A menudo se encuentran expresiones de la forma
a(x, y)dx+b(x, y)dy= 0, (DE) o a(x, y, z)dx+b(x, y, z)dy+c(x, y, z)dz= 0, (DE) o m´as generalmente a1(x)dx1+a2(x)dx2+· · ·+an(x)dxn= 0, (DE) conx∈Rn.
Limitaremos el estudio de este tipo de ecuaciones al caso en que n≤3, por comodidad supondremos n= 3. El primer paso para determinar el significado de este tipo de ecuaciones es saber lo que es el s´ımbolo dxi. Por lo hecho hasta ahora, las soluciones de los problemas diferenciales provenientes de ecuaciones y o sistemas pueden representarse mediante curvas. Por consiguiente, siγ:R→R, con
γ(t) = x1(t) x2(t) .. ., xn(t)
es una parametrizaci´on de una curva, se tiene por definici´on dxi(t) = ˙xi(t)dt,
dondedt:R→Res la aplicaci´on lineal dada por
dt:R→R ∆t7→∆t.
Geometricamentedxi, llamada diferencial dedxi mide la variaci´on dexi(t) cuando se modificat.
Regresando a la ecuaci´on (DE), six(t) es una parametrizaci´on que satisface la ecuaci´on (DE), se tiene
(a1(x(t)) ˙x1(t) +· · ·+an(x(t)) ˙xn(t))dt= 0.
De donde, cualquier soluci´onx(t) de (DE) satisface
Remarca.-En el cason= 2, utilizando el hecho que dx2 dx1 = x˙2 ˙ x1 ,
la ecuaci´on (DE), es equivalente a la ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden dx2
dx1
=−aa1(x1, x2)
2(x1, x2)
.
Por otro lado, las soluciones de (DE) forman subconjuntos de Rn, paran = 2, se tiene curvas y para n= 3 ser´an superficies. Estos conjuntos se representan en forma de ecuaciones algebraicas como
g(x, y) =c, o bieng(x, y, z) =c,
dondeces una constante.
Ahora bien, si (x(t), y(t), z(t)) es la parametrizaci´on de una curva que est´a dentro una superficie de ecuaci´ong(x, y, z) =c, se tiene
f(t) =g(x(t), y(t), z(t)) =c
lo que significa que ˙f(t) = 0, para todot, aplicando la regla de la cadena se tiene
˙ f(t) = ∂g ∂xx(t) +˙ ∂g ∂yy(t) +˙ ∂g ∂zz(t) = 0.˙ (III.1.2)
Deducimos queg(x, y, z) =Ces soluci´on de la ecuaci´on
∂g ∂xdx+ ∂g ∂ydy+ ∂g ∂zdz= 0.
Por consiguiente, si la ecuaci´on diferencial (DE)
a(x, y, z)dx+b(x, y, z)dy+c(x, y, z)dz= 0, (DE)
es tal que existe una funci´ong:R3→Rdiferenciable es tal que
gradg(x, y, c) = a(x, y, z) b(x, y, c) c(x, y, z) =a(x, y, z)i+b(x, y, z)j+c(x, y, z)k
se dira que es exacta,gse llamar´a primitiva y la soluci´on general del problema ser´ag(x, y, z) =c.
Ejemplos
1.- Consideremos la ecuaci´on diferencial
y dx+x dy= 0,
Observamos queg(x, y) =xyes una primitiva de la ecuaci´on y por consiguiente la soluci´on general es xy=C.
2.- Consideremos la ecuaci´on diferencial
x dx+y dy+z dz= 0. La funci´on g(x, y, z) =1 2x 2+1 2y 2+1 2z 2
es una primitiva de la ecuaci´on y por consiguiente la soluci´on general es 1 2x 2+1 2y 2+1 2z 2=C. 3.- Consideremos y dx−x dy= 0, y queremos encontrar una funci´ong(x, y) tal que
∂g ∂x =y,
∂g ∂y =−x,
deducimos que tal g deber´ıa ser de la forma g(x, y) = yx+c(y) si tomamos en cuenta la derivada respecto ax. Derivandog respecto ay obtenemos
∂g
∂y =x+c
′(y) =
−x,
lo que es imposible, porque se tendr´ıac′(y) =−2xycdepende solamente deyno dex. Por consiguiente
esta ecuaci´on no admite primitiva, lo que no significa que no tenga soluci´on.
Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de primitivas
Sig:R3→Res dos veces continuamente diferenciable, se tiene rot(gradg(x, y, z)) = 0,
la verificaci´on es sencilla y dejamos como ejercicio. A continuaci´on enunciamos el siguiente teorema sin demostraci´on.
Teorema III.1.1.- La ecuaci´on diferencial
a(x, y, z)dx+b(x, y, z)dy+c(x, y, z)dz
admite primitiva, si y solamente si
rot(a(x, y, z), b(x, y, z), c(x, y, z)) = 0.
Corolario III.1.2.- La ecuaci´on diferencial
a(x, y)dx+(
¯x, y)dy= 0 admite primitiva, si y solamente si
∂a(x, y) ∂y =
∂b(x, y) ∂x .
Demostraci´on.-Ejercicio.
Utilizando el criterio del teorema y o corolario se puede determinar si una ecuaci´on (DE) admite o no primitiva.
Ejemplo
4.- La ecuaci´on
no admite primitiva por que ∂y ∂y = 16=−1 = ∂−x ∂x . Determinaci´on de primitiva
Una vez que se ha determinado que la ecuaci´on diferencial
a(x, y, z)dx+b(x, y, z)dy+c(x, y, z)dz
admite primitiva, el problema consiste en determinar la primitiva, en algunos casos la primitiva salta a la vista, en otros no es tan evidente. Por consiguiente es importante conocer un m´etodo que nos permita determinarla.
