Normalization & nonlinearity

En este bloque obtendremos las componentes principales funcionales de los ángulos de flexión de Cadera, Rodilla y Tobillo. Se representarán las tres primeras componentes como perturbaciones o vibraciones de la media. La primera componente se corresponderá en los tres casos con una componente de tamaño y permitirá una ordenación de los individuos, las otras dos componentes, denominadas en el caso vectorial como componentes de forma, las identificaremos en al campo funcional como “modos de variación” del proceso aleatorio.

FPCA Flexión Cadera Izquierda Método A La Figura 4.1 representa las tres primeras componentes de la Flexión de la Cadera izquierda Método A. Es muy claro el comportamiento lineal de PC1, cuadrático de PC2 y cúbico de PC3.

Figura 4.1 Armónicos de la Flexión de la cadera izquierda. Método A.

Representando componentes como perturbaciones de la media. Un método que resulta útil para interpretar las componentes es examinar el efecto que produce sumar y restar un múltiplo adecuado de las mismas, ξ_i, a la media funcional, ¯x± 0.2Cξ_i1_{. El efecto que produce en el gráfico es como el de una} vibración de la media. En la Figura 4.2 se puede observar el gráfico de las curvas suavizadas y los tres

1_{Donde C =}p

T−1|| ˆµ − ¯µ || y ¯µ =RTT12

ˆ

µ (t)dt. La constante C se justifica porque antes de construir las componentes principales se normalizan las curvas

22 Capítulo 4. Componentes Principales Funcionales (FPCA)

gráficos de perturbaciones para la variable. PC1 recoge un 94.8 %, PC2 un 3.1 % y PC3 un 1.7 % del total. Entre las tres retienen un 99.6 % de la variabilidad total.

Figura 4.2 Vibraciones de la media con las componentes principales de la Flexión de la Cadera. Puede verse como la primera componente tiene el efecto de sumar/restar una constante a la media. Es una componente de tamaño que diferencia a los individuos en función de su mayor o menor apertura angular. La componente dos diferencia entre individuos con comportamiento más suave (curvas más planas) y los que tienden a concentrar el cambio angular en el centro del ciclo (mayor apuntamiento en las curvas), además, las curvas más planas presentan una mayor simetría. Por último, la componente tres diferencia entre las curvas con comportamiento simétrico, centradas en t = 50 y las que están ligeramente tumbadas a la derecha, que alcanzan el máximo en t = 60.

Figura 4.3 Proyección de las curvas sobre el plano principal.

La Figura 4.3 ofrece la proyección de los individuos sobre el plano principal (PC1-PC2), dicho plano recoge el 97.9 % de la variabilidad total del proceso, por lo que refleja un comportamiento muy exacto de las curvas. La posición de un individuo nos permite caracterizarlo. Por ejemplo, el Sujeto2 es el de menor apertura angular y un nivel medio de apuntamiento y el Sujeto8 el de mayor apertura pero con forma más plana. Por otra parte, el Sujeto11 se relaciona con la segunda curva en apertura y la de mayor apuntamiento. Podemos confirmar lo anterior identificando las curvas destacadas, como se hace en la Figura 4.4.

Rotación de las componentes. La rotación de las componentes en un análisis multivariante tiene por objeto vincular cada componente a unas pocas variables originales, al objeto de facilitar la interpretación

4.1 Componentes Principales: del caso vectorial al funcional 23

Figura 4.4 Identificación de individuos singulares. Sujeto8=Naranja, Sujeto11=Azul, Sujeto2=Verde. de las mismas, lo que produce una redistribución de la variabilidad, perdiendo peso la primera componente. En el caso funcional se tendría una interpretación parecida, aunque los cambios, en lugar de establecerse en términos de vinculación a las variables originales, se miden en relación al tamaño de las vibraciones en las distintas zonas del intervalo soporte. Así, la primera componente, que suele recoger un porcentaje muy alto de variabilidad y se interpreta como una componente de tamaño, cede en la rotación una gran parte de su inercia y se convierte en una componente que recoge un modo local de variación. Es decir, después de la rotación la primera componente deja de diferenciar entre curvas en función de su “tamaño”. La rotación más usual es la denominadavarimax, que es una rotación ortogonal, por lo que las componentes siguen sin compartir información. Puede observarse que, una vez rotadas, la primera componente deja de tener un comportamiento lineal, corta a la media, lo que antes no ocurría, y la vibración de dicha componente cambia de sentido en el intervalo soporte.

