63 Control mediante δinealización Exacta “Entrada –Salida”:
Este método de control propone buscar un control u que aplicado al sistema no lineal lo transforme a una forma lineal donde se puede realizar el estudio de estabilidad del mismo siguiendo los métodos tradicionales para sistemas lineales. Las conclusiones de estabilidad obtenidas con este método son de validez global, mientras que si realizamos linealización tradicional en un entorno a un punto de operación, las conclusiones sólo tendrán validez local. Además no todos los sistemas son linealizables exactamente. Como sabemos:
Distribuyendo, así obtenemos la ecuación 5.16
Reconocemos los coeficientes de la señal de control u:
………Ecuación 5.15
Ecuación 5.16
……Ecuación 5.17
64 Luego la señal del control por linealización exacta es:
donde K1 se elige negativo de tal forma de estabilizar el sistema. Cálculo de la dinámica de los ceros
Cuando y = yr implica ey = 0. Definimos el conjunto:
y / ó la dinámica de los ceros será la dinámica del sistema restringida al conjunto Z*, es decir:
Reempleando:
Teniendo en cuenta que:
………Ecuación 5.19
………Ecuación 5.20
……Ecuación 5.21
………Ecuación 5.23 ……Ecuación 5.22
65 Podemos escribir:
Resulta que alfa ( yr ) es una constante cuyo valor depende de la referencia yr (ey = 0)
Como implica
por lo tanto Z* está formado por los puntos de la recta:
………Ecuación 5.24 y 5.25 ………Ecuación 5.26 y 5.27 ………Ecuación 5.28 y 5.29 Ecuación 5.30 Ecuación 5.31 Ecuación 5.32 .Ecuación 5.35 Ecuación 5.33 ………Ecuación 5.34
66 Donde C1 y C2 son constantes dependientes también de yr:
Como las ecuaciones de estado son autónomas ―cada una depende de una sola variable de estado‖ y además las variables de estado están relacionadas entre sí por medio de una
recta, bastará con demostrar estabilidad asintótica para una y hacerlo extensivo a la otra. Tomamos la condición Z* y la reemplazamos en la primer ecuación de estado obteniendo:
Reagrupando:
Este sistema es de la forma lineal con v > 0
Para demostrar que la dinámica de los ceros es asintótica mente estable, sólo se debe
demostrar que. γ (yr)>0.
Ploteamos γ (yr) en el rango de interés yrє [3,11] y observamos que es positivo esto implica que la dinámica de los ceros es asintótica mente estable en dicho rango, por lo tanto el sistema será mínima fase en dicho rango.
………Ecuación 5.37 ………Ecuación 5.36 Ecuación 5.38 Ecuación 5.39 …Ecuación 5.40 ………Ecuación 5.41 .……Ecuación 5.42
67 Estabilidad Entrada - Estado (ISS)
En el ítem anterior se demostró que existe un punto de equilibrio asintótica mente estable en el origen, además podemos asegurar que en un entornó del origen fo(n,ey) es continuamente diferenciable y sus derivadas son acotadas, no será necesario el cálculo de dichas derivadas porque inspeccionando fo(n,ey) se observa que sus derivadas serán suaves y acotadas en un entorno del origen Se puede asegurar entonces será ISS en forma local
Acción Integral
Se propone el control con acción integral:
el sistema completo linealizado queda:
Se asume que ή=ƒo(ηey) es ISS en todo el dominio de interés, esto implica que el
estudio de la Estabilidad se reduce al sistema
Para que este sistema sea asintótica mente estable, A deberá ser Hurwitz, implica K1 y K2 deben ser constantes negativas. El objetivo del control se logra porque se integra el error ey = y - yr y además el sistema encontrado es asintótica mente estable.
………Ecuación 5.47 ………Ecuación 5.43
………Ecuación 5.44
………Ecuación 5.45 ………Ecuación 5.46
68 Simulación a lazo cerrado
Comparación entre los distintos métodos de control a lazo cerrado
Figura 27.- En estas gráficas se pueden observar el comportamiento de los distintos métodos de control ante perturbaciones lentamente variables, escalón en el set point de 7 a 6 en t = 100seg. En todos los ensayos a lazo cerrado se utilizó como ganancia en todos los controles K1,K2,K3 iguales a -1. La condición inicial de los estados es nula y en los controles con acción integral se utilizó una condición inicial igual a 3
69 Simulación a lazo Cerrado
Figura 28.- En estas gráficas se pueden observar el comportamiento de los distintos métodos de control ante cambios en el setpoint.
