes, se identificó que tres de ellos respondían a la tarea incurriendo en uno de los errores investigados en el Análisis de Contenido. Este error se extrajo de una unidad didáctica para secundaria en el marco de un trabajo de máster en España de Ortega (2011) quien reconoce que los
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errores propuestos en análisis de contenido pueden ser no del todo correcto debido a que no las ha confirmado, ya que no ha trabajado en el nivel para el que realizó el proyecto, tampoco ha realizado clases en el tema patrones. Sin embargo, se habla en este apartado con total autoridad debido a que el tema investigado si fue llevado a la práctica y a la luz de ella se establece el análisis.
Pese a que el error no cuenta con sustento teórico claro del cual el autor lo extrae se esperaba que en esta actividad los estudiantes incurrieran en él. Durante la implementación de la secuencia didáctica, hubo 3 estudiantes que analizaron los últimos términos para obtener el patrón, sin analizar la relación entre todos los términos. Es decir, hubo tres estudiantes de un total de 34 que sólo observaron y consideraron la última serie que se podía ver en el collar, es decir, perla rosada, perla celeste, perla rosada y 5 perlas amarillas de la figura 1, la cual es repetida para seguir armando el collar, como se muestra en la figura 2.
Lo anterior se ejemplifica en la siguiente imagen.
Tabla n°4: Análisis de la construcción del collar bajo el criterio PPT.
Secuencia entregada Secuencia seguida por los estudiantes
Figura 1: secuencia entregada a los estudiantes
Figura 2: secuencia seguida por los estudiantes
Relación con el error:
Los estudiantes consideraron como patrón los últimos elementos: perla celeste, perla rosada, perla celeste, cinco perlas amarillas. Luego fueron repitiendo dicho patrón.
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Para corregir el error, en la etapa de validación los estudiantes salen adelante del salón a explicar la forma en que cada uno completó el collar, se seleccionaron tres representaciones, dos consideradas correctas y una incorrecta. La primera representación considera que el patrón es repetitivo y la segunda correcta considera
un patrón ascendente de las perlas amarillas. La tercera representación –
incorrecta- considera el error analizado previamente.
Dos parejas explicaron la forma que siguieron para completar el patrón y la docente explicitó que ambas eran correctas debido a que existe más de una forma para continuar una secuencia. El alumno que incurrió en el error no quiso explicar frente al curso su procedimiento, pero con su consentimiento la docente mostró a los alumnos la representación errónea y mencionó también que tres de los estudiantes completaron así el collar.
• PDR: Utilizan patrón de repetición para completar el collar.
Se analiza en este subapartado la forma que 20 de 38 estudiantes construyeron el collar. Si bien en el análisis de contenido se esperaban tres formas para completar el collar: (1) completar el collar con una parte de él que se repite (perla rosada, perla celeste, perla rosada) y la otra que cambia de forma ascendente (aumento de perlas amarillas); (2) determinar el patrón para completar el collar analizando los primeros términos de la secuencia y (3) completar el collar sin seguir ningún patrón, surgió a partir de la realización de la actividad una nueva forma de completar al collar que no había sido considera en el análisis previo.
Esta forma consistió en tomar la secuencia ya entregada y repetirla de modo que esta pasó a ser el patrón para completar el collar. Un porcentaje del curso respondió de la forma previamente señalada a la tarea y al realizar el monitoreo por el salón la mayoría de los estudiantes manifiesto que lo completaron de esa forma, ya que debían repetir lo que ya estaba, considerando más bien lo entregado como el patrón de la secuencia. Una hipótesis además de este resultado radica en que el patrón de recurrencia en el collar implica una mayor complejidad debido a que deben considerar a la vez dos patrones, uno de repetición (perla rosada, perla celeste, perla rosada) y el de recurrencia (aumento de perlas amarillas).
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A continuación, se muestran diferentes imágenes en las que los estudiantes completan el collar con un patrón repetitivo:
Tabla n°5: Ejemplos de la construcción del collar bajo el criterio PDR.
Por la razón anterior, y como una estrategia para trabajar el error mencionado anteriormente la propuesta de completar el patrón fue diseñada utilizando colores y no formas (cuentas de estrellas o flores) con la intención de que los estudiantes no tuviesen que analizar dos elementos: color y figura. Sin embargo, gran parte del curso sólo pudo detectar una regularidad de menor complejidad. Otro aspecto considerado en la tarea y que tiene que ver con la menara en que el profesor la presenta fue el repetir más de tres veces el patrón creciente como ejemplo, de tal manera que las respuestas de los estudiantes no se vean envueltas en posibilidades del error didáctico, que considera que es necesario mostrar más de tres veces el patrón para no dificultar su consecución.
• PRC: Utilizan patrón de recurrencia combinada.
El resto de la clase, 14 estudiantes, respondieron a la construcción del patrón de la secuencia identificando una regularidad que considera el comportamiento, por un lado, de la perla rosada, celeste, rosada como patrón de repetición y por otro de las perlas amarillas como patrón creciente. Al diseñar esta actividad se esperaba que La mayoría de los alumnos completaran el collar de esta forma.
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Tabla n°6: Ejemplos de la construcción del collar bajo el criterio PRC.
Durante el recorrido por los grupos de trabajo que completaron el collar de la forma antes mencionada, se registraron los siguientes argumentos sobre cómo se continuaba el collar:
• Hay que repetir la rosada y la celeste y las otras (haciendo referencia a las
amarillas) suben.