Figura 4.5 Armónicos de la Flexión de la Cadera Izquierda-Método A, con rotación Varimax. En la Figura 4.5 se representan los armónicos varimax de la flexión de la cadera izquierda, Método A. Vemos como la primera componente ha perdido su carácter lineal, de hecho tiene un comportamiento simétrico a la componente 3; ambas tienen forma de polinomio cúbico, mientras que la segunda componente, en rojo, sigue conservando su carácter cuadrático.

El análisis de los tres gráficos de perturbaciones de la Figura 4.6 confirma una de las consecuencias de la rotación comentada un par de párrafos antes. La componente PC1 pierde la hegemonía y pasa a recoger un 27.8 % de variabilidad, la PC2 pasa de un 3.1 a un 36.8 % y la PC3 de un 1.7 a un 34.9 %. Entre las tres siguen reteniendo un 99.5 % de la variabilidad total. La componente PC1 nos muestra un modo de variación que diferencia a las curvas por su diferente comportamiento en la segunda mitad del ciclo, en simetría casi perfecta con la PC3, que hace lo mismo pero en la primera mitad del ciclo. La componente PC2 diferencia

24 Capítulo 4. Componentes Principales Funcionales (FPCA)

Figura 4.6 Vibraciones de la media con las componentes rotadas de la Flexión de la Cadera. entre las curvas en función de sus comportamientos en los extremos del ciclo.

Figura 4.7 Proyección de las curvas sobre el plano rotado PC1-PC2.

El hecho de que se haya producido la redistribución de inercias tan extrema, hace que ahora la proyección de individuos en el plano PC1-PC2 (Figura 4.7), que suma el 64.6 % de información, sea menos relevante que la proyección en el plano PC2-PC3 (Figura 4.8), que recoge un 71.7 % de variabilidad. El Plano PC1-PC3 (Figura 4.9) explica un 62.7 % de variabilidad.

La rotación de las componentes solo tiene la función de ayudarnos a interpretar mejor los modos de variación. No hay obligación de quedarse con la solución rotada si ésta no ayuda a comprender mejor el comportamiento de nuestro proceso aleatorio funcional.

FPCA Flexión Rodilla Izquierda Método A. La Figura 4.10 representa las tres primeras componentes de la Flexión de la rodilla izquierda Método A. Es muy claro el comportamiento lineal de PC1, cuadrático de PC2 y cúbico de PC3.

En la Figura 4.11 se puede observar el gráfico de las curvas suavizadas y los tres gráficos de perturbaciones para la variable. PC1 recoge un 90.9 %, PC2 un 7.1 % y PC3 un 1.6 % del total. Entre las tres retienen un 99.6 % de la variabilidad total.

Puede verse como la primera componente tiene el efecto de sumar/restar una constante a la media. Es una componente de tamaño, diferencia los individuos en función de su mayor o menor apertura angular. La componente dos diferencia entre individuos con comportamiento más suave (curvas más planas) y los que

4.1 Componentes Principales: del caso vectorial al funcional 25

Figura 4.8 Proyección de las curvas sobre el plano rotado PC2-PC3.

Figura 4.9 Proyección de las curvas sobre el plano rotado PC1-PC3.

Figura 4.10 Armónicos de la Flexión de la Rodilla Izquierda-Método A.

tienden a concentrar el cambio angular en el centro del ciclo (mayor apuntamiento en las curvas). Por último. la componente tres diferencia entre las curvas que están ligeramente tumbadas a la derecha y las que lo están a la izquierda.

La Figura 4.12 ofrece la proyección de los individuos sobre el plano principal (PC1-PC2), dicho plano recoge el 98 % de la variabilidad total del proceso, por lo que refleja un comportamiento muy exacto de las

26 Capítulo 4. Componentes Principales Funcionales (FPCA)

Figura 4.11 Vibraciones de la media con las componentes principales de la Flexión de la Rodilla.

Figura 4.12 Proyección de las curvas sobre el plano principal. curvas.

Rotación de las componentes. En la Figura 4.13 se representan los armónicos varimax de la flexión de la rodilla izquierda, Método A. Vemos como la primera componente ha perdido su carácter lineal, mientras que la segunda componente sigue conservando la forma parabólica.

El análisis de los tres gráficos de perturbaciones de la Figura 4.14 confirma una de las consecuencias de la rotación comentada un par de párrafos antes. La componente PC1 pierde la hegemonía y pasa a recoger un 32.3 % de variabilidad, la PC2 pasa de un 7.1 a un 36.7 % y la PC3 de un 1.6 a un 30.5 %. Entre las tres siguen reteniendo un 99.6 % de la variabilidad total.