Notamos que el control adaptivo presenta una respuesta temporal más suave que la del control por linealización exacta.
En cuanto al tiempo de respuesta, ambos se comportan en forma similar
En todos los ensayos a lazo cerrado se utilizó como ganancia en todos los controles K1,K2,K3 iguales a -1. La condición inicial de los estados es nula y en los controles con acción integral se utilizó una condición inicial igual a 3
Control Adaptivo
Notar que el término a(x,ey) del control de linealización exacta depende del valor de d. Cuando este es desconocido, usamos el mismo control ―incluyendo acción integral‖ reemplazando d por una estima (observador no lineal) del mismo d^, obtenida mediante un estimador a diseñar, el esquema de control resultante es adaptable. En el control por linealización exacta calculado anteriormente reemplazamos d por su estimado, resultando:
70 El control adaptivo resulta:
El sistema linealizado queda:
Ecuación5.48
Ecuación 5.49
. .…Ecuación 5.50
71 Para calcular la ley de adaptación del sistema de tal manera que todas las señales del sistema a lazo cerrado estén acotadas y se logre que la salida ey―error‖ tienda asintótica mente a cero realizamos un estudio de estabilidad mediante la siguiente función de Lyapunov:
Adoptando
Resulta
Finalmente el estimador es:
Así resulta que la derivada de la función de Lyapunov V=2a1 K1 e2y
Es semidefinida negativa, lo que significa que todas las señales están acotadas, y como además el control posee acción integral ey será asintótica mente estable. En conclusión el error ey tiende asintótica mente a cero cuando el tiempo t tiende a infinito.
.…Ecuación 5.52 .…Ecuación 5.53 ….Ecuación 5.54 …….Ecuación .5.57 …….Ecuación .5.58 …….Ecuación .5.59 Ecuación 5.55 Ecuación 5.56
72 Simulación a lazo Cerrado
Figura 29.- En estas gráficas se pueden observar el comportamiento de los distintos métodos de control ante cambios en d que es la perturbación.
Nuevamente notamos que el control adaptivo presenta una respuesta temporal más suave que la del control por linealización exacta.
En cuanto al tiempo de respuesta, en este caso el control por linealización exacta presenta mejor comportamiento.
Escalón de perturbación ―d‖ de 0.55 ml/s a 0 ml/s en t=100seg
En todos los ensayos a lazo cerrado se utilizó como ganancia en todos los controles K1,K2,K3 iguales a -1.
La condición inicial de los estados es nula y en los controles con acción integral se utilizó una condición inicial igual a 3.
73 Simulación a Lazo Cerrado
Figura 30.- En estas gráficas se pueden observar el comportamiento de los distintos
métodos de control ante cambios en el flujo de solución ácida ―q1‖ siendo nuevamente
mejor la respuesta del control adaptivo.
Observamos la fuerte no linealidad del sistema en el hecho que cambios simétricos en el flujo de solución ácida no producen cambios simétricos en el pH.
Cambios de + 25% en el flujo de la solución ácida q1.
En todos los ensayos a lazo cerrado se utilizó como ganancia en todos los controles K1,K2,K3 iguales a -1. La condición inicial de los estados es nula y en los controles con acción integral se utilizó una condición inicial igual a 3.
74 CONCLUSIONES
Con la implementación de este prototipo se incorpora un modelo de luz ultravioleta que operará a diferentes intensidades de luz garantizando la completa purificación del agua y control de pH.
Por todo esto se intenta implementar el prototipo de planta donde, se apliquen los procedimientos para la obtención de agua purificada y certificada, desde el momento de su recepción, es decir agua con calidad de potable hasta su último proceso ó consumo en beneficio de toda la sociedad que desee implementarlo.
En el mercado existe una gran variedad de equipos comerciales de alta calidad, sin embargo estos tienen la limitante de que son de procedencia extranjera, por lo tanto de costos muy elevados, además de que su uso se enfoca principalmente a la purificación de agua olvidándose de los demás tipos de soluciones como las usadas en los
laboratorios, es por lo cual, que nosotros nos hemos dado a la tarea de implementar un equipo con elementos disponibles en el mercado nacional y que se puedan usar con distintas soluciones químicas.
En este trabajo se presentan los resultados de las investigaciones realizadas en el área de sistemas de control, utilizando estrategias robustas, aplicadas a procesos de control de pH.
Fundamentalmente se muestran estrategias de diseño de controladores robustos basadas en métodos frecuenciales, funciones de transferencia y temporales, variables de estado. Se presentan metodologías para describir las incertidumbres en los sistemas, modelo de la incertidumbre, tomando en cuenta que los procesos de pH son altamente no lineales y en el caso considerado en este trabajo, el proceso está sometido a grandes perturbaciones e incertidumbres en el modelo.
