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Ahora aplicaremos todo lo estudiado para el caso en el que la variedad diferenciable M tiene una estructura de grupo de Lie.

Como ya sabemos, un grupo de Lie G es una variedad diferenciable junto con una estructura de grupo tal que la multiplicaci´on y la inversi´on son diferenciables. Consideramos m´etricas rie- mannianas que relacionen la geometr´ıa de G con su estructura de grupo. Estas m´etricas tienen la propiedad de que las traslaciones a izquierda La:G →G son isometr´ıas, para todo a∈G, y son

llamadas m´etricas invariantes a izquierda.

Definici´on 1.6.1. Una m´etrica riemanniana sobre un grupo de LieGse diceinvariante a izquierda

si hu, vix = h(dLa)xu,(dLa)xviLa(x) para todo a, x ∈ G y u, v ∈TxG. Similarmente, una m´etrica

riemanniana es invariante a derecha si cada traslaci´on a derecha Ra : G → G es isometr´ıa. Una

m´etrica que es invariante a izquierda y a derecha se dicebi-invariante.

Como las traslaciones a izquierda son isometr´ıas, una m´etrica invariante a izquierda sobre G

queda determinada por su valor en la identidad del grupo, y por lo tanto podemos identificarla con un producto interno sobre el ´algebra de Lieg de G.

Una estructura J (casi) compleja invariante a izquierda sobre un grupo de Lie G, es una es- tructura (casi) compleja sobre la variedad subyacente que satisface J ◦dLa =dLa◦J, para todo

a∈G. Es decir, las traslaciones a izquierda son casi complejas u holomorfas.

Si J es una estructura (casi) compleja invariante a izquierda y g es una m´etrica hermitiana invariante a izquierda sobre un grupo de LieG, entonces decimos que (J, g) es unaestructura (casi) hermitiana invariante a izquierda sobre el grupo de Lie G.

Definici´on 1.6.2. Una estructura casi compleja J sobre un ´algebra de Lie g es un endomorfismo

J :g→g tal queJ2=−Id.

Asociado a J definimos su “tensor” de Nijenhuis por:

NJ(X, Y) = [J X, J Y]−[X, Y]−J([J X, Y] + [X, J Y]), X, Y ∈g,

y decimos que J esintegrableo una estructura compleja sobreg si NJ ≡0.

SeaJ una estructura compleja sobre un ´algebra de Lieg. Un producto internoh·,· isobregtal que hJ X, J Yi=hX, Yi, para todo X, Y ∈g ser´a llamado un producto interno hermitianosobre g.

25 1.6. Grupos de Lie con estructuras LCK invariante a izquierda

Ejemplo 1.6.3. Seagun ´algebra de Lie sobreC. Entoncesgadmite una estructuraJ integrable. En

efecto, consideramos a g como un espacio vectorial real y definimos una estructura casi compleja

J por J X =iX. Claramente J es integrable y satisface [J X, Y] =J[X, Y] para todoX, Y ∈g, es decir, J◦adX = adX◦J.

Rec´ıprocamente si g es ´algebra de Lie real con una estructura casi compleja J que satisface

J◦adX = adX◦J, entoncesJ es integrable y podemos definir (a+ib)X=aX+bJ X cona, b∈R.

Luego tenemos que g es un ´algebra de Lie compleja, pues

[(a+ib)X, Y] = [aX, Y] + [bJ X, Y] =a[X, Y] +bJ[X, Y] = (a+ib)[X, Y].

SeaG un grupo de Lie con una estructura (casi) compleja J invariante a izquierda. Entonces

J induce una estructura (casi) compleja J|_g en g. Rec´ıprocamente veremos c´omo una estructura (casi) compleja en el ´algebra de Lie ginduce una estructura (casi) compleja en el grupo de LieG. Considerando a los elementos degcomo campos invariantes a izquierda, siJ es una estructura casi compleja en gpodemos definir una estructura casi compleja JG en Gcomo sigue: para g∈G, sea

Lg la correspondiente multiplicaci´on a izquierda en G, entonces definimos

J_gG= (dLg)eJ(dLg)−e1, (1.19)

JG

g : TgG → TgG es un endomorfismo y cumple JgG◦JgG =−Id, luego JG define una estructura

casi compleja en G.

Proposici´on 1.6.4. Si J en g es integrable, entonces JG en G es integrable.

