2.3 Estimating Risk Neutral Models on Financial Market Data
2.3.4 Numerical Implementations
La transición desde un escenario de programación matemática clásica en el que se optimiza bajo un único criterio hasta otro en el que se tienen en cuenta varios, implica el sacrificio de parte de la perfección que suponía el primer caso frente al segundo.
Ya en el caso multicriterio, se produce el mismo fenómeno cuando se renuncia a aumentar el grado de cumplimiento de un objetivo para aumentar el logro de otro. Esto es lo que mide la tasa de intercambio o trade-off, que se podría definir como
la cantidad de logro de un objetivo a la que se renuncia a cambio de un aumento unitario en otro.
Analíticamente, si las variables de decisión correspondientes a dos soluciones eficientes se designan como x1 y x2, siendo fi( )x1 y fj( )x2 las funciones que
indican el logro de cada atributo en función de las variables decisorias, la expresión de la tasa de intercambio sería:
1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) i i ij j j f f T f f x x x x [9.4] con: 1(x11,...,x1n) x 2 (x21,...,x2n) x
La tasa de intercambio constituye una herramienta clave para analizar el coste de oportunidad que supone logros en un criterio frente a pérdidas en los demás.
9.4
PROGRAMACIÓN POR METAS
El desarrollo de la programación por metas o goal programming como técnica de
resolución de problemas multicriterio surge ante la creciente complejidad que están cobrando los problemas reales de toma de decisiones.
Esta complejidad tiene una doble vertiente. Por una parte el número de variables a incluir en estos problemas es mayor debido a la expansión de los sistemas de información de los que dispone el ente decisor. Dado el intenso proceso de globalización en el que se encuentra inmersa la economía mundial, el número de factores a incluir crece de forma casi exponencial y con ellos, la complejidad de los modelos.
La otra vertiente de la complejidad de los problemas multicriterio actuales es la nueva naturaleza de las variables. Mientras que con anterioridad los parámetros eran de carácter puramente cuantitativos o, al menos, cuantificables mediante algún proxy, ahora no es tan sencilla su inclusión en el problema. Es el caso de factores como la responsabilidad social corporativa, la innovación, el impacto medioambiental, etc.
La programación por metas, en lugar de fundamentarse en la optimización a través de estructuras matemáticas que aumentan la complejidad cuando el número de variables crece, proporciona soluciones que, no siendo necesariamente las mejores globalmente, son satisfactorias desde el punto de vista del ente decisor. De esta manera se salva un obstáculo como es la estimación de variables inobservables (función de utilidad) y se llega a un resultado que, sin ser necesariamente el óptimo global, es satisfactorio para el individuo (véase Romero (1991)). Esto es, soluciones satisfacientes dentro de la lógica de la racionalidad acotada propuesta por Simon (1957, 1979).
Estructura analítica
La programación por metas se instrumentaliza a través del siguiente proceso:
i) Definición de los atributos que intervienen en el modelo.
ii) Selección por parte del decisor del nivel de aspiración que se desea para cada uno de esos atributos.
iii) Vinculación de los dos puntos anteriores mediante las llamadas variables de desviación. Los niveles definidos por el agente decisor no se pueden alcanzar simultáneamente, disyuntiva característica del análisis multicriterio, de tal manera que existirá potencialmente una cierta desviación entre el logro de los atributos para una cierta solución y el nivel de aspiración marcado por el centro decisor.
Esta relación se puede representar analíticamente por la estructura de metas [9.2] presentada anteriormente.
Es conveniente tener en cuenta que las variables de desviación podrán ser deseadas o no, dependiendo de la naturaleza del atributo. Si el grado de logro del atributo está relacionado positivamente con la cuantía del mismo, las variaciones positivas supondrán un exceso deseado sobre el nivel de aspiración. Por el contrario un defecto sobre ese nivel será perjudicial para los intereses del individuo.