En el enfoque frecuencial, se utilizan los principios basados en la estrategia del LOOPSHAPING para el cálculo de los controladores. Se describe el procedimiento de análisis para considerar el tipo y el tamaño de las incertidumbres, que son la base necesaria para hallar el controlador.
En el enfoque temporal, se utilizan técnicas basadas en los principios de estabilidad de Lyapunov, las cuales se fundamentan en la definición de funciones de energía para analizar la estabilidad de los sistemas.
En este caso se presenta la metodología de diseño para la obtención de un controlador dinámico que utiliza la salida de la planta para su realimentación. Para este diseño, se trabaja con una incertidumbre del tipo paramétrica estructurada.
El proceso de obtención del controlador es un problema de programación lineal y el resultado sólo garantiza estabilidad del sistema a lazo cerrado. La incorporación de elementos dinámicos, integradores y filtros, se presenta, para mejorar el comportamiento del sistema.
75 BIBLIOGRAFÍA
1.-Katz, J. M.
Importación de tecnología, aprendizaje e industrialización dependiente Edit. Fondo de Cultura Económica (2° ed., año 1998).
2.-Mateos, J.L.
La tecnología y las prioridades nacionales Gaceta de la Facultad de Química No. 47
3.-Galbait, J.K. El nuevo Estado Industrial Edit. Orbis
4.-A. Papoulis, M. Bertrán
Sistemas y Circuitos, Digitales y Analógicos
Marcombo 2° ed., año 1992
5.- Margarita García, Arturo Zepeda Amplificadores Operacionales
Editorial IPN-ESIME- 3° ed., año 1984 6.- Nacional Instruments
Linear Data book National Semiconductor
National Instruments 4° ed., año 1988 7.- Texas Instruments.
Linear Data book.
Texas Instruments 3° ed., año 1999 8.- Motorola
CMOS Logic Data.
Motorola 4° ed., año 1999 9.- Katsuhiko Ogata
Ingeniería de Control Moderna
Prentice Hall. 2° ed., año 1993 10.- Intel Corporation
Component Data Catalog.
Intel Corporation 2° ed., año 1997
11.- Murray S., Shoemaker R.L.
The IBM Personal Computer from the Inside Out.
Addison – Wesley Publishing Company Inc. 2° ed., año 1999 12.- Richard C. Dorf
Sistemas Modernos de Control
Addison – Wesley Publishing Company Inc. 2° ed., año 1998 13.- Winn L. Rosch.
Hardware Bible. Brady Publishing Second Edition 1999.
14.- Rafael Sánchez López
Fundamentos y Sistemas Electrónicos para Señales Analógicas.
Ed. Marcombo. 1° ed., año 1990 15.- Kurt Skytte. Engineering a Small System.
IEEE, March 2° ed., año 1994 16.- A Digital Filter Chip for ECG Signal Processing.
Transactions on Instrumentation’s and εeasurement. IEEE, 2° ed., año 1994
76 17.-James David Jinks
Análisis Químico de los Parámetros del Agua Limusa 4° ed., año 1998 18.- NTN, EDG, SK.
Manuales de Reemplazo Universal de semiconductores
NTN, EDG, SK 1° ed., año 1998 19.- AMICEE
Instrumentación Editorial Limusa 2° ed., año 1999
20.- Michael Tisher.
PC Intern System Programming. 145 Abacus 1° ed., año 2002.
77 GLOSARIO DE TÉRMINOS
ACIDIFICACIÓN. Es el incremento de los iones de hidrógeno, comúnmente expresado como pH en un medio del ambiente.
ADSORCIÓN. Penetración superficial de un gas ó un líquido en un sólido.
AGUA DULCE. Agua que generalmente contiene menos de 1 000 miligramos por litro de sólidos disueltos.
AGUA DURA. Agua alcalina que contiene sales disueltas que interfieren con algunos procesos industriales e impiden que el jabón haga espuma.
AGUAS SALINAS. Aguas que contienen cloruro de sodio entre 500 - 3,000 ppm. Se vuelve más desagradable si la concentración de sal es entre 1,000 y 5,000 ppm.
AGUAS SUPERFICIALES.Toda el agua expuesta naturalmente a la atmósfera ―ríos,
lagos, depósitos, estanques, charcos, arroyos, represas, mares, estuarios, etcétera‖ y
todos los manantiales, pozos u otros recolectores directamente influenciados por aguas superficiales.
