Desarrollamos actividades individuales para ilustrar operaciones entre vectores. Tambi´en hacen uso de RA para mostrar las escenas, como se ve en la Figura 21, donde se exhiben varios vectores y un plano. A continuaci´on describiremos estas actividades.
La Figura 22 muestra la multiplicaci´on de un vector por un escalar. El vector rojo puede rotarse con la interfaz t´actil y ser multiplicado por una constante dada por un control deslizante. Tambi´en se
Tabla 8: An´alisis de la pregunta 2.
Pregunta Representaci´on- Significaci´on Composici´on- Descomposici´on Particularizaci´on- Generalizaci´on Materializaci´on- Idealizaci´on 2a. La temperatura
de una placa met´ali- ca se describe como T(x, y) = 500−x2− 2y2. Graficar la su- perficie. Representaci´on alge- braica deT(x, y). De- finici´on de funci´on de dos variables. Repre- sentaci´on gr´afica de una funci´on de dos variables.
Se chequean los sig- nos en una tabla pa- ra identificar el po- sicionamiento de la superficie cuadr´atica. Se determina la posi- ci´on y orientaci´on de la superficie cuadr´ati- ca.
Superficies no cuadr´aticas. Fun- ciones de 3 variables. Material: Gr´afica. Ideal: Temperatura. 2b. Hallar la traza y= 3. Graficarla. Ha- llar Tx(2,3) e inter- pretar el resultado. Concepto de traza. Representaci´on alge- braica de una funci´on
z(x, y). Definici´on de funci´on de dos varia- bles. Representaci´on gr´afica de una funci´on de dos variables. Cla- sificaci´on de las c´oni- cas. Concepto de deri- vada parcial. Evalua- ci´on num´erica de una derivada.
El valor del plano constante y se susti- tuye enz(x, y). La ex- presi´on resultante se manipula algebraica- mente para relacio- narlo con una c´onica. Se dibuja la funci´on en el plano de la tra- za. La derivadaTxse
halla simb´olicamente y se eval´ua Tx(2,3).
El resultado se inter- preta como la tasa de cambio de temperatu- ra en la direcci´onxen el punto dado. Encontrar superficies de nivel. Funciones de tres o m´as varia- bles. Derivadas par- ciales de funciones de tres o m´as variables.
Material: Gr´afica. Ideal: Traza. Ideal: Derivada parcial. 2c. Graficar la traza enx = 2. Encontrar Ty(2,3) e identificar el resultado. Concepto de traza. Representaci´on alge- braica de una funci´on
z(x, y). Definici´on de una funci´on de dos variables. Represen- taci´on gr´afica de una funci´on de dos va- riables. Clasificaci´on de c´onicas. Concepto de derivada parcial. Evaluaci´on num´erica de una derivada.
El valor del plano constante x se susti- tuye enz(x, y). La ex- presi´on resultante se manipula algebraica- mente para relacio- narla con las c´oni- cas. Se dibuja la gr´afi- ca de la traza en el plano dado. La de- rivada Ty se halla
simb´olicamente y se eval´ua comoTy(2,3).
El resultado se inter- preta como la tasa de cambio de temperatu- ra en la direcci´onyen el punto dado. Encontrar superficies de nivel. Funciones de tres o m´as variables. Material: Gr´afica. Ideal: Traza. Ideal: Derivada parcial.
De acuerdo a 2b. y 2c., ¿en qu´e direcci´on sube la temperatura m´as r´apido?
Relaci´on entre deriva- da y tasa de cambio.
Se reconoce que un valor absoluto mayor de la derivada indica un cambio mayor de la temperatura en la variable dada. Funciones de tres o m´as variables. Cam- pos vectoriales. Material: Valores num´ericos deTx,Ty.
Figura 15: Calculadora gr´afica basada en RA.
Figura 17: Traza individual en un plano x= const.
Figura 19: Conjunto de trazas proyectadas en un plano lateral.
Figura 21: Exhibici´on de vectores en una rejilla coordenada.
pueden entrar manualmente las componentesx, y, zindividuales. Hay adem´as un campo num´erico que admite un valor y cuando se presiona un bot´on “multiplicar”, aparece un vector verde que corresponde al vector rojo multiplicado.
El producto punto es demostrado tal como se ense˜na en la Figura 23. Se tienen dos vectores que pueden ser rotados con gestos t´actiles, cambiados de escala con un control deslizador o se puede entrar sus componentes individualmente. De este modo se visualiza el producto punto, ya sea cada vez que se presiona un bot´on o de forma continua. El estudiante puede verificar c´omo se comporta este producto cuando los vectores son ortogonales o paralelos.
La pantalla de una demostraci´on del producto cruz se presenta en la Figura 24. Se contempla el vector azul como el producto cruz entre el vector rojo y verde. A medida que se manipulan estos dos ´
ultimos vectores, el producto cruz se actualiza manual o continuamente. Se puede tambi´en apreciar su comportamiento seg´un se acercan o alejan los vectores.
En la Figura 25 presentamos una actividad an´aloga para la proyecci´on de un vector~u sobre un vector~v, calculada como~p= ~u·~v
|~v|2~v.
Se demuestra la forma en que dos vectores definen una recta tal como se exhibe en la Figura 26. Esta es una actividad en la cual se manipulan dos puntos en la l´ınea (rojo y verde), lo cual determina un vector direcci´on (azul).
La construcci´on vectorial de un plano se muestra en la Figura 27. El usuario manipula el vector rojo, el cual es un punto en el plano, y el vector normal (verde). Al tocar el plano se define un punto sobre ´el, representado por dos vectores, uno desde el origen del marco coordenado (cian) y otro desde el vector rojo (azul).
Se muestra la construcci´on de un plano definido por tres puntos en la Figura 28. Los vectoresOA~ ,
~
OB y OC~ son los puntos que lo definen. AB~ y AC~ son la sustracci´on OB~ −OA~ y OC~ −OA~ . El
producto cruzAB~ ×AC~ es entonces la normal que lo define.
La Figura 29 muestra una actividad en la que se tiene la proyecci´on de un vector (azul) sobre un plano. La proyecci´on en el plano (cian) se encuentra sustrayendo el vector azul de su proyecci´on en el vector normal (verde).
Figura 22: Actividad de multiplicaci´on por un escalar.
Figura 24: Actividad de producto cruz.
Figura 26: Construcci´on de una l´ınea a partir de dos vectores.
Figura 28: Construcci´on de un plano definido por tres puntos.
3.4
EVALUACI ´ON
Usamos dos modalidades de evaluaci´on de la herramienta de RA con un grupo de siete estudiantes. En la primera tuvimos tres sesiones de 45 minutos de tutor´ıa usando la herramienta. Despu´es de esto se entreg´o un cuestionario con preguntas generales sobre c´omo fue su experiencia. En la segunda usamos el examen descrito en la secci´on 3.3.2. Los estudiantes respondieron el examen en primer lugar sin la tablet, y luego respondieron un examen similar despu´es de usar la tablet. Debe notarse que este procedimiento no fue de estad´ıstica inferencial, ya que los estudiantes que tomaron el pre-test y el post-test fueron los mismos. Nos referimos a este examen como “examen diferencial”.
Los resultados obtenidos se muestran en las tablas siguientes. A partir de aqu´ı las cifras que describen una calificaci´on van en una escala de cero a cinco. Los porcentajes para preguntas abiertas con items no excluyentes se dan con la f´ormula ni/Pknk×100, que significa que tomamos las veces que un item fue dado como respuesta por los estudiantes, dividido por el n´umero total de respuestas dadas para todos los items, como un porcentaje.