Multi-user application - Performance Assessment

Performance Assessment

4.4 Multi-user application

Para evaluar la potencia de la prueba en el caso del modelo con una variable explicativa, se tienen tres situaciones:

En la primera se estudio el caso en el que se omitió una variable explicativa que no ten´ıa nada que ver con la variable explicativa presente en el modelo; el segundo caso corresponde a un modelo que omitió la variable explicativa en el modelo elevada al cuadrado, finalmente un modelo en donde se omitió la variable explicativa en el modelo elevada al cubo. En las tres situaciones, el modelo al que se le hizo la prueba de especificación corresponde al modelo y = β0 +β1x1 + ǫi.

Los errores en fueron generados i.i.d. N(0,2). El cuadro 6.1 resume las tres situaciones.

Cuadro 6.1: Modelos generadores de los datos para las tres situaciones contem- pladas con el modelo 1 que tiene una sola variable explicativa

Modelo al que se le prueba Situaci´on Modelo generador

la especificaci´on del modelo de los datos

y=β0+β1x1 +ǫi

a) Omisi´on de una variable

que no tiene que ver con y = 1 + 5x1+ 10x2+ǫ

variable explicativa incluida en el modelo a probar b) Omisi´on de una variable

que corresponde a la y = 1 + 5x1+ 3.5x2 1+ǫ

variable explicativa incluida en el modelo a probar al cuadrado

c) Omisi´on de una variable

que corresponde a la y = 1 + 5x1+ 5x 3 1+ǫ

variable explicativa incluida en el modelo a probar al cubo

En el caso del modelo con dos variables explicativas, el estudio de simulaci´on contempl´o cuatro situaciones:

Un caso con la omisión del cuadrado de una de las variables explicativas, otros tres casos con la omisión del cubo de una de las variables explicativas, y otros tres casos se diferencian sólo en el valor de los coeficientes. En las tres situaciones, el modelo al que se le hizo la prueba de especificación corresponde al modelo y = β0 +β1x1 + β2x2 +ǫi.

Los errores fueron generados i.i.d. N(0,2). El cuadro 6.2 presenta un resumen de estas cuatro situaciones.

Cuadro 6.2: Modelos generadores de los datos para cuatro situaciones contempla- das con el modelo 2 que tiene dos variables explicativas

Modelo al que se le prueba Situaci´on Modelo generador

la especificaci´on del modelo de los datos

y=β0+β1x1+β2x2+ǫi

a) Omisi´on de una variable

que corresponde a una de las y = 1 + 5x1+ 3x2+ 6x 2 1 +ǫ

variables explicativas incluidas en el modelo a probar al cuadrado

b) Omisi´on de una variable

que corresponde a una de las y = 1 + 5x1+ 3x2+ 8x 3 1 +ǫ

variables explicativas incluidas en el modelo a probar al cubo

c) Omisi´on de una variable

que corresponde a una de las y = 1 + 5x1+ 3x2+ 2x3 1 +ǫ

variables explicativas incluidas en el modelo a probar al cubo

d) Omisi´on de una variable

que corresponde a una de las y = 1 + 5x1+ 3x2+x 3 1+ǫ

variables explicativas incluidas en el modelo a probar al cubo

6.3. Prueba RESET

La prueba RESET (Ver Anexo E) se realiza con ayuda de la función resettest que se encuentra dentro del paquete lmtest también del software R; se utilizaron dos versiones de la prueba RESET, una es con la segunda potencia y potencia cúbica de y estimada (RESET3) y la otra con la segunda potencia de y estimada (RESET2).

Resultados y Discusi´on

En esta sección se presentan los resultados del ejercicio de simulación para evaluar el comportamiento de las pruebas propuestas y su compa- ración con la prueba RESET.

7.1. Tama˜no de Prueba

7.1.1. Prueba M L₋ALasso.

La prueba ML-ALasso está diseñada para muestras grandes, en esta sección se evalúa la potencia de esta prueba comparada con las pruebas RESET2 y RESET3.