ALCALINIDAD. Capacidad cuantitativa de los medio acuosos para reaccionar ante los iones hidróxidos. La alcalinidad es un fenómeno que representa la capacidad de neutralización ácida de un sistema acuoso.
BASE DE DATOS. Colección de datos organizada de tal modo que el ordenador pueda acceder rápidamente a ella. Una base de datos relacional es aquella en la que las conexiones entre los distintos elementos que forman la base de datos están almacenadas explícitamente con el fin de ayudar a la manipulación y el acceso a éstos.
BASIC. Siglas de Beginners All-purpose Symbolic Instruction Code. Es el lenguaje que se utiliza generalmente en los microordenadores. Es fácil de aprender, ya que la mayoría de las instrucciones son muy parecidas al inglés.
BATCH. Ver PROCESOS POR LOTES BCD. Binary Code Decimal
BIT. Dígito Binario ―Binary digt‖ = bit. Un bit matemático puede definir dos niveles o
estados, on/off, blanco/negro, etc.; dos bits pueden definir cuatro niveles, tres bits ocho y así sucesivamente. En términos de imagen, 8 bits pueden definir 256 niveles de gris entre el blanco y el negro.
BUCLE. Conjunto de instrucciones que se repiten varias veces seguidas.
BUFFER. Espacio de la memoria que almacena temporalmente una información. En el caso de las impresoras, el buffer controla la información que se va a imprimir y libera a la PC de esta tarea.
BUS DE CAMPO. Ver, por ejemplo, ARQUITECTURA DE BUS DE CAMPO BUS. Ruta interna para transmitir señales digitales de un lado a otro de un sistema. BYTE. ―kbyte, εbyte, Gbyte y Tbyte‖. 1 Byte = 8 bits = 256 ―valores discretos de brillo, color, etc.‖. 1 kilo bite = 1.024 bytes ―no 1000 bytes‖. 1 εega bite = 1.048.576 bytes ―no 1 millón de bytes‖. 1 Giga bite = 1.073.741.824 bytes ―no mil millones de bytes‖. 1 Terabyte = 1.099.511.627.776 bytes ―no un trillón de bytes‖. δos chips de
estado sólido generalmente almacenan en incrementos de 1, 4,16 y ahora 64 Mbits que suelen ir ordenados en grupos de ocho para ofrecer 1, 4,16 ó 64 Mbytes.
CAD/CAM. Siglas inglesas de computer-aided design/computer-aided manufacturing, o sea diseño asistido por computadora y fabricación asistida por computadora. Es un software usado para diseñar productos tales como tableros de circuitos electrónicos en computadoras.
78 CAOS. Conducta de un sistema complejo que aparece como impredecible y falsamente como aleatoria, cuando en realidad tiene un patrón subyacente. Es extraordinariamente sensible a pequeños cambios en las condiciones iniciales.
CIBERNÉTICA. Ciencia dedicada al estudio de métodos de comunicación, control y auto-organización comunes a máquinas y organismos vivos.
CICLO LÍMITE. En un sistema no lineal con una fuente de energía constante es posible obtener configuraciones en las cuales si el sistema comienza a vibrar u oscilar, esta vibración u oscilación se conserva en el tiempo. Si este comportamiento opera independientemente de las condiciones iniciales precisas, a pesar del hecho que el sistema es lento o a pesar de perturbaciones moderadas que tienden a frenar el proceso o acelerarlo, entonces tales ciclos se dicen que son ciclos límites. En un sistema lineal si el sistema es movido éste empieza a vibrar o a oscilar. Sin embargo, de acuerdo a la segunda ley de la termodinámica, el sistema decaerá hasta el reposo.
CODIFICADOR. ―Encoder‖. Dispositivo de realimentación que convierte un
movimiento mecánico en señales eléctricas, las cuales indican la posición de un actuador. Se tiene codificadores incrementales y absolutos, dependiendo de si sus salidas indican cambios incrementales o absolutos de la posición.
COMPILADOR. Programa que pasa un programa escrito en un lenguaje de alto nivel
―parecido al humano‖ al lenguaje de la máquina, de modo que ésta lo entienda
perfectamente. Programa que traduce lenguajes de alto nivel a lenguaje máquina. COMPORTAMIENTO. Cualquier secuencia de ESTADOS de un sistema.
COMPUTACIÓN. Procesamiento de datos por medios mecánicos y/o eléctricos. Dispositivos computacionales pueden abarcar tareas tan simples de cálculo del tipo de costos/beneficios o tan complejas como jugar al ajedrez con buen éxito.
