4. FAST AERIAL MAPPING USING STRUCTURE FROM MOTION
4.2. Matcher
4.7.3. Morphological operations
Ahora se puede exponer una demostración más rigurosa del primer teorema de
máquina térmica que trabaja para los valores dados de temperaturas del calentador y del refrigerador, no puede ser mayor que el rendimiento de la máquina que trabaja según el ciclo inverso de Carnot para unos mismos valores de las temperaturas del calentador y del refrigerador.
Supongamos que tenemos dos máquinas térmicas con un calentador y refrigerador común para ellas: la máquina I que trabaja según el ciclo inverso de Carnot y la máquina II que se diferencia de la I bien por la irreversibilidad de los procesos en ella, o bien por el género de la substancia de trabajo. Supongamos al principio que el rendimiento η2 de la máquina II es mayor que el rendimiento η1 de la máquina I:
1
2
η
η >
Acoplemos estas máquinas (con un eje común, por transmisiones a correa, etc.) para que una de ellas pueda poner en movimiento a la otra. Supongamos que la máquina II trabaja según el ciclo directo, es decir, recibe el calor Q del calentador, realiza un trabajo A2 y entrega al refrigerador una cantidad de calor igual a
Q – A2
Durante esto, ella pone en movimiento a la máquina I, de modo que esta máquina realiza el ciclo inverso. Por consiguiente, la máquina I, transporta el calor desde el refrigerador al calentador, a cuenta del trabajo realizado sobre ella por la máquina II. Supongamos que la máquina I lo transmite al calentador en cada ciclo una cantidad Q de calor, es decir, el mismo que absorbe la máquina II en un ciclo. Supongamos que el trabajo necesario para esto sea igual a A1. El calor tomado del refrigerador por la máquina I es, por lo tanto, igual a
Q – A1
Después de un ciclo obtenemos en nuestra máquina combinada I – II el resultado siguiente.
1. El calentador no sufrió ningunos cambios, ya que la máquina I le suministró tanto calor como le quitó la máquina II.
2. El cuerpo de trabajo volvió a su estado inicial en cada una de las máquinas, es decir, tampoco ha sufrido ningún cambio.
3. El refrigerador ha recibido de la máquina II un calor Q – A2 y la máquina I le ha
quitado al refrigerador un calor Q – A1 y ya que según nuestra suposición η2 > η1,
entonces, A2 > A1 y
Q – A1 > Q – A2
Esto significa, que el único resultado de todo el ciclo ha sido la extracción de una cantidad de calor igual a A2 – A1 del refrigerador y de su transformación en trabajo.
Pero esto contradice al principio de Thompson. Por consiguiente, η2 no puede ser
mayor que el rendimiento η1 de la máquina reversible de Carnot.
Demostremos ahora la justeza del segundo teorema de Carnot sobre la independencia del rendimiento de la máquina reversible de Carnot del género del cuerpo de trabajo. Tomemos de nuevo a las dos máquinas unidas entre sí I y II con un calentador y refrigerador común. En este caso ambas máquinas trabajan según el ciclo reversible de Carnot, diferenciándose una de la otra solamente por la substancia de
trabajo. Demostremos que son iguales los rendimientos η1 y η2, de ambas máquinas.
inverso. Al principio supondremos que el rendimiento de ambas máquinas es diferente: sea, por ejemplo,
2
1
η
η <
Al realizar el ciclo directo, la máquina II recibe del calentador una cantidad Q1 de
calor, entrega al refrigerador un calor Q2 y realiza un trabajo equivalente a Q1 – Q2. La
máquina I realiza el ciclo inverso, coge un calor Q del refrigerador, entrega un calor Q1
al calentador, a cuenta del trabajo mecánico equivalente a Q – Q2. Si el rendimiento
η1<η2, entonces,
Q > Q2
La diferencia de calores Q – Q2 se transforma en trabajo. Es decir, como resultado
del ciclo, el calentador no sufre ningún cambio, ya que recibe de una máquina tanto calor como entrega a la otra. Los cuerpos de trabajo, realizando un proceso en grupo, también resultan estar en el estado inicial. Es decir, el único resultado del ciclo es la toma de calor (en la cantidad Q – Q2) del refrigerador y su transformación en trabajo, lo
que contradice al principio de Thompon. Es decir, no es cierta la suposición de que η1
> η2. Por lo tanto, sólo queda una posibilidad que
2
1
η
η =
Ya que el cuerpo de trabajo de una de las máquinas puede ser un gas ideal, y ya mostramos que para este caso
T
T
T
1−
2=
η
, donde T2 y T1 son las temperaturascorrespondientes del refrigerador y calentador, entonces, de aquí se deduce que el rendimiento será uno mismo para cualquier máquina reversible de Carnot. Para el ciclo irreversible el rendimiento es
T
T
T
1−
2<
η
(82.1) Recordemos que 1 2 1Q
Q
Q
−
=
η
,donde Q1 es la cantidad de calor, entregado (al cuerpo de trabaja) por el calentador, y
Q2 es la cantidad calor recibido (del cuerpo de trabajo) por el refrigerador.
Pero si examinamos nuestro proceso desde el punto de vista de los cambios ocurridos en el mismo cuerpo de trabajo, entonces, Q1 y Q2 son la cantidad de calor
recibido y entregado, correspondientemente, es necesario escribirlas con signo contrario.
Consideraremos positiva a la cantidad Q1 de calor recibido por el cuerpo; entonces
Q2 será negativa.
Por consiguiente, la desigualdad (82.1) se escribe en la forma:
1 2 1 1 2 1
T
T
T
Q
Q
Q
+
<
−
O bien,
0
2 2 1 1+
<
T
Q
T
Q
(82.2) Evidentemente, [véase (80.11)] si el cuerpo sufre un proceso circular reversible, entonces,0
2 2 1 1+
=
T
Q
T
Q
(82.3) En lo sucesivo estas relaciones (82.2) y (82.3) serán generalizadas.De lo dicho anteriormente, está claro qué es necesario hacer para conseguir el rendimiento mayor posible de la máquina térmica.
En primer lugar, es necesario tender en lo posible a que en la máquina no se realicen los procesos irreversibles, para que el ciclo de la máquina sea lo más próximo posible al reversible.
En segundo lugar es necesario, en lo posible, elevar la temperatura del calentador y rebajar la temperatura del refrigerador [véase la fórmula (80.12)]
En lo que se refiere a la elección del cuerpo de trabajo, está dictada por consideraciones de racionalidad técnicas y económicas. La circunstancia de que en las máquinas térmicas actuales se emplee fundamentalmente el vapor de agua, está condicionada a la gran accesibilidad del agua y el manejo sencillo de ella.
El progreso en la técnica de las instalaciones de fuerza a vapor se consigue con la elevación de la temperatura del calentador (el refrigerador, corrientemente, es el aire que nos rodea). Sin embargo, con las instalaciones de fuerza a vapor concurren con éxito los motores de combustión interna, donde como cuerpo de trabajo sirve una mezcla de aire y el combustible correspondiente. La temperatura, conseguida en este caso, es mucho mayor y, por eso, el rendimiento de estas máquinas es mayor. Y además, en estos motores está excluido el proceso irreversible de conducción de calor desde el hogar, lo que también eleva el rendimiento.
Sin embargo, es necesario tener en cuenta, que el proceso reversible es un proceso ideal y en la práctica no se puede asegurar la reversibilidad completa. Por eso, aquel valor del rendimiento de la máquina térmica que da la fórmula (80.12) de hecho es el limite superior inaccesible, al cual, sin embargo, nos podemos acercar lo más posible, por principio.