Definición: Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vértices). Las líneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas).
Los arcos se etiquetan para dar nombres a los nodos en sus puntos terminales, por ejemplo, AB es el arco entre lo nodos A Y B.
Los modelos de optimización de redes se aplican a numerosos casos en la Ciencia de la Administración, en particular relacionados con la operación de redes de transporte, logística, redes eléctricas o de comunicación, pero también en programación y seguimiento de Proyectos, en Marketing, Recursos Humanos y en Finanzas. La mayor parte de los modelos de redes son casos particulares de modelos de Programación Lineal, y pueden ser formalizados a partir de un modelo general que los engloba: el Modelo de Flujo de Costo Mínimo.
En un problema de programación lineal, las redes pueden representar un conjunto de estaciones, campos petrolíferos, almacenes, fabricas, sucursales, ciudades, interconectadas entre si a través de caminos, conductos, tuberías que permiten fluir productos para la comercialización o la distribución.
Algunos ejemplos característicos son:
► El problema de la producción: maximizar ingresos
Una empresa se dedica a la producción de n bienes distintos, para los que utiliza m factores productivos que posee en cuantía limitada. Se desea saber, conociendo los precios de venta de cada uno de los bienes, qué cantidad ha de producir de cada uno de ellos para maximizar el ingreso por ventas de lo producido.
Sean:
K
1
, ,
nx
x
el número de unidades a producir de cada bien.K
1
, ,
nc
c
los precios de venta unitarios de cada uno de dichos bienes.K
1
, ,
mb
b
disponibilidad de cada uno de los factores producidos.ij
a con
1 i m, 1 j n
unidades para la producción de una unidad del bien i-ésimo.Según lo estudiado anteriormente en este tema, el problema de la producción quedaría planteado como:
L L M L K 1 1 11 1 12 2 1 1 1 1 2 2 1 ( ) . . , , 0 n n n n m m mn n m n Max f X c x c x s a a x a x a x b a x a x a x b x x
Otras aplicaciones industriales son:
a) Líneas aéreas comerciales: el trabajo hecho en esta área ha tratado con problemas de asignación de aviones a rutas y administración de las líneas aéreas.
b) Telecomunicaciones: el trabajo principal ha estado en el diseño y utilización óptima de redes de comunicaciones. Con los métodos de programación lineal se han resuelto problemas de instalaciones físicas
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para transmisión, conmutación, retransmisión, etc. Estos métodos proporcionan un enfoque al sistema general para resolver las interacciones complejas entre la capacidad del sistema, las demandas de los usuarios y factores económicos.
c) Industria petrolera; Este campo industrial ha proporcionado muchas aplicaciones muy importantes e interesantes de la programación lineal. La más antigua fue el problema de mezclar gasolinas para obtener los productos requeridos con un máximo de utilidades. Los productos terminados deben satisfacer una variedad de especificaciones, por ejemplo, número de octano y volatilidad, de forma que se maximicen los ingresos netos. Otros estudios incluyen los problemas de asignación óptima de crudos a varias refinerías y el inventario y la velocidad de producción óptimos para productos estacionales.
► Aplicaciones militares
Uno de los primeros modelos lineales fue el del problema de suministro aéreo. El objetivo era, o bien entregar una cantidad especificada de toneladas a un costo mínimo, o bien maximizar el tonelaje suministrado con una provisión dada de aviones y dinero.
Otras aplicaciones militares son: el problema de defensa pública en caso de desastre, la solución del cual produce el número de unidades defensivas que se deben usar en un ataque dado para proporcionar el nivel de protección necesario a menor costo.
► Problemas de transporte.
Otro problema asociado a la programación lineal es el del flujo máximo en redes. Si se considera una red (de ferrocarril, carretera, comunicaciones) conectando dos puntos dados a través de varios intermedios, donde cada arco de la red tiene asignado un número que representa su capacidad. Suponiendo una condición de estado estable, se ha desarrollado un método simple de cálculo, basado en el algoritmo del Símplex, para encontrar un flujo máximo de un punto dado a otro. El problema del transbordo es una extensión del problema fundamental del transporte.
► Aplicaciones a varias áreas teóricas de las matemáticas
Los aspectos teóricos y de cómputo de la programación lineal se han aplicado con mucho éxito a las áreas de: Análisis de Combinaciones, Conjuntos Parcialmente Ordenados, Teorías de Redes y Gráficos y Sistemas de Representaciones Precisos.
5. Aplicaciones.
Inicialmente, los métodos de programación lineal contaron, principalmente, con las siguientes aplicaciones: Aplicaciones militares, (creadas por el proyecto SCOOP de la Fuerza Aérea), económicas-industriales (basadas en el modelo de insumo-producto de Leontief), problemas que involucran la relación entre los juegos de suma cero para dos personas y la programación lineal. En los últimos años estos campos de aplicación se han extendido y desarrollado notablemente, aunque el énfasis principal de estas aplicaciones se ha desviado hacia el área industrial en general.
Las aplicaciones más habituales de la programación lineal abordan distintos ámbitos de la sociedad cotidiana y permiten resolver así numerosas situaciones reales, como por ejemplo: Diseño de redes de telecomunicación (redes de fibra óptica, de computadores, telefónicas, de televisión por cable, etc.), Diseño de redes de
transporte para minimizar el costo total de proporcionar las ligaduras (vías ferroviarias, carreteras, etc.); Diseño de una red de líneas de transmisión de energía eléctrica de alto voltaje; Diseño de una red de cableado en equipo eléctrico (como sistemas de computo) para minimizar la longitud total del cable; Diseño de una red de tuberías para conectar varias localidades; Diseño de una red de tuberías de gas natural mar adentro que conecta fuentes del golfo de México con un punto de entrega en tierra con el objetivo de minimizar el costo de construcción; Determinación del programa de costo mínimo de los campos petrolíferos a refinerías y finalmente a los campos de distribución. Se pueden enviar petróleo crudo y productos derivados de la gasolina en buques tanque, oleoductos y/o camiones. Además de la disponibilidad de la oferta máxima en los campos petrolíferos y los requisitos de demanda mínima en los centros de distribución, deben tomarse en cuenta restricciones sobre la capacidad de las refinerías y los modos de transporte.
6. Conclusión.
La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión. Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización. n●
Bibliografía
GASS, S.I.(1981) “Programación Lineal” COMPAÑÍA EDITORIAL CONTINENTAL.
STANLEY GROSSMAN.(1988) “Aplicaciones del Álgebra Lineal”. GRUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA. http://www.ccee.edu.uy/ensenian/catmetad/material/material%20de%20apoyo%204.pdf http://www.monografias.com/trabajos16/flujo-redes/flujo-redes.shtml#mmodel