En el diseño DO1 el factor de peso W fue impuesto de manera arbitraria en el diseño estructural. Sin embargo, es posible realizar un diseño en el que este factor esté contenido en la función objetivo global en base a la influencia que tiene cada función objetivo en sí misma. Para lograrlo existen distintas alternativas. Una de ellas es emplear el método de criterio global descrito en el Capítulo 5 durante el desarrollo del esquema de diseño DO4. A continuación, se presentan algunas aplicaciones particulares de dicho esquema.
Se propone diseñar vigas rectas de sección transversal tipo I sometidas a las condiciones de borde que se muestran en la Figura 8.17. Para ello, se considera la minimización de la deflexión y del peso de la viga conjuntamente con la maximización de la resistencia, tal como se desarrolló en la sección 5.3.4.
En particular, se considera una viga de 6 m de longitud y se asume conocida la magnitud de las cargas (P = -1.105N, My = 1.104Nm, qz = -3.103N/m). Se propone emplear para su
construcción un material compuesto de fibras de vidrio-E y poliéster, cuyas propiedades mecánicas se dan en el Apéndice I.
My My P z x L (a) (c) qz z x P L (b)
Figura 8.17. Condiciones de borde analizadas en el esquema DO4: (a) viga simplemente apoyada (SA), (b) viga doblemente empotrada (EE). (c) Sección transversal.
Las dimensiones de la sección transversal y la laminación son las variables de diseño del problema y los dominios en que están definidas son los siguientes
[0.1 : 0.01 : 0.6] m, [0.1 : 0.01 : 0.6] m, [0.004 : 0.004 : 0.06] m Laminados : Caso SAP : [0 / 0] , [0 / 90] , [45 / 45]
Caso EE : [0 / 0] , [0 / 90]
s s s
s s
h= b= e=
− (8.3)
En el Apéndice I también se pueden ver los carpet plots que definen las resistencias máximas a tracción, a compresión y a corte de los laminados construidos con dicho material. Tales resistencias adoptan los siguientes valores para los laminados empleados
[0 / 0] 903 MPa, 379 MPa, 44 MPa, [0 / 90] 104 MPa, 112 MPa, 44 MPa, [45 / 45] 50 MPa, 58 MPa, 95 MPa.
s xt xc xy s xt xc xy s xt xc xy F F F F F F F F F → = = = → = = = − → = = = (8.4)
Se impone un valor de área máxima que puede tener la sección transversal (Amax = 0.05
m2) y la deflexión máxima es acotada superiormente (δmax = 0.015 m), de acuerdo a la
expresión (5.6).
Definidas las restricciones estructurales y geométricas a las que está sometida la estructura, se está en condiciones de resolver el problema de diseño. Como se mencionó anteriormente, en este diseño se consideran múltiples objetivos contenidos en una función objetivo global, como se indica en la formulación del esquema de diseño dada por (5.20). Para hallar dicha función global, previamente se deben determinar las soluciones óptimas que generan la máxima carga de pandeo, el mínimo desplazamiento y el mínimo peso de la viga resolviendo los tres problemas de optimización establecidos en (5.18-5.19).
Dado que los problemas a resolver durante el diseño son relativamente simples y las variables están definidas en dominios pequeños, el método SA es implementado en base al
método de búsqueda clásico.
Luego, los problemas de optimización son resueltos implementando computacionalmente las siguientes técnicas: simulated annealing (SA)y algoritmo genético (AG), con el propósito de realizar una comparación entre ambas, contrastando las soluciones óptimas y los tiempos de cálculo de cada una de ellas. Los conceptos teóricos de cada algoritmo fueron detallados en el Capítulo 6.
Algoritmo genético es implementado en un entorno MATLAB®, empleando codificaciones binarias y utilizando los operadores genéticos que se especifican a continuación. La población inicial del algoritmo es generada en forma aleatoria y la reproducción se realiza según la expresión (6.12). Se adopta una probabilidad de cruce Pc =
0.5 y una probabilidad de mutación Pm = 0.01. El problema es restringido mediante un
método de penalización, empleando la función penalidad que se indica en (6.8). Para ello, se adopta un valor de β igual a 1 y el coeficiente ξi toma un valor de 10 para los problemas
de optimización dados por (5.18) y se considera igual a 100 para restringir el problema de optimización multiobjetivo (5.17), dado que en algunos casos la función multiobjetivo es mayor a 10.
