Multiple micronutrient supplementation during lactation

Se define un grafo etiquetado dirigido (de ahora en adelante referido simplemen- te como grafo si no se indica otra cosa) como una tupla g= (V, E,µ), donde V es el conjunto finito de nodos (tambi´en llamados v´ertices), E ⊆ (V × V ) es el conjunto de arcos, yµ : V →Σes la funci´on de etiquetado de los nodos. Nos

referiremos a los componentes de un grafo g como Vg, Egyµgsolo cuando sea necesario.

Para un nodo dado v, los arcos de entrada ser´an aquellos en sentido(u, v), res- pectivamente los de salida lo ser´an en(v, u). La aridad de entrada de un nodo v se define como idg(v) = |{(u, v) ∈ E}|, mientras que su aridad de salida vendr´a da- do por odg(v) = |{(v, u) ∈ E}|. Para un grafo dado g = (V, E,µ), denotaremos sus v´ertices de la forma V_mn(g) = {v ∈ V : idg(v) = n ∧ odg(v) = m}. Adem´as utilizaremos εgpara referenciar los grafos vac´ıos (un grafo sin nodos), y V0(g) y V0(g) para los nodos con aridad cero de entrada o salida respectivamente.

Definimos el alfabeto tipadoΣσ_τ como la asociaci´on de un alfabetoΣcon la relaci´on r⊆ (Σ×N×N). Dado que los nodos de un grafo pueden tener diferentes grados de entrada y de salida, es necesario establecer los s´ımbolos que pueden etiquetar esos nodos. Denotaremos comoΣn_mal conjunto{s ∈Σ : (s, n, m) ∈ r}, el cual nos indica los s´ımbolos disponibles para etiquetar los nodos con aridad de entrada n y de salida m.

Una vez definido el alfabeto tipado, podemos establecer el conjunto de todos los posibles grafos etiquetados sobre este alfabeto. Formalmente, G(Σσ_τ) denota el conjunto de grafos que utiliza el alfabetoΣσ_τ. Un lenguaje de grafos es cual- quier conjunto formado como LG⊆ G (Σστ).

Dado un alfabeto tipadoΣσ_τ, el alfabeto extendido se define como el conjunto: b

Σ= {an_m : a∈Σ, (a, n, m) ∈ r}

A partir del alfabeto extendido, y dado un grafo g= (V, E,µ), se define su

grafo extendido como ˆg= (V, E, ˆµ), donde ˆµ : V → bΣ, de tal manera que pa- ra cada nodo v en V_mn(g), si µ(v) = a, entonces ˆµ(v) = an

m. Intuitivamente, las etiquetas de los nodos del grafo extendido ˆg incluyen expl´ıcitamente la aridad

de entrada y de salida de cada nodo del grafo. En la figura 5.1 se muestra un ejemplo.

En adelante se considerar´a por simplicidad ´unicamente el esqueleto de los grafos y lenguajes para estos. Por esqueleto de un grafo nos referimos a grafos cuyos nodos internos v (con odg(v) 6= 0) est´an etiquetados con el mismo s´ımbolo. Sin embargo, los resultados obtenidos se pueden utilizar de la misma forma con grafos de tipo general. Adem´as, para clarificar la representaci´on de los grafos se utilizar´an letras griegas para los nodos internos y letras del alfabeto latino para los nodos frontera (aquellos con aridad de salida cero).

g: σ σ σ σ σ σ a b ˆ g: σ0 2 σ1 2 σ11 σ1 1 σ1 1 σ2 2 a2₀ b1₀

Figura 5.1: Ejemplo de un grafo ac´ıclico dirigido g y su correspondiente grafo extendi-

do ˆg. Por claridad se han etiquetado los nodos internos (aquellos con aridad de salida mayor que cero) con letras griegas.

