En los juegos en forma normal, se considera que los jugadores eligen sus es- trategias simultáneamente o, lo que equivale a lo mismo, que cada jugador elige su estrategia sin saber cuál elige su rival. Esto es una limitación impor- tante, pues en muchas situaciones reales se observa una secuencia de juga- das, de tal manera que los jugadores van tomando decisiones conforme avanza el juego. La representación de un juego en forma extensiva permite modelizar tanto la secuencia de jugadas como la información de la que dis- ponen los jugadores en cada jugada. Supone un avance fundamental con res- pecto a los juegos en forma normal, haciendo que la teoría de juegos se vuel- va más realista y más atenta a los detalles de cada situación estratégica.
En un juego en forma extensiva la idea de estrategia es algo más rica que en un juego en forma normal. En un juego en forma normal una estrategia es un plan completo de acción que se establece de una vez por todas. No puede ser de otra manera dado que no se observa la estrategia del contrario. En cambio, en un juego en forma extensiva una estrategia es un plan de ac- ción contingente, que especifica qué hará el jugador ante cada movimiento posible del rival.
Los juegos en forma extensiva más simples se pueden representar me- diante un árbol de decisión. El árbol se compone de nodos y ramas. De cada nodo pueden salir varias ramas que se dirigen a otros nodos. Los árboles de decisión facilitan la comprensión del juego. Pero es importante subrayar desde el principio que la representación arbórea del juego no siempre es po- sible en los juegos en forma extensiva. Por ejemplo, si las estrategias del jugador no son discretas, sino continuas, el árbol no puede dar cuenta de la estructura del juego. Supóngase que se está analizando un juego de negocia- ción en el que un jugador ha de hacer una oferta entre 0 y 1 euro. El conjunto total de ofertas no se puede representar discretamente mediante ramas. En realidad, lo esencial de un juego en forma extensiva no es el árbol, sino la especificación de: a) la secuencia de jugadas u orden de movimientos, b) las estrategias posibles de los jugadores, c) la información que tienen los juga-
dores en cada movimiento, y d) los pagos que reciben los jugadores para cada combinación posible de estrategias. La especificación de estos cuatro elementos se puede hacer con un árbol o sin él.
Un árbol es un conjunto de nodos conectados mediante ramas que repre- sentan una relación de precedencia temporal. Si un nodo está debajo de otro (o a la derecha de otro, si el árbol se dibuja apaisado, de izquierda a dere- cha), eso significa que el que está debajo interviene después del que está arri- ba. La regla fundamental de construcción del árbol es que cada nodo sólo
puede tener un predecesor o, con otras palabras, de dos nodos no pueden salir
ramas que acaben en el mismo nodo. Además, hay que tener en cuenta la existencia de nodos terminales, nodos de los que no sale ninguna rama por- que señalan el final del juego. Es en los nodos terminales donde se incluyen los pagos de los jugadores.
En el cuadro 3.1 puede verse un primer ejemplo de árbol de decisión. Se trata de un árbol muy sencillo, con tres jugadas o movimientos y cuatro no- dos terminales. Junto a cada nodo no terminal, se indica qué jugador ha de actuar: J1 interviene en la primera y en la tercera jugada, J2 mueve en la se- gunda. De cada nodo no terminal salen dos ramas, lo que significa que en este ejemplo cada jugador tiene dos cursos de acción posibles en cada juga- da. En los nodos terminales se han incluido unos pagos arbitrarios, siendo el primer número el pago de J1 y el segundo número el pago de J2.
Con respecto a la información de la que disponen los jugadores, en cada fase del juego en que interviene un jugador se especifica su conjunto de infor-
mación (information set). El conjunto de información puede cubrir uno o va-
rios nodos. (Técnicamente, se dice que el conjunto de información hace una “partición” de los nodos.) Si un conjunto de información tiene un único
CUADRO 3.1
EJEMPLO DE UN JUEGO EN FORMA EXTENSIVA
J1 J2 J1 (1, 4) (4, 1) (2, 2) (0, –1)
nodo, se le llama singleton en inglés. En la medida en que un nodo contiene una descripción completa de todo lo que ha sucedido hasta el momento, si el conjunto de información es un singleton, entonces el jugador, en ese nodo, conoce toda la historia anterior del juego. Sin embargo, si el conjunto de in- formación cubre varios nodos, es que el jugador no sabe a ciencia cierta en qué parte del árbol se encuentra o, lo que es igual, no sabe qué jugada ha realizado su rival en el movimiento anterior. Cuando el conjunto de informa- ción cubre más de un nodo, lo representamos gráficamente mediante una línea discontinua que une los nodos que componen el conjunto de informa- ción.