Demostraci´on. ComoN_JGes un tensor y los campos invariantes a izquierda son base deX(G) como

C∞(G)-m´odulo, basta demostrar la integrabilidad deJGparaX, Y campos invariantes a izquierda. Notemos primero que si X es invariante a izquierda entoncesJGX es invariante a izquierda, pues:

(dLh)g(JGX)g = (dLh)g(dLg)eJ(dLg)−e1Xg

= (dLhg)eJ(dLg)−e1(dLh)−g1(dLh)gXg

= (dLhg)eJ(dLhg)−e1Xhg

= (JGX)hg

Ahora vemos queN_JG= 0:

(JG[X, Y])g =JgG[X, Y]g = (dLg)eJ(dLg)−e1[X, Y]g = (dLg)eJ(dLg−1)_g[X, Y]_g = (dLg)eJ[Xe, Ye] = (dLg)e(J[J Xe, J Ye] + [J Xe, Ye] + [Xe, J Ye]) = (dLg)e(J[JGX, JGY]e+ [JGX, Y]e+ [X, JGY]e) =JG[JGX, JGY]g+ [JGX, Y]g+ [X, JGY]g. Por lo tantoN_JG= 0.

Nota. Las traslaciones a derecha por lo general no son holomorfas. Esto s´olo pasa cuando el grupo de Lie G con esta estructura de variedad compleja es un grupo de Lie complejo. Esto es, un grupo que tambi´en admite una estructura de variedad compleja tal que la funci´on G×G → G, (a, b)→ab−1, es holomorfa.

M´as a´un, si G es un grupo de Lie conexo y J una estructura invariante a izquierda, entonces (G, J) es un grupo de Lie complejo si y s´olo si J◦adX = adX◦J, para todoX ∈g.

En efecto, supongamos queGes un grupo de Lie complejo. ComoI(a) :x→axa−1es holomorfa para todo a∈G entoncesAd(a) = d(I(a))e conmuta con J, es decir, Ad(a)◦J =J◦Ad(a) para

todo a∈ G. En particular, dado X ∈ g tenemos Ad(exp(tX))◦J =J ◦Ad(exp(tX)). Derivando respecto de t en t = 0 obtenemos adX◦J = J ◦ adX para todo X ∈ g. Rec´ıprocamente sea

G un grupo de Lie real con adX◦J = J ◦adX para todo X ∈ g, es decir, [J X, Y] = J[X, Y].

Entonces NJ = 0, por lo tanto (G, J) es una variedad compleja. De adX◦J =J◦adX se sigue que

Ad(a)◦J =J◦Ad(a), entoncesJ conmuta conAd(a) y adem´as conmuta condLapor ser invariante

a izquierda. Por composici´on de I(a−1_{) y L}

a resulta que J conmuta con dRa para todo a ∈ G.

Luego de la f´ormula de Leibniz1 se sigue que (x, y)→xy es holomorfa. La funci´on φ:x→x−1 es holomorfa en e∈ G, pues su diferencial es −Id que conmuta con J, y luego en todo a∈ G pues

φ◦La =Ra−1 ◦φ entonces (dφ)_a = (dR_a−1)_e◦(dφ)_e◦(dL_a−1)_a que conmuta conJ. As´ıG es un

grupo de Lie complejo.

Seag ´algebra de Lie con estructura casi complejaJ, consideramos su complexificaci´on gC_=g⊗

RC=g⊕ig, luego por (1.2) tenemos

gC_=g1,0_⊕g0,1_, y de la Proposici´on 1.3.15 se obtiene:

Proposici´on 1.6.5. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) J es integrable.

(ii) g1,0 _{es sub´algebra de Lie deg}C_. (iii) g0,1 es sub´algebra de Lie degC_.

De la descomposici´on (1.3) se sigue que (g∗)C_=g

1,0⊕g0,1,

SeaGun grupo de Lie yg su ´algebra de Lie. Si consideramos ag∗ como el espacio de las 1-formas invariantes a izquierda, entonces podemos definir el siguiente operador, d : g∗ → V2

g∗, como la restricci´on de la derivada exterior deG. Por lo tanto queda:

(dη)(X, Y) =−η([X, Y]) para toda η∈g∗, X, Y ∈g,

y luego se extiende d : Vkg∗ → Vk+1

g∗ mediante: d(α∧β) = (dα)∧β+ (−1)k_{α∧(dβ), donde}

α es una k-forma y β es una 1-forma. Notar que la identidad de Jacobi es iquivalente a a que

d2 = 0. Por ´ultimo consideramos la extensi´on C-lineal del operador d a (g∗)C, y denotaremos

g_i,j ={η∈Ai,j_{(G) :η es invariante a izquierda}. El siguiente resultado es inmediato a partir de}

la Proposici´on 1.3.16:

1_{Siφ:M ×N →L es una funci´on diferenciable, entonces la diferencial dφ=dφ}

1+dφ2 dondeφ1(p) =φ(p, q)