Para una secuencia de nodos w1, w2, . . . , wk, si(wi, wi+1) ∈ E para 1 ≤ i < k, entonces decimos que existe un camino desde w1hasta wk. Se define la longitud de este camino como el n´umero de nodos en la secuencia. En un grafo es posible que existan varios caminos entre un par de nodos u y v dados. Se denota el conjunto de los caminos m´as cortos desde u hasta v por((u, v)), y la longitud del camino (o caminos) m´as corto como|((u, v))|. Si un camino no existe entonces su longitud ser´a infinita, adem´as la longitud de un nodo a si mismo es|((u, u))| = 1. Se define el di´ametro de un grafo g= (V, E,µ) como la m´axima distancia entre dos nodos del grafo:

diameter(g) = max

u,v∈V{|((u, v))| : |((u, v))| <∞}

Dado un grafo g= (V, E,µ), el subgrafo de g con ra´ız en el nodo v y radio

k se define como Rg(v, k) = (W, E′,µ′) tal que W = {u ∈ V : |((v, u))| ≤ k} y donde E′= E ∩ (W × W ), esto es, el conjunto de arcos restringido a los nodos en W . De la misma forma,µ′es la restricci´on de la funci´onµ a los nodos en W . Adem´as extendemos esta definici´on para considerar, para un grafo g= (V, E,µ), el subgrafo de g con ra´ız en el nodo v denotado por Rg(v) = (W, E′,µ′) donde

W = {u ∈ V : |((v, u))| <∞} con el conjunto E′_{y la funci´on de etiquetado µ}′ definidas de la misma forma.

5.2.1 Multiconjuntos

Recordamos algunas definiciones de la teor´ıa de multiconjuntos que utilizaremos en la funci´on de transici´on del nuevo modelo de aut´omata para grafos. En el texto siguiente denotaremos al conjunto de los n´umeros naturales como N.

Para un conjunto dado D, un multiconjunto de D es un par hD, f i donde f es una funci´on de enumeraci´on de la forma f : D→ N. Esto es, para un a ∈

D, la funci´on f(a) denota el n´umero de elementos de a en el multiconjunto. Adem´as decimos que a se encuentra en A, y escribimos a∈ A, si y solo si f (a) 6= 0. El tama˜no de un multiconjunto se define como el n´umero de elementos que contiene. Este n´umero puede ser finito, en este caso el multiconjunto ser´a finito. El tama˜no de un multiconjunto M se denota por|M|. En particular nos interesan los tipos de multiconjuntos cuyo tama˜no es igual a una constante n. Esto es, la clase de todos los multiconjuntoshD, f i tal que∑_a∈Df(a) = n. En lo que sigue denotaremos esta clase por Mn(D).

Decimos que un multiconjunto AhD, f i est´a vac´ıo si y solo si para todo a ∈

D, f(a) = 0. De esta forma, para cualquier par de multiconjuntos A = hD, f i y

B= hD, gi, decimos que A = B si y solo si para todo a ∈ D, f (a) = g(a), y, de la misma forma, A es un subconjunto de B (A⊆ B) si y solo si para todo a ∈ D,

f(a) ≤ g(a). Adem´as definimos la suma de dos multiconjuntos A = hD, f i y B = hD, gi (denotado A⊕B) como el multiconjunto C = hD, hi donde para todo a ∈ D,

h(a) = f (a) + g(a). Por ´ultimo, se extiende la definici´on de conjunto potencia a multiconjuntos, de la forma: dado un multiconjunto C, su conjunto potencia es el conjunto de todos los posibles subconjuntos de C, y se denotar´a como 2C.

Un concepto muy ´util para trabajar con multiconjuntos es el mapeado de

Parikh. Formalmente, el mapeado de Parikh puede verse como la aplicaci´onΨ:

D∗→ Nn_{donde D= {d}

1, d2, . . . , dn} y D∗es el conjunto de cadenas sobre D. Para cualquier x∈ D∗, este mapeado se define comoΨ(x) = (#d1, #d2, . . . , #dn) donde

#di denota el n´umero de ocurrencias de djen x. Esto nos permite representar un

multiconjunto utilizando cualquier cadena con el mapeado de Parikh correcto (es decir, no importa la ordenaci´on). Este concepto lo utilizaremos a continuaci´on.