Microstructural analysis

Lección 5 Método de Newton-Raphson

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación

x

i _{a la raíz}

x

r _de f(x)_,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto

(x

i

,f(x

i

))

_{; ésta cruza al eje x}

en un punto

x

i+1 _{que será nuestra siguiente aproximación a la raíz}

x

r_.

Para calcular el punto

x

i+1_{, calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos}

que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Y despejamos x :

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación: ,

si

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que

f′(x

i

)=

0

_{, el método no se puede}

aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje

x

en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso

x

i _{mismo es una raíz de}

f(x)

_!

Ejemplo

Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de

f

x

e

x

x

_ln

)

(

=

−

−

, comenzando con

x

0

=1

_{y hasta que}

∈

a

<1%

_.

SOLUCION

De aquí tenemos que:

Comenzamos con

x

0

=1

_{y obtenemos:}

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox. 1

1.268941421 21.19% 1.309108403 3.06% 1.309799389 0.052% De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:

Ejemplo

Usar el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de

1

arctan

)

(x

=

x+

x

−

f

_{, comenzando con}

x

₀

=

0

_{y hasta que} ∈a <1%_.

SOLUCION

La cual sustituímos en la fórmula de Newton-Raphson para obtener:

Comenzamos sustituyendo x0 = 0 _{para obtener:}

En este caso tenemos un error aproximado de

%

100

%

100

5

.

0

0

5

.

0

=

×

−

=

∈

a

Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox. 0

0.5 100%

0.5201957728 3.88% 0.5202689918 0.01% De lo cual concluímos que la aproximación obtenida es:

Ejemplo

Usar el método de Newton-Raphson para aproximar raíces cuadradas de números reales positivos.

SOLUCION

Sea R>0. Queremos calcular x tal que

x=

R

; elevando al cuadrado

x

2

=

R

, o bien:

0

2

₋

_R

₌

x

Esto nos sugiere definir la función f(x)= x2−R de donde

f′(x)

=

2x

. Al sustituir estos datos en la fórmula de Newton-Raphson nos da:

i i i i

x

R

x

x

x

2

2 1

−

−

=

+

La cual simplificada nos da:













+

=

+ i i i

x

R

x

x

2

1

1

Esta fórmula era conocida por los antiguos griegos (Herón).

Para fijar un ejemplo de su uso, pongamos

R=

2 6

y apliquemos la fórmula obtenida, comenzando con

x

0

=

5

_{. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:}

Aprox. a la raíz Error aprox. 5

5.1 1.96%

5.099019608 0.019% 5.099019514 0.0000018%

De lo cual concluímos que 26 ≈5.099019514 , la cual es correcta en todos sus dígitos!

La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen raíces

n

- ésimas de números reales positivos.

a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisión la rapidez ó lentitud del método en estudio.

El método de Newton-Raphson o simplemente el método de Newton, es uno de los métodos numéricos para resolver un problema de búsqueda de raíces f(x)=0 más poderosos y conocidos.

Figura. Aproximaciones con tangentes sucesivas.

Esta figura muestra como se obtienen las aproximaciones usando tangentes sucesivas. Comenzando con la aproximación inicial xo, la aproximación x1 es la

intersección con el eje x de la línea tangente a la gráfica de f en (xo, f(xo)). La

aproximación x2 es la intersección con el eje de las x de la línea tangente a la

gráfica de f en (x1, f(x1)) y así sucesivamente.

m=tanθ =f´(x) pendiente de la recta que pasa por (xi, f (xi)).

m=tanθ = Cateto opuesto / Cateto adyacente =

Lo que en realidad se desea saber es cuanto vale xi+1 para tomarlo en cuenta para

la siguiente iteración, y así seguiría sucesivamente, hasta obtener la raíz.