Tama˜no de la Prueba del Modelo 1. En este caso, el modelo generador de los datos corresponde al modelo 1 con una sola variable explicativa (yi = β0 +β1x1i +ǫi) y se prueba que este modelo est´e co-

rrectamente especificado.

desempeño para todos los tamaños de muestra, manteniendo los ta- maños de prueba estimados muy cercanos al valor nominal (α = 0.05). La prueba ML - ALasso tiene un buen comportamiento cuando el ta- maño de muestra es grande (n=50), pero tiende a sobreestimar el ta- maño de prueba para valores pequeños y medianos del tamaño de muestra.

Cuadro 7.1: Tama˜no de la Prueba del Modelo 1:yi =1+5x1i+ǫi para

M L₋ALasso.

n RESET3 RESET2 ML-ALasso

20 0.0499 0.049 0.0926

30 0.0454 0.0498 0.0855

50 0.047 0.0473 0.0405

Thursby (1989) realiz´o la prueba RESET con un modelo equivalente

al modelo 1 compuesto por una sola variable explicativa donde prueba una correcta especificación. En este caso la Z de su prueba RESET está compuesta de el cuadrado, cubo y cuarta potencia de X. Los resultados son que para un tamaño de muestra de (n = 50) la prueba tuvo un buen desempeño ya que obtuvo valores dentro de dos desviaciones estándar del nivel cr´ıtico que fue de 0.05.

Tama˜no de la Prueba del Modelo 2. En este caso, el modelo generador de los datos corresponde al modelo 2 con dos variables explicativas (yi = β0 +β1x1i +β2x2i +ǫi) y se prueba que este modelo est´e correc-

tamente especificado.

En el cuadro 7.2 se puede observar que las pruebas RESET2 y RE- SET3 tienen un buen comportamiento al tener los valores del tama˜no de prueba estimado muy cercanos al valor nominal (α = 0.05), en este caso la prueba M L₋Alasso funciona bien en tama˜nos de muestra

grandes, tanto para ρ12 = 0 como para ρ12 = 0.9, pero al igual que el

modelo con una variable, tiende a sobreestimar el tamaño de prueba para valores pequeños y medianos del tamaño de muestra.

Cuadro 7.2: Tama˜no de la Prueba del Modelo 2:yi=1+5x1i+3x2i+ǫi para

M L₋ALasso.

n ρ12 RESET3 RESET2 ML-ALasso

20 0 0.0502 0.0488 0.1434 0.9 0.0487 0.0517 0.0775 30 0 0.0488 0.0492 0.0923 0.9 0.0505 0.0518 0.1016 50 0 0.0492 0.0498 0.0483 0.9 0.0489 0.0513 0.064

Thursby y Schmidt (Sep., 1977) realizaron pruebas equivalentes a la

RESET3 y RESET2 a un modelo semejante al modelo 2 que tiene dos variables explicativas donde se prueba una correcta especificación. Los tamaños de muestra son los mismos (n= 20, 30 y 50); con un nivel de significancia de α = 0.05. Los resultados fueron satisfactorios ya que obtuvieron valores dentro de dos desviaciones estándar del nivel cr´ıtico que fue de 0.05.

7.1.2. Prueba M L₋ALasso₋p.

La prueba ML-Alasso-p está diseñada para muestras pequeñas; en esta sección se evalúa el comportamiento de esta prueba comparada con las pruebas RESET2 y RESET3.

rrectamente especificado.

Como se aprecia en el cuadro 7.3 la prueba RESET3 presenta buen desempeño para todos los tamaños de muestra, manteniendo los ta- maños de prueba estimados muy cercanos al valor nominal (α = 0.05). La prueba RESET2 tiene un comportamiento errático ya que para un tamaño de muestra de n = 30 se obtuvo un valor de 0.01 y para los tamaños de muestra pequeña y grande (n = 20 y 50) se sobreestima el tamaño de prueba. La prueba ML-ALasso-p tiene un buen comportamiento para los tres tamaños de muestra ya que mantiene los tamaños de prueba estimados semejantes al valor nominal (α = 0.05) o menor en el caso del tamaño de muestra de n= 20 que es de 0.02.