La Tabla 8.9 muestra los diseños óptimos hallados en los dos casos de vinculación analizados. Allí se detallan las soluciones óptimas de cada uno de los problemas de optimización resueltos y los valores óptimos de cada una de las funciones objetivo. Se observa que las soluciones óptimas del problema multiobjetivo contemplan en mayor o menor medida a cada uno de los objetivos. Analizando físicamente el problema, minimizar el desplazamiento y maximizar la resistencia al pandeo implica un aumento en las dimensiones de la sección. Sin embargo, minimizar el peso de la estructura se traduce en la minimización del área de la sección transversal, por lo que las dimensiones de la sección deben ser pequeñas. En los resultados se observa que para cumplir estos objetivos en forma conjunta, b y h son grandes (de manera de otorgar rigidez y resistencia), mientras que el espesor disminuye tanto como se lo permita la condición de estabilidad local de la sección (de manera de minimizar el peso). Cabe aclarar que las soluciones óptimas obtenidas para la viga SAP son similares a las obtenidas para la viga EE. Esto se debe a que tanto el tipo de carga como su magnitud son similares en ambos casos.
Las dos técnicas de optimización empleadas obtuvieron los mismos resultados óptimos y es por eso que no se diferencia entre una u otra técnica en la Tabla 8.9. Sin embargo, a fin de realizar una comparación en la performance de ambos algoritmos, en las Tablas 8.10 y 8.11 se exponen los tiempos de cálculo y las iteraciones realizadas en cada una de las
corridas. Empleando el mismo procesador en todos los casos, se obtuvieron diferencias mínimas de tiempo de cálculo entre los dos métodos. El número de iteraciones se indica sólo como una característica de cada una de las técnicas, dado que no es comparable entre ambas. Esto se debe a que las generaciones son muy diferentes: algoritmo genético genera poblaciones en cada iteración mientras que simulated annealing genera una única solución factible por cada iteración y para hallarla se genera una cantidad incierta de soluciones no factibles. Por lo tanto, considerando los tiempos de cálculo, es evidente que para este caso particular ambas técnicas son igualmente eficaces. Sin embargo, es importante mencionar que la configuración inicial de los parámetros de convergencia de AG se define de forma más rápida y simple que la configuración inicial de SA.
Tabla 8.9. Diseños óptimos obtenidos en la aplicación del esquema DO4.
VIGA SAP VIGA EE
f1(x1*)[1/Nm] 3.60 10-7 1.29 10-7 x1* = (b1*, h1*, e1*, θk1*) (0.60,0.58,0.028,0º) (0.60,0.58,0.0028,0º) f2(x2*)[m] 0.0006 0.0002 x2* = (b2*, h2*, e2*, θk2*) (0.39,0.60,0.036,0º) (0.39,0.60,0.036,0º) f3(x3*) [m2] 0.0038 0.0026 x3* = (b3*, h3*, e3*, θk3*) (0.28,0.40,0.004,0º) (0.18,0.30,0.004,0º) FMCG 21.62 37.00 Laminado óptimo [04] [04] (b*, h*, e*) (0.60,0.60,0.008) (0.60;0.60;0.008) Mcr(x*)[Nm] 7.78 105 2.22 106 δ(x*)[m] 0.002 0.001 A(x*)[m2] 0.0144 0.0144
Tabla 8.10. Costos computacionales en el diseño de la viga simplemente apoyada.
Simulated annealing Algoritmo genético
Tiempo [seg] Iteraciones Tiempo [seg] Iteraciones
min f1(x) =1/Mcr 14.9 5200 14.8 500
min f2(x) = δ 13.9 6000 13.6 300
min f3(x) = A 14.1 6000 13.3 300
min FMCG(x) 13.1 10150 12.0 300
Los cálculos se realizaron con un procesador DualCore Intel Wolfdale de 2533 MHz, con 2044 MB de memoria RAM.
En las Figuras 8.18 y 8.19 se muestran esquemáticamente las soluciones óptimas de cada uno de los problemas de optimización resueltos.
Tabla 8.11. Costos computacionales en el diseño de la viga doblemente empotrada.
Simulated annealing Algoritmo genético
Tiempo [seg] Iteraciones Tiempo [seg] Iteraciones
min f1(x) =1/Mcr 8.3 4080 10.4 400
min f2(x) = δ 9.3 8140 10.0 300
min f3(x) = A 16.0 8000 13.6 300
min FMCG(x) 12.8 9450 14.4 300
min1/Mcr(x) min (x) min A(x)
0.60 0.60 0.008 My My P z x L 0.28 0.40 0.004 0.39 0.60 0.036 0.60 0.58 0.028
Figura 8.18. Esquemas de las secciones óptimas (viga SAP).
0.60 0.60 0.008 0.60 0.58 0.028 0.18 0.30 0.004 0.39 0.60 0.036
min1/Mcr(x) min (x) min A(x)
qz z
x
P
L
Figura 8.19. Esquemas de las secciones óptimas (viga EE).
Más allá del método de optimización empleado para resolver el problema de diseño, hay que destacar que el planteo del problema en sí mismo hace que los tiempos de cálculo sean considerablemente menores a los que se obtienen al realizar el cálculo estructural mediante
el modelo de elementos finitos. Esto confirma la eficiencia computacional del diseño analítico y la importancia de poder realizar un diseño preliminar simplificado desde el punto de vista estructural, sobre todo en problemas de gran escala donde el número de iteraciones crece considerablemente.