Repasando C´alculo II y el curso de An´alisis Vectorial, la integral de l´ınea
Z
C
a(x, y, z)dx+b(x, y, z)dy+c(x, y, z)dz,
dondeC es un arco de curva orientado, en el caso en que
rot(a(x, y, z)i+b(x, y, c)j+c(x, y, z)k) = 0,
solo depende de las extremidades deC y no de la misma curvaC. Ver figura III.1
A
B
Figura III.1.-Integrales de L´ınea Por consiguiente es consistente introducir la notaci´on
Z B A a(x, y, z)dx+b(x, y, z)dy+c(x, y, z)dz= Z C a(x, y, z)dx+b(x, y, z)dy+c(x, y, z)dz
en el caso en que rot(a(x, y, z)i+b(x, y, c)j+c(x, y, z)k) = 0. Eligiendo un puntoA∈R3 y dejandolo fijo, planteamos
g(x, y, z) =
Z (x,y,z)
A
a(u, v, w)du+b(u, v, w)dv+c(u, v, w)dw.
Se muestra que gradg(x, y, z) =a(x, y, z)i+b(x, y, z)j+c(x, y, z)k.
Una vez que sabemos, c´omo determinar una primitiva para una ecuaci´on diferencial exacta, por medio de una integral de l´ınea, el problema se resume a encontrar un buen punto origen de las curvas y sobre todo las buenas curvas.
5.- Resolvamos la ecuaci´on
(x2+y2)dx+ 2xy dy= 0 Verifiquemos que la ecuaci´on admite primitiva:
∂x2+2
∂y = 2y,
∂2xy ∂x = 2y.
Ahora elegimos como origen de integraci´on el punto (0,0), luego integramos siguiendo la trayectoria que une (0,0) con (0, y) y (0, y) con (x, y), lo que da
g(x, y) = Z x 0 (s2+y2)ds= 1 3x 3+xy2.
Por lo tanto, la soluci´on general ser´a
1 3x
3+xy2=C.
Cuando la ecuaci´on diferencia (DE) admite primitiva, la resoluci´on se convierte en un problema de resolver una integral de l´ınea. Cuando la ecuaci´on no admite primitiva, se tiene varias opciones para encontrar la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial (DE):
1.- Convertir en una ecuaci´on diferencial ordinaria, esto es posible cuando la ecuaci´on depende solamente de 2 variables: a(x, y)dx+b(x, y)dy= 0, se convierte en y′=−a(x, y) b(x, y). Ejemplo 6.- Resolvamos y dx−x dy= 0. Es equivalente a resolver y′= 1 xy cuya soluci´on general esy(x) =Celnx=Cx.
2.- Factores Integrantes
Si la ecuaci´on
a(x, y, z)dx+b(x, y, z)dy+c(x, y, z)dz= 0
no admite primitiva, se puede multiplicar dicha ecuaci´on por una funci´on µ(x, y, z) no identicamente nula de manera que
µ(x, y, z)a(x, y, z)dx+µ(x, y, z)b(x, y, z)dy+µ(x, y, z)c(x, y, z)dz= 0
admita una primitiva. La funci´onµse llamafactor integrante. En general determinar unµadecuado puede resultar una tarea mucho m´as dificil que resolver la misma ecuaci´on, pues el factor integrante es soluci´on de una ecuaci´on a derivadas parciales, que en principio es m´as dificil resolverla que una ecuaci´on diferencial ordinaria.
Ejercicio.-Determinar la ecuaci´on a derivadas parciales en que el factor integrante es soluci´on. Sin embargo, existen algunos casos en que determinar el factor integrante salta a la vista, por ejemplo si se puede separar la ecuaci´on, es decir convirtiendola en una ecuaci´on de la forma
Por otro lado, en el caso bidimensional
a(x, y)dx+b(x, y)dy= 0, el factor intgranteµsatisface la ecuaci´on a derivadas parciales
∂µa ∂y =
∂µb ∂x, que desarrollandola se tiene
µ ∂a ∂y − ∂b ∂x =b∂µ ∂x −a ∂µ ∂y. Ahora bien, si por ejemplo
∂a ∂y − ∂b ∂x =m(x)
dependo solamente dexyblo mismo, se puede suponer queµdepender´a solamente dex, lo que da la siguiente ecuaci´on diferencial de primer orden lineal homog´enea
b(x)µ′=m(x)µ que la sabemos resolver muy bien.
7.- Consideremos
yx2dx−x dy= 0
Verificamos que esta ecuaci´on no admite primitiva, por lo queµes soluci´on de la ecuaci´on diferencial (x2+ 1)µ=−xµ′,
por lo tanto, resolviendo la ecuaci´on, obtenemos µ(x) = e
−x2
/2
x La nueva ecuaci´on estar´a dada por
yxe−x2/2dx−e−x2/2dy= 0, obteniendo como primitiva
g(x, y) =−e−x2/2y, lo que da como soluci´on general
−e−x2/2y=C.
3.- Utilizando reglas de c´alculo de los diferenciales, la idea es luego de manipular la ecuaci´on diferencial original, llegar a una expresi´on de la forma
dg= 0,
lo que implica queg(x, y, z) =c. A manera de ilustraci´on recordemos que d(u+v) =du+dv,
d(uv) =v du+u dv,
d(u/v) =v du−u dv v2 , d(cosu) =−sinu du,
Todas las reglas y f´ormulas de derivaci´on aprendidas en c´alculo I, son v´alidas para los diferenciales. 8.- Consideremos nuevamente la ecuaci´on
y dx−x dy= 0, dividiendola pory2, se obtiene
y dx−x dy
y2 =d(x/y) = 0, lo que dax/y=c, es deciry=cx.