Cuadro 7.3: Tama˜no de la Prueba del Modelo 1:y_i =1+5x_1i+ǫ_i para

M L₋ALasso₋p.

n RESET3 RESET2 ML-ALasso-p

20 0.04 0.08 0.02

30 0.05 0.01 0.05

50 0.06 0.08 0.05

Thursby (1989) realiz´o la prueba RESET con un modelo semejante al

modelo 1 compuesto por una sola variable explicativa donde prueba una correcta especificación. En este caso la Z de su prueba RESET está compuesta de el cuadrado, cubo y cuarta potencia de X. Los resultados son que para un tamaño de muestra de (n= 50) la prueba tuvo un buen desempeño ya que obtuvo valores dentro de dos desviaciones estándar del nivel cr´ıtico que fue de 0.05.

tamente especificado.

En el cuadro 7.4 se puede observar que las pruebas RESET3 y RE- SET2 tienen un buen comportamiento al tener los valores del tama˜no de prueba estimados cercanos al valor nominal (α = 0.05), excepto en el tama˜no de muestra n = 20 con ρ12 = 0 de la prueba RESET3 donde

se tiende a sobreestimar el tama˜no de prueba. En este caso la prueba

M L₋ALasso₋pfunciona bien tanto para ρ12 = 0 como para ρ12 = 0.9

en los tres tama˜nos de muestra.

Cuadro 7.4: Tama˜no de la Prueba del Modelo 2:yi=1+5x1i+3x2i+ǫi para

M L₋ALasso₋p.

n ρ12 RESET3 RESET2 ML-ALasso-p

20 0 0.1 0.03 0.03 0.9 0.07 0.06 0.02 30 0 0.04 0.04 0.01 0.9 0.06 0.04 0.07 50 0 0.03 0.03 0.03 0.9 0.06 0.04 0.03

Thursby y Schmidt (Sep., 1977) realizaron pruebas equivalentes a la

RESET3 y RESET2 a un modelo semejante al modelo 2 que tiene dos variables explicativas donde se prueba una correcta especificación. Los tamaños de muestra son los mismos (n = 20, 30 y 50) con un nivel de significancia de α = 0.05. Los resultados fueron satisfactorios ya que obtuvieron valores dentro de dos desviaciones estándar del nivel cr´ıtico que fue de 0.05.

7.2. Potencia de la prueba

7.2.1. Prueba M L₋ALasso.

La prueba ML-Alasso está diseñada para muestras grandes, en esta sección se evalúa la potencia de esta prueba comparada con las pruebas RESET2 y RESET3.

Potencia de la prueba del Modelo 1. En este caso, el modelo generador de los datos corresponde a alguno de los modelos generados al omitir una variable en el modelo (ver cuadro 6.1). Se prueba la hip´otesis de que el modelo yi = β0 +β1x1i + ǫi est´e correctamente especificado;

cuando en realidad omiti´o una variable, que dependiendo del caso puede ser una variable que no tiene que ver con la variable explicativa del modelo, o la variable que se omiti´o es el cuadrado o el cubo de la variable explicativa incluida en el modelo.

En el cuadro 7.5 se muestran los resultados para los tres modelos generadores y los tres diferentes tama˜nos de muestra, tanto para ρ12 = 0.0

como para ρ12 = 0.9.

En el primer modelo (inciso a del cuadro 7.5) se prueba una variable que no tiene que ver con la variable explicativa del modelo original y el resultado mostrado en el cuadro 7.5 nos dice que ninguna de las tres pruebas, ni RESET3, ni RESET2, ni ML-ALasso funcionan bien en este caso.

El segundo modelo (inciso b del cuadro 7.5) es el que contiene el cuadrado de la variable explicativa del modelo original y se tiene que la potencia estimada de la prueba es satisfactoria para las tres pruebas

con valor de 1 (100 por ciento de rechazos).

Y en el tercer modelo (inciso c del cuadro 7.5) que contiene la variable explicativa del modelo original al cubo se aprecia que el resultado tiene un buen comportamiento para las pruebas RESET3 y ML-ALasso con la potencia de prueba estimada con valor de 1, y la prueba RESET2 tiene un comportamiento err´atico.