Ejemplo:

Encontrar la raíz de f(x)=x5_+x2_{=9 con un valor inicial de x}

o=1.5 y Ɛs = 0.001. SOLUCION: f(x)= x5_+x2_{-9 f´(x)= 5*x}4_+2*x f(xo=1.5)= (1.5)5+(1.5)2 - 9 = 0.84375 f´(xo=1.5)=5* (1.5)4+2*(1.5)= 28.3125 x1 = xo - f(xo) / f´(xo)= 1.5 - (0.84375 / 28.3125) = 1.4701986755

ERA (x1, xo)= (que no es menor a Ɛs)

f(x1 =1.4701)= (1.4701)5+(1.4701)2 - 9 = 0.03027251527

f´( x1 =1.4701)=5*(1.4701)4+2*(1.4701)= 26.300465906

x2 = x1 - f(x1) / f´(x1)= 1.4701 - (0.03027 / 26.3004) = 1.4690476496

ERA (x2, x1)= (que no es menor a Ɛs )

f(x2 =1.469)= (1.469)5+(1.469)2 - 9 = 0.0004339341

f´( x2 =1.469)=5*(1.469)4+2*(1.469)= 26.2250948663

ERA (x3, x2)= (que sí es menor a Ɛs )

Raíz x

 3=1.46903110316

Fallas del método de Newton-Raphson

1.- El método es atrapado por una raíz imaginaria f(x).

Figura. Falla 1 de Newton-Raphson

2.- Cuando la raíz es un punto de inflexión.

Figura. Falla 2 de Newton-Raphson

Figura. Falla 3 de Newton-Raphson Ejemplo

Encontrar la raíz de f(x)=ex_{-3*x=0 que se encuentra en [0,1] usando x}

o=0 y el

método de Newton con una _Ɛs =0.001.

SOLUCION:

f(x)= ex_-3*x

recordemos que f´(x)= ex_-3

sustituyendo para x1 con xo=0

ERA (x1=0.5, xo=0)= (es mayor a ) 

ERA (x2=0.6101, x1=0.5)= (es mayor a  

ERA (x3=0.618997350866, x2=0.6101)= (es mayor a

Ɛs ) x4= x3 - (ex3-3* x3 / ex3-3 = 0.6189 - (e0.6189-3* (0.6189) / e0.6189-3)= 0.619028039928 ERA (x3=0.6190280399928, x2=0.6189) < Ɛs =0.001 Raíz=x  4=0.619023039928 EJEMPLO:

La siguiente fórmula se aplica a un vertedor con contracciones: Q=3.33*(B-0.2*H)*(H3₎1/2

H - Carga sobre la cuesta del vertedor en pies. Si B=3 ; Q=12 entonces cual es el valor de H=¿?.

Calcular por el método de Newton-Raphson con Ɛs =0.001 y Ho=B/2 SOLUCION: 12=3.33*(3-0.2*H)*( H3₎1/2 f(H)=12 - 3.33*(3-0.2*H)*( H3₎1/2 _{= 0} f´(H)= - 3.33*(3-0.2*H)*(1/2)*( H3₎-1/2 _(3*H2_{)+ ( H}3₎1/2_{*(-3.33)*(-0.2)} f´(H)=-3.33*(3)*(1/2)*(H)-3/2_(3*H2_{)*(-3.33)*(-0.2H)*(1/2)*(H)}- 3/2_(3*H2_{)+(3.33)*(0.2)*(H}3/2₎ f´(H)=-14.985*H1/2_+0.99*H*H-3/2_*H2_+0.666*H3/2 f´(H)=-14.985*H1/2_+1.665*H3/2 f(H)=12-3.33*(3-0.2H)*(H3₎1/2 f´(H)=-14.985*H1/2_+1.665*H3/2

Hi+1 = Iniciar con Ho=B/2, Ho=3/2, Ho=1.5

i Hi f(Hi) F´(Hi) Hi+1 ERA 0 1.5 -4.51 -15.32 1.20517 - 1 1.20517 -0.16 -14.26 1.19362 9.5837x10-3 2 1.19362 - 0.000278 -14.20 1.19360 0.000016756 la raíz es H  2=1.19360.

Lección 6Lección 6 Iteración o método iterativo de punto fijo

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