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ESTE CONCEPTO, creado por los griegos, es un enunciado matemático acompañado de su

demostración. La demostración de un teorema es una justificación rigurosa de la verdad del enunciado, de tal manera que nadie que se ciña a las leyes de la lógica y que acepte un conjunto de axiomas propuestos como la base del sistema lógico pueda ponerla en duda. Los axiomas de Euclides incluyen la definición de punto, línea y la afirmación de que dos paralelas nunca se cortan. Siguiendo los axiomas y los desarrollos lógicos tales como que, si

A implica B y B implica C, entonces A implica C, los antiguos griegos demostraron muchos

bellos teoremas acerca de la geometría de los triángulos, círculos, cuadrados, octágonos, hexágonos y pentágonos.

XVI. “¡EUREKA, EUREKA!”

LOS GRANDES MATEMÁTICOS griegos Eudoxo (siglo V a.C.) y Arquímedes (siglo III a. C.)

aplicaron estos conocimientos sobre las figuras geométricas al cálculo de áreas por medio de cantidades infinitesimales (es decir, infinitamente pequeñas). Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.) fue amigo y discípulo de Platón. Puesto que era demasiado pobre para residir en la Academia de Atenas, vivía en la población portuaria de El Pireo, desde donde se desplazaba a diario a la Academia de Platón. Aunque éste no era matemático, fomentaba esta disciplina entre sus discípulos más dotados, como Eudoxo. Éste viajó a Egipto y ahí, al igual que en Grecia, aprendió mucho sobre geometría. Inventó el “método por aproximaciones”, que empleaba para calcular las áreas de figuras geométricas mediante cantidades infinitesimales. Por ejemplo, Eudoxo obtenía de manera aproximada el área de un círculo al sumar las de muchos rectángulos pequeños (cuyas áreas son fáciles de calcular multiplicando la base por la altura). En esencia, este “método por aproximaciones” es el que se utiliza hoy en día en cálculo integral, y los argumentos contemporáneos de límite no difieren mucho de él.

Pero sin duda el matemático más brillante de la antigüedad fue Arquímedes (287-212 a.C.), quien vivió en la ciudad de Siracusa de la isla de Sicilia. Era hijo del astrónomo Feidias, y tenía parentesco con Hierón II, rey de Siracusa. Al igual que Eudoxo, Arquímedes concibió métodos para hallar superficies y volúmenes que fueron precursores del cálculo, campo que conoció bien tanto en su vertiente integral como diferencial. Pero aunque lo que más le interesaba eran las matemáticas puras (números, geometría, áreas de figuras geométricas, etc.), es también famoso por sus logros en la aplicación de esta ciencia. Bien conocida es la anécdota sobre el descubrimiento de lo que hoy llamamos Principio de Arquímedes o primera ley de la hidrostática, según la cual un cuerpo sumergido pierde un peso igual al del líquido que desplaza. En aquel entonces había en Siracusa un orfebre deshonesto, y el rey Hierón pidió a su amigo matemático que hallase una forma de demostrar las tropelías del artesano. Arquímedes comenzó por estudiar la pérdida de peso de objetos sumergidos y usó su propio cuerpo para los experimentos. Se dio un baño y realizó algunas mediciones. Cuando descubrió la ley, salió de un brinco de la tina y corrió desnudo por las calles de Siracusa gritando: “¡Eureka, eureka!” (¡Lo he encontrado, lo he encontrado!)

También se le atribuye el descubrimiento del tornillo de Arquímedes, mecanismo que permitía sacar agua de un pozo haciendo girar una manivela, y que todavía utilizan agricultores de diversas partes del mundo.

Cuando el general romano Marcelo atacó Siracusa en 214-212 a.C., Hierón solicitó de nuevo la ayuda de su ilustre pariente. Mientras la flota romana se aproximaba, Arquímedes ideó enormes catapultas basadas en su estudio de las palancas, gracias a las cuales los habitantes de Siracusa se defendieron bien. Pero Marcelo reunió sus tropas y poco después atacó por la retaguardia y consiguió tomar la ciudad por sorpresa. En esta ocasión Arquímedes ni siquiera se percató del ataque, y se encontraba sentado en el suelo dibujando figuras geométricas en la arena cuando un soldado romano se acercó y las pisó. Arquímedes se levantó de un salto y gritó: “¡No toques mis círculos!” Por toda respuesta, el soldado desenvainó la espada y mató al matemático de setenta y cinco años.

Al parecer, Arquímedes había dispuesto en su testamento que su lápida debía llevar grabada la figura geométrica que más admiraba: una esfera inscrita en un cilindro. La tumba descuidada fue cubierta por el polvo y acabó por desaparecer, pero Cicerón, el orador romano, la halló muchos años después y la restauró. Con el tiempo la tierra cubrió de nuevo el

sepulcro y, en 1963, los trabajadores que excavaban el terreno para construir un hotel nuevo en Siracusa volvieron a descubrirlo.

El teorema preferido de Arquímedes tenía que ver con la esfera en el interior del cilindro, y lo dejó escrito en un libro llamado El método, que, al igual que la mayor parte de textos antiguos, se dio por perdido. En 1906 el erudito danés J. L. Heiberg oyó decir que en Constantinopla existía un pergamino con unos borrosos apuntes sobre matemáticas. Se desplazó hasta allí y encontró el documento, compuesto por ciento ochenta y cinco páginas de pergamino. Los análisis científicos demostraron que se trataba de una copia del siglo X del