El hecho de que se haya producido la redistribución de inercias tan extrema, hace que ahora la proyección de individuos en el plano PC1-PC2 (Figura 4.15), contenga el 69 % de información, el plano PC2-PC3 (Figura 4.16) recoge un 62.8 % de variabilidad, mientras que el Plano PC1-PC3 (Figura 4.17), se convierte en el segundo en importancia al explicar un 67.2 % de variabilidad.

FPCA Flexión Tobillo Izquierdo Método A La Figura 4.18 representa las tres primeras componentes de la Flexión de la tobillo izquierda Método A. PC1 tiene comportamiento lineal, PC2 cuadrático y PC3 cuártico.

4.1 Componentes Principales: del caso vectorial al funcional 27

Figura 4.13 Armónicos de la Flexión de la Rodilla Izquierda-Método A, con rotación Varimax.

Figura 4.14 Vibraciones de la media con las componentes rotadas de la Flexión de la Rodilla.

Figura 4.15 Proyección de las curvas sobre el plano rotado PC1-PC2.

En la Figura 4.19 se puede observar el gráfico de las curvas suavizadas y los tres gráficos de perturbaciones para la variable. PC1 recoge un 86.6 %, PC2 un 8.2 % y PC3 un 2.9 % del total. Entre las tres retienen un

28 Capítulo 4. Componentes Principales Funcionales (FPCA)

Figura 4.16 Proyección de las curvas sobre el plano rotado PC2-PC3.

Figura 4.17 Proyección de las curvas sobre el plano rotado PC1-PC3.

Figura 4.18 Armónicos de la Flexión de la tobillo izquierda. Método A. 97.7 % de la variabilidad total.

La primera componente tiene el efecto de sumar/restar una constante a la media. De nuevo es una componente de tamaño, diferenciando los individuos en función de su mayor o menor apertura angular. La componente dos diferencia entre individuos con comportamiento más plano y los más apuntados. Por último, la componente tres establece una diferencia de unos 20 grados en los dos grupos de individuos que identifica.

4.1 Componentes Principales: del caso vectorial al funcional 29

Figura 4.19 Vibraciones de la media con las componentes principales de la Flexión del Tobillo.

Figura 4.20 Proyección de las curvas sobre el plano principal.

La Figura 4.20 ofrece la proyección de los individuos sobre el plano principal (PC1-PC2), dicho plano recoge el 94.8 % de la variabilidad total del proceso.

Rotación de las componentes. En la Figura 4.21 se representan los armónicos varimax de la flexión de la tobillo izquierda, Método A.

El análisis de los tres gráficos de perturbaciones de la Figura 4.22 muestra como la componente PC1 pierde la hegemonía y pasa a recoger un 35 % de variabilidad, la PC2 pasa de un 8.2 a un 38 % y la PC3 de un 2.9 a un 24.7 %, redistribuyéndose de nuevo la inercia. Entre las tres siguen reteniendo un 97.7 % de la variabilidad total.

El hecho de que se haya producido la redistribución de inercias, hace que ahora la proyección de individuos en el plano PC1-PC2 (Figura 4.23) sume el 73 % de información, el 62.7 % en el plano PC2-PC3 (Figura 4.24) y el 59.7 % el Plano PC1-PC3 (Figura 4.25).

En resumen, el nivel de inercia recogido por las primeras componentes va desde el 94.8 % en la cadera hasta el 86.6 % del tobillo, pasando por el 90.4 % de la rodilla. La conclusión que podemos sacar de aquí es que a medida que la articulación tenga más “grados de libertad” tendrá más modos de variación y por lo tanto el porcentaje de explicación de la componente tamaño disminuirá. Sumando los porcentajes explicados por las tres primeras componentes se obtiene un 99.6 % para cadera y rodilla y un 97.7 % para el tobillo, pudiendo ser interesante en este último caso investigar un cuarto modo de variación. La rotación de las componentes ha provocado en los tres casos una redistribución bastante equitativa de cargas, perdiendo la

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Figura 4.21 Armónicos de la Flexión de la tobillo izquierdo-Método A, con rotación Varimax.

Figura 4.22 Vibraciones de la media con las componentes rotadas de la Flexión del Tobillo.

Figura 4.23 Proyección de las curvas sobre el plano rotado PC1-PC2.

componente primera su carácter de tamaño y convirtiéndose en un modo local de variación dentro del soporte temporal.

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Figura 4.24 Proyección de las curvas sobre el plano rotado PC2-PC3.