Cuadro 7.5: Potencia de la Prueba del Modelo 1:y_i =1+5x_1i+ǫ_i para

M L₋ALasso.

n T´ermino omitido ρ12 RESET3 RESET2 ML-ALasso

20 a) 10x2_i 0 0.005 0.0002 0.0035 0.9 0.616 0.0002 0.4335 b) 3.5x2 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 c) 5x3 1i 0 1 1 1 0.9 1 0.6681 1 30 a) 10x2i 0 0 0 0 0.9 0.0081 0.0094 0.0028 b) 3.5x2 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 c) 5x3 1i 0 1 0 1 0.9 1 0 1 50 a) 10x2i 0 0 0 0 0.9 0.0001 0.0003 0.0004 b) 3.5x2 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 c) 5x3 1i 0 1 0.9995 1 0.9 1 0.0026 1

Thursby (1989) realiz´o la prueba RESET con un modelo equivalente

al del inciso a donde se omite una variable que no tiene nada que ver con la variable explicativa del modelo. En este caso la Z de su prueba RESET est´a compuesta de el cuadrado, cubo y cuarta potencia de X. Los resultados son: para un tama˜no de muestra de 50 con ρ12 = 0 y 0.9

la prueba RESET no tiene un buen desempe˜no. Lo anterior coincide con los resultados de nuestras pruebas.

As´ı mismo, Thursby (1989) realizó la prueba RESET con un modelo equivalente al inciso b donde la variable omitida es la variable explicativa incluida en el modelo a probar al cuadro. En este caso la Z de su prueba RESET está compuesta de el cuadrado, cubo y cuarta potencia de X. Los resultados son que para un tamaño de muestra n=50, la prueba obtuvo un buen desempeño ya que el porcentaje de rechazos fue de cien por ciento, coincidiendo con el resultado de este trabajo. Potencia de la prueba del Modelo 2. En este caso, el modelo generador de los datos corresponde a alguno de los modelos generados al omitir una variable en el modelo (ver cuadro 6.2). Se prueba la hipótesis de que el modelo yi = β0 + β1x1i + β2x2i +ǫi esté correctamente espe-

cificado; cuando en realidad omiti´o una variable, que dependiendo del caso puede ser la variable explicativa incluida en el modelo al cuadrado o al cubo.

En el cuadro 7.6 se muestran los resultados para los cuatro modelos generadores y los tres diferentes tama˜nos de muestra, tanto para ρ12 = 0

como para ρ12 = 0.9.

En el primer modelo (inciso a del cuadro 7.6) se observa que las tres pruebas tienen un buen comportamiento al tener los valores de la potencia de la prueba cercanos o iguales a 1 (100 por ciento de rechazos). Los siguientes tres modelos generadores contienen la variable explicativa al cubo con la diferencia de tener un valor distinto en sus coeficientes. En el caso del segundo modelo (incisob del cuadro 7.6) las tres pruebas funcionan bien excepto la prueba RESET2 con tama˜no de muestra de

Cuadro 7.6: Potencia de la Prueba del Modelo 2: y_i=1+5x_1i+3x_2i+ǫ_i para

M L₋ALasso.

n T´ermino omitido ρ12 RESET3 RESET2 ML-ALasso

20 a) 6x2 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 b) 8x3 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 c) 2x3 1i 0 0.8355 0.3206 0.8645 0.9 0.9921 0.5738 0.9659 d)x3 1i 0 0.9983 0.0001 0.9996 0.9 0.1812 0.0453 0.1819 30 a) 6x2 1i 0 0.8913 0.9544 1 0.9 1 1 1 b) 8x3 1i 0 1 0 1 0.9 1 0.8565 1 c) 2x3 1i 0 1 0 1 0.9 0.9832 0.5375 0.8979 d)x3 1i 0 0.619 0.0304 0.6445 0.9 0.9997 0.72 0.9948 50 a) 6x2 1i 0 0.9998 0.9999 1 0.9 1 1 1 b) 8x3 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 c) 2x3 1i 0 1 0 1 0.9 1 0.0064 1 d)x3 1i 0 0.7524 0.048 0.9168 0.9 1 0.3755 1

El tercer modelo (incisocdel cuadro 7.6) tiene un buen comportamiento para las pruebas RESET3 y ML-ALasso con valores de la potencia de la prueba cercanos a 1. La prueba RESET2 no funciona bien en ning´un caso.

