Mentorship

Analicemos ahora el coarsening a muy bajas temperaturas. El incremento de

τ1para temperaturasT <0.2observado en la Fig.8.3indica que el proceso usual

de coarsening est´a afectado por alg ´un tipo de proceso activado. El aumento del tiempo de relajaci ´on al equilibrio est´a asociado al plateau que muestra la funci ´on de relajaci ´on en la Fig.8.16. Notamos que este plateau aparece por debajo de cierta temperatura caracter´ıstica 0.1 < Tg < 0.2 paraq = 9. El plateau corresponde a

un estado metaestable desordenado caracterizado por dominios casi cuadrados con una ancha distribuci ´on de tama ˜nos (ver instant´aneas en la Fig.8.17o inset en Fig.8.18). Este tipo de estado metaestable fue reportado paraq = 7y ha sido identificado como un estado vitroso o v´ıtreo [143–145]. Estos estados s ´olo existen para [136] q > 4. Verificamos que paraq = 9el coarsening usual se ve siempre interrumpido paraT < Tg y el sistema queda atrapado en uno de esos estados

v´ıtreos, del cual relaja a trav´es de una secuencia complicada de saltos activados. Esto implica el crecimiento exponencial deτ1 observado en la Fig.8.3 paraT <

0.2.

Una vez que el sistema relaja desde el estado v´ıtreo puede, o bien equilibrar directamente o bien, decaer primero a un estado bloqueado; como se muestra en el ejemplo de la figura8.17.

En la Fig.8.18mostramos el comportamiento t´ıpico de la funci ´on de relajaci ´on para q = 9 a temperatura fija T < Tg y distintos tama ˜nos de sistema. Vemos

FIGURA8.17: Energ´ıa por spin como funci ´on del tiempo y configuraciones t´ıpicas en una realizaci ´on del ruido estoc´astico cuando el sistema queda atrapado en el estado v´ıtreo y al escapar de ´este vuelve a quedar atrapado, esta vez en un estado de bandas (L= 200,

q= 9yT = 0.09). El inset muestra un zoom del plateau v´ıtreo. Distintos colores codifican diferentes valores de spinsi= 1, . . . ,9

FIGURA8.18: Funci ´on de relajaci ´on paraq= 9,T = 0.1y distintos valores deL. El inset

100 101 102 103 104 105 106 107 108 t (MCS) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 φ_E q=3 q=9 q=20 q=48 0 10 20 30 40 50 q 0 0.1 0.2 0.3 φ* E 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 t-1/2 0 0.1 0.2 0.3 φ_E

FIGURA 8.19: Exceso de energ´ıa normalizado por sitio (φE) vs. tiempo, para q =

3,9,20,48(en orden creciente de energ´ıa). En el inset superior,∆e vs.t−1/2 _{y el ajuste} con la ley de Lifshitz-Allen-Cahn no-homog´enea, ec.8.3. En el inset inferior, los resulta- dos de los ajustesφ∗

E(q)(circulos), y la funci ´onb(q−4)1/2conb= 0.034, consistente con

el resultado de [145] para temperatura cero (linea).

que el tiempo de relajaci ´on (τ1) no depende del tama ˜no para L > 200, lo que

muestra que el tiempo de vida de los estados v´ıtreos permanece finito en el l´ımite termodin´amico.

Ley de relajaci ´on para el estado v´ıtreo

Como hemos mencionado, a temperatura cero el sistema converge asint ´oti- camente a una fase desordenada, estacionaria, considerada una fase v´ıtrea pues tiene un exceso de energ´ıa∆e∗_{(q) respecto a la energ´ıa del estado fundamental}

para todoq >4.

Los autores que analizaron esta fase originalmente [136,143,144], propusieron que la din´amica de ordenamiento del sistema a T = 0despu´es de un peque ˜no per´ıodo inicial, se pod´ıa describir a partir de una ley de potencias para el exceso de energ´ıa del tipo

∆e(t, q) = ∆e∗(q) +a(q)t−1/2. (8.2) Este exceso de energ´ıa, a temperaturas bajas, no es m´as que nuestra funci ´on de re- lajaci ´onφE(t, q)a menos de una constante multiplicativa, por lo tanto escribamos

equivalentemente, para lo que sigue, la ley (8.2) como

φE(t, q) =φ∗E(q) +c(q)t−1/2. (8.3)

Como sabemos, el exceso de energ´ıa a bajas temperaturas es proporcional al per´ımetro de las interfases,φE ∼ ℓ−1. Luego el resultado de arriba implica que

los dominios no crecen indefinidamente, sino que el tama ˜no caracter´ısticoℓcon- verge a un valor l´ımiteℓ∗(q). De esta manera, la ley LAC deja de respetarse luego de un coarsening inicial en donde s´ı valeφE(t, q)∼t−1/2.