Si el logro del atributo se relaciona negativamente con su cuantía tendremos una situación opuesta a la anterior: variaciones positivas serán no deseadas y negativas, beneficiosas.
Por último, en caso de que se busque satisfacer exactamente ese nivel de aspiración concreto, tanto las desviaciones negativas como las positivas serán no deseables. Obviamente, la variable o variables a minimizar en el siguiente paso serán las no deseadas.
Meta original Meta con desviaciones Variable de desviación no deseada ( ) i i f x NA ( ) i i i i f x n p NA i n ( ) i i f x NA pi ( ) i i f x NA ni pi
Tabla 1 Variables de desviación no deseadas en distintos escenarios (Fuente: Ignizio, J.P. (1976))
iv) Finalmente, llegamos al punto de la resolución del problema en sí. Son dos los métodos más utilizados: la programación por metas ponderadas y la programación por metas lexicográficas. Ambos procedimientos se detallarán en los dos epígrafes siguientes.
Programación por metas ponderadas
Según se indicó en el punto 3 del proceso descrito anteriormente, habrá que minimizar las desviaciones no deseadas. Sin embargo, como los distintos atributos se cuantifican en unidades diferentes, no se puede minimizar directamente la suma de desviaciones no deseadas sino que habrá que homogeneizarlas para que sean comparables y, así, poder incluirlas conjuntamente en una expresión global. Una forma de homogeneización o normalización consiste en expresar las desviaciones como una magnitud relativa (un porcentaje, por ejemplo) en lugar de una desviación absoluta.
Si relativizamos cada una de las desviaciones expresándolas como un porcentaje respecto al nivel de aspiración marcado en cada caso, quedaría:
i i i d Min NA
[9.5] donde di es la desviación del atributo i respecto al nivel de aspiraciónpunto anterior (ni, pi o ni pi) según la naturaleza del atributo considerado.
Adicionalmente, aun siendo comparables las distintas desviaciones, no incluyen la mayor o menor importancia que pueda dar el centro decisor a cada una de ellas. Ponderando cada desviación se puede hacer que el modelo incluya las preferencias del agente decisor respecto a la realización de los atributos. La expresión [9.5] quedaría como:
· i i i i d Min NA
[9.6] siendo i la importancia relativa que el inversor da a la realización del atributo i-ésimo.Programación por metas lexicográficas
La idea fundamental de esta metodología es la priorización de metas. El decisor clasifica las metas en niveles de prioridad excluyentes, verificándose que el logro de las metas situadas en una determinada prioridad es “infinitamente preferible” al logro del conjunto de metas situadas en niveles de prioridad inferiores. Es decir, se sigue un orden secuencial, como en un diccionario (lexicon en latín).
La minimización lexicográfica se articula en torno a un vector denominado función de logro que, a modo de función objetivo, incluye las desviaciones a minimizar. Esta función objetivo es un vector a cuya dimensión coincide con el número de niveles de prioridad establecidos:
1 1 1
min ( , ),..., ( ,k k k)
Lex a h n p h n p [9.7] siendo h n pi( , )i i una función de las variables de desviación no deseadas (igual a
i
función que suma las variables de desviación no deseadas (normalizadas y ponderadas) de las metas incluidas en el nivel de prioridad correspondiente.
La minimización de la función de logro se realiza en orden lexicográfico, entendiendo como tal una minimización ordenada de las componentes del vector
a. Se trata de un proceso de minimización secuencial: inicialmente se minimiza la desviación del atributo situado en un nivel superior para proseguir con las de niveles inferiores, siempre supeditado a los valores obtenidos en los pasos previos. Es decir, la minimización de una cualquiera de las componentes de a
respeta los valores que, para las variables de decisión no deseadas, se obtienen al minimizar las componentes de niveles de prioridad superiores.
Exposiciones más detalladas y actuales sobre la programación por metas pueden verse en Tamiz et al. (1998), Romero (2004), Caballero et al. (2009), Jones and Tamiz (2010).