Para el cuarto modelo (inciso d del cuadro 7.6) se tiene que la prueba RESET3 tiene un comportamiento err´atico con algunos valores cercanos o iguales a 1 en los siguientes casos: tama˜no de muestra de n=20 con

ρ12 = 0, tama˜no de muestra de n=30 con ρ12 = 0.9 y tama˜no de

en ningún caso y la prueba ML-ALasso muestra valores de la potencia de la prueba cercanos o iguales a 1 en todos los casos excepto para los siguientes dos: tamaño de muestra de n=20 con ρ12 = 0.9 y tamaño de

muestra de n=30 con ρ12 = 0.

7.2.2. Prueba M L₋ALasso₋p.

La prueba ML-Alasso-p está diseñada para muestras pequeñas, en esta sección se evalúa el comportamiento de esta prueba comparada con las pruebas RESET2 y RESET3.

Potencia de la Prueba del Modelo 1. En este caso, el modelo generador de los datos corresponde a alguno de los modelos generados al omitir una variable en el modelo (ver cuadro 6.1). Se prueba la hip´otesis de que el modelo yi = β0 +β1x1i + ǫi est´e correctamente especificado;

En el cuadro 7.7 se muestran los resultados para los tres modelos generadores y los tres diferentes tama˜nos de muestra, tanto para ρ12 = 0.0

como para ρ12 = 0.9.

El primer modelo (inciso a del cuadro 7.7) muestra que no se favorece a ninguna de las tres pruebas lo cual se esperaba debido a que la variable explicativa a probar no tiene ninguna relaci´on con el modelo original. El segundo modelo (inciso b del cuadro 7.7) es el que contiene el cuadrado de la variable explicativa del modelo original y se tiene que la

potencia de la prueba es satisfactoria para las tres pruebas con 100 por ciento de rechazos.

Cuadro 7.7: Potencia de la Prueba del Modelo 1:y_i =1+5x_1i+ǫ_i para

M L₋ALasso₋p.

n T´ermino omitido ρ12 RESET3 RESET2 ML-ALasso-p

20 a) 10x2i 0 0 0 0 0.9 0 0 0 b) 3.5x2 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 c) 5x3 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 30 a) 10x2i 0 0 0 0 0.9 0 0 0.63 b) 3.5x2 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 c) 5x3 1i 0 1 0.02 1 0.9 1 0 1 50 a) 10x2i 0 0 0 0 0.9 0 0 0 b) 3.5x2 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 c) 5x3 1i 0 1 1 1 0.9 1 0.06 1

Y el tercer modelo (inciso c del cuadro 7.7) que contiene la variable explicativa del modelo original al cubo se aprecia que el resultado tiene un buen comportamiento para las pruebas RESET3 y ML-ALasso-p. RESET2 presenta un comportamiento err´atico con algunos resultados favorables con la potencia de prueba estimada con valor de 1 pero deja de ser favorable en los siguientes casos: tama˜no de muestra n= 30 con

ρ12 = 0 y ρ12 = 0.9 y tama˜no de muestra n = 50 con ρ12 = 0.9.

Thursby (1989) realiz´o la prueba RESET con un modelo equivalente

Los resultados son: para un tama˜no de muestra de 50 con ρ12 = 0 y 0.9

la prueba RESET no tiene un buen desempe˜no. Lo anterior coincide con los resultados de nuestras pruebas.

As´ı mismo, Thursby (1989) realizó la prueba RESET con un modelo equivalente al inciso b donde la variable omitida es la variable explicativa incluida en el modelo a probar al cuadro. En este caso la Z de su prueba RESET está compuesta de el cuadrado, cubo y cuarta potencia de X. Los resultados son que para un tamaño de muestra n=50, la prueba obtuvo un buen desempeño ya que el porcentaje de rechazos fue de cien por ciento, coincidiendo con el resultado de este trabajo. Potencia de la Prueba del Modelo 2. El modelo generador de los datos corresponde a alguno de los modelos generados al omitir una variable en el modelo (ver cuadro 6.2). Se prueba la hipótesis de que el modelo yi = β0 + β1x1i + β2x2i + ǫi esté correctamente especificado;

cuando en realidad omiti´o una variable, que dependiendo del caso puede ser la variable explicativa al cuadrado o al cubo.

En el cuadro 7.8 se muestran los resultados para los cuatro modelos generadores y los tres diferentes tama˜nos de muestra, tanto para ρ12 = 0

como para ρ12 = 0.9.