En lo que respecta al orden en presencia de fluctuaciones t´ermicas, si bien a temperaturas bajas, se observ ´o [136] paraq = 7que aT = 0.1el sistema ordena de tal forma que la ley no-homog´enea de Allen-Cahn (8.2) (v´alida a temperatura cero) se respeta con las mismas funcionese∗_{(q)ya(q)pero s ´olo hasta un tiempo}

τe(T, q). Este es el “tiempo de escape” del estado v´ıtreo, luego del cual, como

observamos en la figura8.16, se recupera la ley de crecimiento LAC, el tama ˜no medio de dominio converge r´apidamente al tama ˜no del sistema y el exceso de energ´ıa a cero [136].

La figura8.19muestra esta fenomenolog´ıa para varios valores deq. Reporta- mos el exceso de energ´ıa normalizado por spin en funci ´on del tiempo despu´es de un quench aT = 0.1para valores deq = 3,9,20,48, siendo la temperatura de transici ´on dada por la Ec.(3.15) (e.g.,0.482...paraq= 48y0.994...paraq = 3).

Mostramos en la figura promedios sobre 100 muestras para un sistema de tama ˜no lineal L = 200. Vemos que el casoq = 3exhibe una ley de potencias y

φ∗_E(q = 3) = 0. El rango en el cual la transici ´on es de primer orden (q >4), coin- cide con el rango en el cual el valor de saturaci ´onφ∗

E(q)es distinto de cero. Para q >4,φ∗_E(q) >0y el tiempo transirorio a partir del cual vale la ley de relajaci ´on tipo ley de potencias, digamosτi(q), crece conq. Se observ ´o [136] que es del orden

de10MCS paraq= 7, pero resulta ser aproximadamente103_{MCSparaq = 48.}

Remarcamos brevemente algunas caracter´ısticas en los datos de la Fig.8.19. Suponiendo que la ley no-homog´enea de Allen-Cahn (8.3) es v´alida en el inter- valoτi(q)< t < τe(q)(y arbitrariamente definimos el intervalo como aqu´el en el

cual la ley de potencias puede ser identificada), tenemos cuatro par´ametros ca- racterizando la din´amica de ordenamiento del exceso de energ´ıa:τe(q, T), τi(q), c(q) yφ∗_E(q). Del an´alisis de la figura 8.19podemos notar algunos aspectos de estos par´ametros:

1) Primeramente, el hecho de que φ∗_E(q) crece con q, tal como fue notado en [143,144], donde adem´as se encontr ´o num´ericamente el comportamien- to equivalente aφ∗

de hecho el mismo comportamiento con un prefactorb= 0.034, consistente con el valor reportado en [145].

2) τe(T, q)crece conq. Mientras mayor es el n ´umero de estados posibles para

el spin, m´as diversificado es el estado v´ıtreo y menos probable es encontrar dominios de un mismo color que crezcan por activaci ´on t´ermica y colapsen para formar un dominios del orden del tama ˜no del sistema.

3) τi(q), el l´ımite para el r´egimen transitorio, crece conq.

4) Para valores de q grandes se observa que la relajaci ´on es muy lenta para

t < τe(q, T). En particular para el caso deq= 48,c(q)es tan peque ˜no que la

energ´ıa es pr´acticamente constante en el rangoτi(q) < t < τe(q). Esto hace

pensar que la validez de una ley de potencias como8.3perder´ıa sustento en el l´ımite deqgrande, aunque un ajuste siempre es posible con un prefactor suficientemente peque ˜no.

Si bien estos resultados en principio concuerdan con lo propuesto original- mente por [136,143,144] en ciertos rangos temporales, dejan en evidencia que no alcanza con la expresi ´on (8.2) para describir correctamente la relajaci ´on a tempe- raturas bajas. En [155] M. de Oliveira4 estudi ´o el caso deq = 7determinando

Tg(q = 7)≈0.35y propone una nueva funci ´on de ajuste de la forma ∆e(t) = √b

λcot

+√ b

λact+ 1

(8.4) para la relajaci ´on aT < Tg. En dondeλco yλac (porcoarsening yactivation) son

par´ametros que dependen de T y bes una constante; todos los par´ametros de- penden en principio deq. En el l´ımite de temperaturas bajas pero finitas el me- canismo de activaci ´on se manifiesta brindando la formaλac =e1/kT/T. Con una

expresi ´on como (8.4) es posible ajustar las curvas de las figuras8.16y8.19con un resultado aceptable.