Methods

Alta anisotrop´ıa

Las principales dificultades para el tratamiento del modelo expuesto, tanto en su versi´on general como en el l´ımite de altas anisotrop´ıas, est´an dadas por el t´ermino de largo alcance de la interacci´on

2.2. Resultados te´oricos previos 33

2η

2δ

Figura 2.8: Diagrama de fases a temperatura cero del modelo de Heisenberg dipolar extra´ıdo de la Ref. [62].

dipolar y la frustraci´on que produce la competencia entre las interacciones. Por lo tanto, cualquier aproximaci´on, tal como el campo medio, arroja un n´umero infinito de ecuaciones acopladas. ´Estas s´olo se pueden resolver en caso muy puntuales. Czech y Villain derivan una expresi´on exacta de la temperatura cr´ıtica entre la fase desordenada y una fase modulada [48] para la Ec. (2.6). Tambi´en encuentran que el ancho de fajas sobre la temperatura cr´ıtica es finito y est´a dado porh(δ)_≈ δ. Comparando estos resultados con el comportamiento exponencial esperado a temperatura cero nos estar´ıan indicando una fuerte dependencia del ancho de fajas con la temperatura.

Para temperaturas inferiores a la temperatura cr´ıtica, es necesario introducir un ansatz para lograr resolver las ecuaciones o aplicar alg´un m´etodo num´erico. Mediante una aproximaci´on reali- zada sobre las ecuaciones de campo medio del modelo deIsing dipolar, Portmannet al. encuentran que h se aproxima al valor de δ sobre la temperatura cr´ıtica Tc de la forma h(T) ≈ (T −Tc)2

[21, 47].

Restringiendo las soluciones de campo medio a aquellas que presentan fajas, Vindigni et al.

obtienen el comportamiento del ancho de fajas para todo el rango de temperaturas [65]. Ellos encuentran que el comportamiento a temperaturas cercanas a la temperatura de transici´on sigue una ley de potencias con exponente 1,9. A temperaturas menores el comportamiento es distinto, encontr´andose una dependencia deh m´as pronunciada. Estos resultados se pueden ver en la Fig. 2.9. Notar la semejanza entre esta funci´on y la obtenida en los trabajos experimentales (ver Fig. 2.4).

Un detallado an´alisis de campo medio es realizado por Groussonet al. para un modelo deIsing

con interacciones coulombianas [66]. Este modelo guarda muchas similitudes con el modelo dipolar en el sentido de que posee interacciones de largo alcance que frustran el sistema y le impiden la formaci´on de un estado ferromagn´etico. Ellos calculan el diagrama de fases a temperatura finita y observan la formaci´on de fajas a bajas temperaturas. Cerca de la transici´on a un estado desordenado, encuentran proliferaci´on de fajas h´ıbridas, resultado de la combinaci´on de varios anchos de faja.

34 Cap´ıtulo 2. Formaci´on de patrones en pel´ıculas ferromagn´eticas ultradelgadas

h(T)

T /T

Figura 2.9: Ancho de fajas en funci´on de la temperatura calculado mediante campo medio, extra´ıdo de la Ref. [65]. La curva no es suave debido a que el ancho de fajas est´a calculado sobre una red discreta.

[49, 58]. Sobre la versi´on continua del Hamiltoniano (2.5) (ver referencias), ellos encuentran que los dominios de fajas pueden ser descriptos como un cristal l´ıquido. El orden de fajas correspon- de a una fase esm´ectica caracterizada por poseer orden orientacional de largo alcance sin orden posicional, que es destruido por dos tipo de fluctuaciones: curvatura de pared (“meandering”) y dislocaciones. Este estado se caracteriza por poseer correlaciones espaciales que decaen algebrai- camente y se distinguen con la sigla QLRO (quasi long range order). Sobre la misma idea, Abanov

et al. encuentran que el proceso de desorden puede presentar dos escenarios posibles que describi- remos a continuaci´on [52]. En el primero, una fase esm´ectica aparece a bajas temperaturas. Esta fase soporta los dos tipos de fluctuaciones mencionadas. A mayor temperatura, la proliferaci´on de dislocaciones destruyen el QLRO por medio de una transici´on de Kosterlitz-Thouless a una fase nem´atica. ´Esta est´a caracterizada por un decaimiento exponencial de la correlaci´on espacial. A temperaturas a´un mayores, aparecen dominios de fajas perpendiculares entre si, esta es la fase tetragonal. En el segundo escenario, el sistema no puede mantener la fase nem´atica y pasa de la fase esm´ectica a la tetragonal por medio de una transici´on de primer orden.