En el primer modelo (inciso a del cuadro 7.8) se observa que con ta- maños de muestra medianos y grandes (n = 30 y 50) las tres pruebas tienen un buen comportamiento con valores de la potencia de la prueba cercanos o iguales a 1 (100 por ciento de rechazos). Para el tamaño de muestra n= 20 se tuvo un comportamiento errático ya que se obtuvieron los dos siguientes casos con un desempeño bajo: pruebas RESERT3 y RESET2 con ρ12 = 0.

Cuadro 7.8: Potencia de la Prueba del Modelo 2: y_i=1+5x_1i+3x_2i+ǫ_i para

M L₋ALasso₋p.

n T´ermino omitido ρ12 RESET3 RESET2 ML-ALasso-p

20 a) 6x2 1i 0 0.3 0.56 1 0.9 1 1 1 b) 8x3 1i 0 1 0.98 1 0.9 1 1 1 c) 2x3 1i 0 1 0 1 0.9 0.06 0.05 0.01 d) x3 1i 0 0.52 0.09 0.2 0.9 0.16 0.02 0.08 30 a) 6x2 1i 0 1 1 1 0.9 1 1 1 b) 8x3 1i 0 1 0 1 0.9 1 1 1 c) 2x3 1i 0 0.94 0.26 0.86 0.9 1 0.18 0.99 d) x3 1i 0 0.89 0.31 0.52 0.9 0.59 0.04 0.27 50 a) 6x2 1i 0 1 1 1 0.9 0.99 1 1 b) 8x3 1i 0 1 0 1 0.9 1 1 1 c) 2x3 1i 0 1 0.06 1 0.9 1 1 1 d) x3 1i 0 0.99 0.02 0.93 0.9 1 0.7 1

Los siguientes tres modelos generadores contienen la variable explicativa al cubo con la diferencia de tener un valor distinto en sus coeficientes. En el caso del segundo modelo (incisob del cuadro 7.8) las tres pruebas tienen buen comportamiento excepto la prueba RESET2 que presenta un comportamiento errático en los siguientes casos, con tamaño de muestra de n = 30 con ρ12 = 0 y tamaño de muestra de n = 50 con

ρ12 = 0.

miento para las pruebas RESET3 y ML-ALasso-p con valores cercanos o iguales a 1 excepto para los siguientes casos en que se aprecia un comportamiento err´atico: prueba RESERT3 con tama˜no de muestra de

n = 20 conρ12 = 0.9 y prueba ML-ALasso-p con tama˜no de muestra de

n = 20 con ρ12 = 0.9. La prueba RESET2 no funciona bien en ning´un

caso excepto para tama˜no de muestra de n = 50 con ρ12 = 0.

Para el cuarto modelo (inciso d del cuadro 7.8) se tiene que la prueba RESET3 tiene valores cercanos o iguales a 1 solo en los siguientes casos: tama˜no de muestra de n=30 con ρ12 = 0 y tama˜no de muestra de n=50

con ρ12 = 0 y ρ12 = 0.9. La prueba RESET2 no es favorable en ning´un

caso y la prueba ML-ALasso-p muestra un comportamiento err´atico ya que se obtienen valores de la potencia de la prueba cercanos o iguales a 1 solo en los siguientes dos casos: tama˜no de muestra de n=50 con

Conclusiones y Recomendaciones

8.1. Conclusiones

8.1.1. Tama˜no de prueba

• El método ML-ALasso propuesto tuvo un buen desempeño para tamaños de muestra grande (n=50) y lo sobreestima en tamaños de muestra medianos y pequeños.

• El método ML-ALasso-p tuvo un buen desempeño para los tres tamaños de muestras.

• RESET2 y RESET3 tuvieron buen comportamiento en cuanto al tama˜no de prueba en ambos modelos para todos los tama˜nos de muestra.

8.1.2. Potencia de prueba

• Para el caso en que se omite una variable que no tiene nada que ver con el modelo, ninguna de las pruebas, RESET2, RESET3,

ML-ALasso y ML-ALasso-p, tienen un buen comportamiento. • En el caso es que la variable omitida es el cuadrado de la variable

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