En el cuadro 3.2 tenemos dos ejemplos. En el árbol de la izquierda, co- mienza jugando J1, que tiene tres acciones posibles, I, C o D. A continuación interviene J2. Pero nótese que los nodos de J2 están conectados por una línea discontinua (el conjunto de información cubre los tres nodos). Esto significa que, cuando le toca jugar a J2, éste no sabe qué es lo que ha hecho J1, si ha jugado I, C o D. En el árbol de la derecha tenemos un juego pareci- do, sólo que ahora J2 tiene dos conjuntos de información. El primero cubre los nodos correspondientes a las acciones I y C, el segundo es un singleton formado por el nodo correspondiente a la acción anterior D. Ahora J2, cuan- do juega, sabe si J1 ha jugado D o si no ha jugado D. Pero si J1 no ha jugado
D, J2 no es capaz de distinguir si J1 ha jugado I o C.
Mediante la representación de los conjuntos de información de los juga- dores, podemos especificar qué sabe cada jugador en cada fase del juego. Cuando el conjunto de información cubre más de un nodo, es necesario además especificar cuáles son las creencias del jugador. Por ejemplo, en el fragmento de árbol en la parte izquierda del cuadro 3.2, el jugador tiene creencias sobre si se encuentra en el nodo izquierdo, central o derecho. Esas creencias se representan formalmente mediante una distribución de probabilidad. Por ejemplo, las creencias de estar en los nodos izquierdo,
TEORÍA DE JUEGOS 63
CUADRO 3.2
ÁRBOLES CON INFORMACIÓN IMPERFECTA
J1 J1 I C D J2 J2 J2 J2 J2 J2 I C D
central y derecho podrían ser: 1/5, 1/5 y 3/5 respectivamente. Recuérdese que en una distribución de probabilidad las probabilidades han de sumar uno.
Las creencias sólo intervienen si no todos los conjuntos de información son singletons. Podemos establecer la siguiente distinción: se dice que un juego en el que todos sus conjuntos de información son singletons es un jue- go de información perfecta. En cambio, un juego en el que hay conjuntos de información que cubren más de un nodo es un juego de información imper-
fecta. Como luego se explica, todo juego en forma normal es un juego de in-
formación imperfecta. En cambio, los juegos en forma extensiva pueden ser de información perfecta o imperfecta.
Por último, los juegos en forma extensiva son más flexibles que los juegos en forma normal gracias a la posibilidad de incluir sucesos exógenos en el juego, es decir, sucesos que pueden alterar los pagos de los jugadores pero que no tienen que ver con las acciones o elecciones que realizan los propios jugadores. Esos sucesos exógenos pueden ocurrir en cualquier momento del juego y se atribuyen a un jugador ficticio que suele recibir el nombre de “Na- turaleza” o “Azar”. Por ejemplo, supongamos un juego entre un Gobierno y los electores. El Gobierno lleva a cabo una política económica y los electo- res, observando los resultados económicos, han de decidir si volver a votar al Gobierno o votar a la oposición. El problema está en que esos resultados no dependen sólo de lo que haga el Gobierno, sino también de las condiciones objetivas en las que se encuentra el país, que por simplificar diremos que pueden ser buenas o malas (ciclo económico internacional, herencia recibi- da del anterior Gobierno, etc.). Por muy bien que lo haga el Gobierno, los re- sultados pueden ser pobres si las condiciones objetivas son malas, y al revés. Para incluir en el juego el suceso exógeno de que las condiciones son buenas o malas, podríamos considerar que la primera jugada corresponde al juga- dor “Naturaleza”, que puede decidir si las condiciones son buenas o malas. Cada tipo de condiciones corresponde a una rama distinta que sale del nodo inicial de “Naturaleza”. Este artificio se utiliza recurrentemente en el capítu- lo 5, donde se tratan los juegos de señal.