En líneas muy generales, tres rasgos caracterizan la matemática del siglo XIX. En primer lugar, al compás del gran desarrollo científico y tecnológico del siglo, preludio de la explosión del siglo actual, la matemática, como las demás ciencias, muestra una fecundidad asombrosa que se revela en el gran incremento del número de científicos y de trabajos, en la creación de sociedades y revistas especializadas, en la celebración de reuniones nacionales e internacionales. La segunda mitad del siglo asiste a la iniciación de las reuniones internacionales en casi todos los campos del saber científico: los matemáticos no fueron de los primeros en reunirse; con todo el primer congreso internacional de los matemáticos pertenece al siglo: Zurich, 1897.
El siguiente dato puede dar idea de la fecundidad científica, en materia de matemática, del siglo XIX: la historia de la matemática más detallada y extensa es aún la de M. Cantor, cuyos cuatro gruesos volúmenes abarcan la historia de esta ciencia desde sus comienzos hasta todo el siglo XVIII; sobre la base de ese tratado se ha calculado que el desarrollo de la matemática del siglo XIX, con igual detalle y extensión, insumiría catorce volúmenes del grosor de los de Cantor, lo que equivale a decir que los progresos realizados durante el siglo XIX triplican con exceso los progresos realizados durante, digamos, los 40 siglos anteriores.
Estos progresos explican e implican el notable cambio que desde el primer tercio del siglo experimenta la matemática en su estructura íntima al conferirle, como segundo rasgo característico, una unidad y una autonomía que en cierto sentido había perdido desde los tiempos helénicos. En efecto, a comienzos del siglo XIX la matemática se presenta como un vasto conjunto de conocimientos distribuido en varias ramas aparentemente distintas: aritmética y teoría de números; geometría elemental, geometría analítica y geometría descriptiva, álgebra y cálculo infinitesimal, circunstancia
que justifica que se siga empleando el término, hoy anticuado, de "matemáticas". Esas diferentes ramas mostraban a su vez distintas modalidades. La aritmética ofrecía un conjunto de reglas supuestas intangibles: en el habla popular la expresión: "el orden de los factores no altera el producto" y otras semejantes, eran los paradigmas de las verdades absolutas. Por su parte la teoría de números que desde el siglo XVII había encontrado excelentes cultores, no consistía sino en problemas particulares, cuya generalización conducía con frecuencia a complicaciones; piénsese en el "teorema de Fermat". En cuanto al álgebra, fuera de algunas cuestiones de índole algorítmica, a comienzos del siglo XIX su problema central, la solución de las ecuaciones algebraicas, se encontraba frente al escollo aparentemente infranqueable de las ecuaciones de quinto grado o superior.
Modalidades distintas presentaban las propiedades geométricas. Aunque algo contaminadas por los procesos y recursos algebraicos, seguían impregnadas de la atmósfera de la geometría griega. Pero esa atmósfera ya no tenía vigencia en el siglo XIX, de ahí que esas propiedades adquirieran un aire de seres anfibios; por un lado se estudiaban a la manera griega "con la inteligencia pura", como entes abstractos habitantes de un mundo platónico de ideas, pero por el otro, a los ojos de los hombres habituados al método experimental, esas figuras geométricas y esas propiedades eran como seres naturales, vinculados con el mundo exterior, no meras imágenes de entes ideales, sino seres reales, visibles y palpables, encadenados a los fenómenos naturales.
Puede llamar la atención esta permanencia, en el campo de la geometría, de la atmósfera griega y el estancamiento durante siglos, de las notas que esa atmósfera implicaba, sobre todo si se compara este hecho con los avances experimentados por las otras ramas de la matemática. Más hay que tener en cuenta, por una parte, que la obra de los geómetras griegos se presentaba con una perfección difícil de superar y, por la otra, que a partir del Renacimiento los gustos y las tendencias de los matemáticos se orientaron casi exclusivamente hacia los métodos analíticos que, mediante las coordenadas o los recursos infinitesimales, ofrecían reglas más cómodas, casi mecánicas, que permitían resolver no sólo los problemas de la geometría tradicional sino otros que
trascendían las posibilidades de los griegos. Si se agrega que el Euclides seguía siendo el texto fundamental en la enseñanza de la matemática elemental, cabe concluir que a comienzos del siglo XIX las propiedades de las figuras geométricas, que enseñaba la geometría griega, y la vinculación de esas figuras con el mundo exterior se habían convertido en un hábito mental.
En cambio seguían rozagantes, a comienzos del siglo XIX los métodos infinitesimales sistematizados por Euler y aplicados con éxito por Lagrange y Laplace en el siglo XVIII.
Sin embargo, desde el punto de vista estrictamente matemático, esos métodos continuaban "en el aire", sin fundamentos sólidos, no obstante los esfuerzos que se habían hecho para sustituir por conceptos más precisos aquellos vagos infinitamente pequeños que eran cero y no eran cero, aquellos incrementos evanescentes que actuaban ya como cantidades finitas, ya como valores nulos. Nuevamente podría llamar la atención que en la ciencia deductiva por antonomasia se aceptara durante casi dos siglos que una rama tan importante como el cálculo infinitesimal descansara sobre bases tan débiles y discutibles. La explicación de esta aparente paradoja ha de verse en la atmósfera científica que predominaba al organizarse los métodos infinitesimales en el siglo XVII. Tales métodos no habían surgido entonces en virtud de exigencias internas, como había ocurrido en la antigüedad cuando Arquímedes aplica esos métodos en forma rigurosa al proseguir el estudio de las cuadraturas y cubaturas de las figuras geométricas, sino que habían nacido apremiados por circunstancias externas: el dinamismo general de la época y, en particular, la conciencia de la utilidad y el poder que confería el conocimiento de las leyes naturales y la comprobación de que los métodos infinitesimales, por endebles que fueran sus fundamentos, facilitaban aquel conocimiento logrando resonantes triunfos, de ahí que ante el éxito de sus aplicaciones se descuidara el análisis de aquellos fundamentos y se cerrara un ojo ante su endeblez.
Ese éxito no sólo dejaba en la penumbra el valor del cálculo infinitesimal por sí mismo, sino que traía a primer plano un lazo más que ataba la matemática con el mundo exterior. El siglo de las luces con su "naturalismo" consolidará esos lazos, que la filosofía
kantiana remachará al relacionar las verdades matemáticas con los conceptos metafísicos de tiempo y de espacio.
De ahí la configuración de este rasgo de la matemática de comienzos del siglo XIX: su sometimiento a las formas del mundo exterior y su carácter de "doncella de la ciencia natural".
Un tercer rasgo que puede señalarse en la matemática del siglo XIX es el cambio que experimentará en sus fundamentos durante la centuria. Acentuada su autonomía, hacia el último cuarto del siglo comienzan a prevalecer conceptos, en parte nacidos durante su transcurso, que prefiguran una nueva matemática que ha de estructurarse en este siglo, pudiendo señalarse la década del 80 como fecha fronteriza, según expresión de Rey Pastor, entre una matemática clásica y una matemática moderna o, más simplemente, entre dos maneras de fundamentar la matemática, típicas del siglo XIX y del siglo XX.