Muchas de las propiedades a temperatura finita de estos sistemas han sido obtenidas mediante soluciones num´ericas de Monte Carlo en redes finitas aplicadas tanto al l´ımiteIsing [53, 60, 67–70], como al modelo de Heisenberg [62, 64, 71]. Estas se realizan sobre redes cuadradas de N =L_×L

sitios usando el algoritmo de Metr´opolis o de ba˜no t´ermico. Las simulaciones de Monte Carlo han sido usadas intensamente para estudiar propiedades a temperatura finita en modelos de espines. Sin embargo, las simulaciones de sistemas con interacciones dipolares poseen ciertas sutilezas que deben ser tenidas en cuenta. Ahondaremos m´as en este tema en el Cap. 4

El primer diagrama de fases a temperatura finita en el espacio (δ, T) fue calculado usando simulaciones de Monte Carlo para un sistema peque˜no (L = 16) [60]. Mejoras al mismo fueron obtenidas por Gleiseret al. [67, 72], el cual exponemos en la Fig. 2.10. Las simulaciones muestran que tanto la fase antiferromagn´etica como las fases de fajas son estables por debajo de cierta temperatura cr´ıticaTc(δ), por encima de la cual el sistema se desordena. Estas fases est´an separadas

2.2. Resultados te´oricos previos 35

Figura 2.10: Diagrama de fases del modelo de Ising para valores deδpeque˜nos extra´ıdo de la Ref. [72]. A bajas temperaturas se observan las fases antiferromagn´etica (AF), fajas de anchoh= 1 (h1) y fajas de ancho h= 2 (h2). Con tri´angulos est´a marcada la l´ınea de transici´on orden-desorden. Con rombos, las l´ıneas de transici´on AF-h1 y h1-h2. La curva con puntos circulares representa la regi´on donde la fase h1 es metaestable y la curva de puntos cuadrados, la regi´on en donde h2 es metaestable. La zona sombreada conδ < δ1,2 es la regi´on en donde la fase h2 es metaestable. En

la misma zona, paraδ > δ1,2, la fase h1 es metaestable. Las transiciones entre fases ordenadas son

de primer orden.

por l´ıneas de primer orden. En torno a la transici´on h1-h2 se observa coexistencia de ambas fases. Un hecho a remarcar es que las transiciones entre fajas de distinto ancho no dependen de la temperatura.

Por encima de la temperatura de desorden, el sistema presenta un estado desordenado distinto a un estado paramagn´etico. ´Este consiste de dominios ferromagn´eticos caracterizados por esquinas de 90 grados [53]. Esta es la fase tetragonal que fuera descripta por Abanovet al. [52] y se puede apreciar mediante c´alculos num´ericos del factor estructura [73]. Esta fase ha sido observada en experimentos recientes [42, 46]. En la Sec. 2.1 presentamos la imagen de una l´amina de Fe/Cu en donde se observa esta fase.

La forma en que este sistema se desordena presenta una gran complejidad y algunos resultados son a´un controversiales. Boothet al. proponen que la transici´on entre las fases de fajas y tetragonal corresponden a una transici´on orden-desorden [53]. Por otra parte, Cannas et al. encuentran evidencia num´erica del segundo escenario descripto por Abanov et al. , seg´un el cual el sistema experimenta una transici´on de primer orden entre la fase esm´ectica y tetragonal paraδ= 2. Esta transici´on es de primer orden d´ebil, inducida por fluctuaciones.

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