• [Mientras construían el collar decían] Una celeste, una rosada, una celeste,
una amarilla, una celeste, una rosada, una celeste, dos amarillas, una celeste, una rosada, una celeste, tres amarillas…
• Las amarillas van una, dos, tres, cuatro, cinco, ahora vienen 6.
• Se van sumando una amarilla y las otras se mantienen.
Se mencionan estas intervenciones orales de los estudiantes debido a que en ellas se manifiesta que existen una parte del patrón que se comporta de forma repetitiva (perla rosada- perla celeste-perla rosada), pero hay otra que lo hace de forma ascendente (Una perla amarilla, dos perlas amarillas, tres perlas amarillas, cuatro perlas amarillas…).
En esta actividad uno de los estudiantes desarmó el collar, y no completó la tarea.
Como conclusión del análisis de esta tarea podemos evidenciar que existe una gran cantidad de estudiantes que responden a la tarea completando el collar como una repetición de lo entregado, es decir, realizan un patrón repetitivo para continuar
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el collar; otros en cambio responden a la tarea considerando que lo entregado contempla dos patrones: uno de repetición y otro de recurrencia.
Segunda tarea analizada: Representación:
Esta categoría de análisis estudia la representación realizada por los estudiantes a partir de una tarea propuesta en una guía de trabajo que se les propuso en la tercera clase de la unidad. La tarea por analizar se enmarca dentro del momento didáctico Situación Acción.
Se muestra a continuación la secuencia geométrica que se solicitó continuasen los estudiantes seguida de las respuestas a la tarea.
1. Observe la secuencia y responda a las preguntas:
a. ¿Cómo sería la figura 4?
Como se puede apreciar, se solicita a los estudiantes la siguiente figura, a partir de la secuencia ya dada, es decir, que representaran la figura n°4.
A partir del análisis de las respuestas de los estudiantes se determinan las siguientes categorías:
(1) RPE: Representación pictórica esperada de la figura n°4.
(2) RPNE: Representación pictórica no esperada de la figura n°4.
• (1) RPE: Representación pictórica esperada de la figura n°4.
A partir de lo solicitado 22 de los 35 estudiantes, responden a la pregunta de forma correcta, es decir, representan la figura n°4 considerando plenamente las figuras anteriores. Completan la tarea realizando cuatro cuadrados unidos que comparten un fósforo común con el siguiente. Se presentan a continuación la representación de diferentes estudiantes respecto de esta subcategoría.
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Tabla n°7: Ejemplos de la representación esperada de la figura n°4.
Fuente: Registro de los estudiantes.
En las respuestas previamente expuestas, los estudiantes responden satisfactoriamente a la tarea debido a que consideran todos los elementos de las figuras previas, es decir, que en vista de que la primera figura tenía un cuadrado, la segunda dos cuadrados y la tercer tres, la figura n°4 tiene cuatro cuadrados y que además estos eran continuos uno del otro (desde la figura n°2 en adelante) compartiendo un fósforo en común.
(2) RPNE: Representación pictórica no esperada de la figura n°4.
13 de los estudiantes del curso respondieron a la tarea de forma incorrecta. 11 de ellos debido a que sólo consideraban una característica de la secuencia presentada: el número de cuadrado de cada figura; 1 que realizó la representación de la figura n°3 y 1 estudiante que realizó una representación que si bien consideraba correctamente el número de cuadrados y que estos estaban uno junto al otro, no consideró que en las figuras previas los cuadrados compartían un fósforo en común.
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Se presenta a continuación la representación de estudiantes que sólo atiende al número de cuadrados de la figura:
Tabla n°8: Ejemplos de la representación no esperada de la figura n°4.
Estudiante x Estudiante x
Fuente: Registro de los estudiantes. La representación de estos estudiantes da cuenta de que ellos sólo consideran el número de cuadrados de cada una, y pese a que lo hacen en este punto de forma correcta, no se percatan que representar los cuadrados de forma separa implica utilizar más palos fósforos para construir la figura.
En tanto a las respuestas erróneas llamó la atención la siguiente representación: 1 estudiante representó la figura n°4 considerando correctamente el número de cuadrados y que estos estaban uno junto al otro, sin embargo, no consideró que en las figuras previas los cuadrados compartían un fósforo en común. La representación del estudiante, por ende, contempla más palos de fósforos para construir la figura.
Se presenta a continuación la representación del estudiante: Tabla n°9: Ejemplo de respuesta errónea.
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En la etapa de validación se escogieron dos representaciones para ser explicadas por los estudiantes al salón, se eligió una respuesta correcta y una errónea4. Se
solicitó a los estudiantes defendieran su respuesta y explicaran primeramente el procedimiento que los llevo a dicha representación.
Con esta tarea evidenciamos que las respuestas de los estudiantes se enfocan en dos perspectivas, respuestas esperadas y no esperadas, si bien las respuestas esperadas son entregadas por la mayoría del curso es considerable el número de estudiantes que responden a la tarea de una forma no esperada.
Finalmente podemos decir que los patrones son un tema complejo de tratar debido a los errores que hemos comprobado se dan en la sala de clases, por lo tanto, los profesores debemos estar preparados para enfrentar este error y buscar estrategias que orienten a los estudiantes a aprender de ellos y superarlos. De ahí que realizar el análisis didáctico representa para la enseñanza de los contenidos matemáticos una importante herramienta puesto que se enfoca desde el contenido mismo hasta las dificultades y obstáculos que tienen los estudiantes para aprenderlo.
4 No se dio cuenta de la última representación errónea analizada en la etapa de validación debido a que durante el monitoreo no se apreció dicho error.
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