CONCEPTO. Palabra o frase usada en proposiciones que pretenden describir relaciones verdaderas del mundo. Los conceptos no son ni verdaderos ni falsos, solamente más o menos útiles.
CONTROL AUTOMÁTICO. Ver SISTEMA DE CONTROL AUTOMÁTICO CONTROL AVANZADO. Estrategias de control que van más allá del control PID, tales como el control anticipatorio ―feedforward‖, tiempo muerto ―dead-time‖, adelanto/atraso ―lead/lag‖, ganacia adaptativa, redes neuronales, control difuso, etc. CONTROδ CON COεPUTADOR “PC Control”. Estrategia de control configurada a partir de software y la cual usa software y hardware para un computador personal estándar
CONTROL EN LAZO ABIERTO. Control en el cual la salida no afecta la acción de control. Es decir, no se mide ni se realimenta la salida para compararla con la entrada. CONTROL EN LAZO CERRADO. Ver CONTROL REALIMENTADO.
CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS. Ver SPC.
CONTROL NUMÉRICO. Control en el cual los datos están representados en forma de códigos numéricos almacenados en un medio adecuado ―normalmente magnético‖.
Se llaman también sistemas de punto a punto, o de camino continuo.
CONTROL PREDICTIVO. Conjunto de técnicas avanzadas de control que se caracterizan por que la acción de control es calculada a partir de la predicción de la evolución del sistema en los instantes de tiempo posteriores al actual. Tiene su origen en el sector químico y existen múltiples métodos que lo implementan.
CONTROL REALIMENTADO. Operación que, en presencia de perturbaciones
―impredecibles‖, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo continúa haciendo con base en esta diferencia.
79 CONTROL. Selección de las entradas de un sistema de manera que los estados o salidas cambien de acuerdo a una manera deseada. Ver SISTEMA DE CONTROL. Ver PRINCIPIO DE VARIEDAD NECESARIA
CONTROδADOR ABIERTO “Open controller”. Controlador que se parece a un PLC tradicional pero que es un PC que opera en un ambiente de Windows con un software de control
CONTROδADOR DE εODEδO INTERNO “IεC”. Parametrización de un controlador en la cual el modelo es un componente explícito del controlador. Concretamente, C = Q/ (1 - QG'), donde G' es un modelo y Q es una función de transferencia estable y propia.
CONVERTIDOR ANÁLOGO-DIGITAδ “A/D, ADC”. También llamado codificador. Dispositivo que convierte, con cierta aproximación
―CUANTIFICACIÓN‖, una señal analógica en una señal digital, usualmente una señal codificada numéricamente. Con frecuencia un MUESTREADOR/RETENEDOR es una parte integral de un ADC comercial. Tipos: aproximaciones sucesivas, integración, contador, paralelo.
CPU. Acrónimo de Central Processing Unit ―Unidad central de procesamiento‖. Es el
procesador central del ordenador encargado de controlar rutinas, realizar funciones aritméticas y otras tareas propias. Dispone de memoria de acceso rápido. En la actualidad se le suele descargar de cada vez más tareas gracias a otras unidades paralelas consiguiendo así un mayor rendimiento.
CUANTIFICACIÓN. Proceso de representar una variable continua por medio de un conjunto finito de valores distintos ―valores cuantificados‖.
D/A. Acrónimo de Digital/Análogo
DAC. Acrónimo de Digital to Analog Converter ―Convertidor de digital a análogo o
simplemente convertidor digital-análogo‖
DEBUG. Ver DEPURAR.
DECISIÓN. Imposición deliberada de una restricción a un conjunto de posibles alternativas. En el caso extremo, opción de una alternativa de un conjunto inicialmente concebible pero ya no disponible, después de la decisión y en virtud de esa decisión, de cursos de acción, mensajes, objetos, características, etc. El poder de una decisión es medida por el logaritmo dual de la probabilidad lógica del remanente del conjunto
inicial de posibilidades ―véase información, principio de variedad necesaria, bit‖ DECODIFICADOR. Ver CONVERTIDOR DIGITAL-ANÁLOGO
Degradación: Término aplicado a cualquier proceso de transformación de un sistema, orden, estructura o sustancia compleja, a un nivel inferior. Así tenemos la degradación
geológica, biológica ―biodegradación‖, química o entrópica.
DEεANDA BIOQUÍεICA DE OXIGENO “DBO”. Oxígeno disuelto y requerido por los organismos para la descomposición aeróbica de la materia orgánica presente en