Observed Algorithm Degeneracy

1. El nuevo Análisis de los infinitésimos e infini­ tos, en la formulación de Leibniz, no parece encontrar, de principio, gran eco. Ya es tópico mencionar que los Bernouilli calificaron al ensayo Nova methodus como «un enigma más que una explicación» —MS 3—. Sólo Craig y Tschirnhaus dicen hacer uso del mismo, y ya se ve cómo. Las ideas básicas del matemático alemán no parecen ser bien comprendidas. Quizá ello se deba a que, hacia 1675-1686, sólo hay dos grandes matemá­ ticos en actividad creadora, Leibniz y Newton. Real­ mente los equiparables a ellos, los que les han abierto precisamente el camino, han constituido la generación precedente, y están fuera de servicio. En Italia, Torri- celli había muerto en 1647. En Francia dos de sus mejores creadores, Fermat y Pascal, habían desapare­ cido en 1665 y 1662. Permanece en activo, en las islas Británicas, Wallis, pero aunque intenta seguir los nue­ vos trabajos, reconoce públicamente que ya no íestá en condiciones de hacerlo. También Huyghens, reacio al principio a la nueva concepción diferencial, pretlnde incorporarse pero no capta el verdadero contenido del método de Leibniz. Barrow había abandonado la cáte­ dra en beneficio de su discípulo y sucesor Newton para dedicarse, ya por entero, a la teología... Así, únicamente podía seguir a Leibniz su gran émulo británico, Newton y, a través de él, alguno de sus discípulos.

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Sin embargo, hay cierto resentimiento contra el ma­ temático alemán, quizá por sus misiones diplomáticas, quizá por la primera impresión que causara en su viaje de 1673, quizá por su genio, quizá por la causa a la que volveré más tarde. El hecho es que los trabajos de Leibniz en A .E . son absolutamente silenciados en las Islas salvo la mención de Craig. Y no puede decirse que las ideas de Leibniz sean desconocidas para los británicos porque la Epístola de julio de 1677 les había dado toda la teoría y los artículos en A.E. no son más que la difusión pública de esas ideas, y también estos artículos eran conocidos y trabajados como se desprende del opúsculo de Craig.

Sin embargo, en De Geometría recóndita Leibniz ha vuelto a señalar las limitaciones de la matemática car­ tesiana, las ventajas del nuevo Análisis respecto a la misma. El abate de Conti, en defensa de Descartes, replica. Lo que da motivo a que Leibniz lance un reto a todos los matemáticos: obtener la curva que describe una partícula móvil al aproximarse de modo uniforme al horizonte. Es reto de 1687. A él acude Huyghens con sus métodos tradicionales, el mismo Leibniz y Jacob Bernoulli (1655-1705). La solución de Leibniz es la curva isocrona que hoy lleva su nombre. Pero lo importante es el nombre de este último participante. Jacob ha leído los ensayos de Leibniz, ha pedido explicaciones y aclaraciones por carta. Y la búsqueda de la solución a este problema le convence respecto al nuevo método, le hace ver lo esencial del mismo y le convierte en uno de sus defensores. Aunque, al igual que su hermano John, prefiere la expresión de «cálculo integral», indicando que en este método lo que importa, realmente, es la búsqueda del todo a partir de sus diferencias, por lo que, para Jacob Bernoulli se presenta como más importante el problema inverso de las tangentes, por encima del proceso de cuadra­

ESTUDIO PRELIMINAR LXV turas y, realmente, por encima del método ternario de Leibniz. Desde este enfoque la «suma» de Leibniz pasa a ser la «integral» —que es el término que ha llegado hasta hoy— con un matiz de operador inverso al ope­ rador diferencial, es decir, como la integral indefinida actual más que como la integral definida que es la que está subyacente en la noción de «suma». Jacob es quien enseña a su hermano el nuevo cálculo, a John (1667- 1748), los dos primeros de la familia Bernoulli que destacarán en el hacer matemático durante varias ge­ neraciones.

Y van a ser Leibniz y los dos primeros Bernoulli los grandes creadores, ya de modo definitivo, del Cál­ culo. Cierto que con tanteos, polémicas, rectificaciones... Pero como toda creación matemática, que jamás es una creación lineal, ni surgida como Venus...

Los tres, especialmente los dos hermanos entre sí, en competencia no siempre limpia, no siempre cortés sino llena de improperios, denuncias y retos, plasman el Análisis en, al menos, dos grandes líneas: en la aplicación a problemas físico-geométricos; en la crea­ ción de la Geometría diferencial.

• En la primera, se dan curvas como la isocrona de Leibniz y se modifican las condiciones en que la partícula se mueve haciendo que el medio, por ejemplo, posea una densidad inversamente proporcional a la ve­ locidad de caída de la partícula; surge la braquistó- crona; se estudian la loxodroma con su posible apli­ cación a la navegación, la catenaria...; se trabaja en cuestiones sobre la resistencia de sólidos y líquidos, de las leyes armónicas de los movimientos planetarios; se plantean cuestiones acerca de isoperímetros... Y en este trabajo se muestra esencial el método inverso de tangentes, es decir, la posibilidad de plantear las cues­ tiones en ecuaciones diferenciales, lo que conlleva a la búsqueda de métodos de resolución de las mismas.

• En la segunda, además de lo ya aportado por Leibniz en Nova methodus, donde se establece la con­ dición para que un punto sea de inflexión, se hacen unos aportes que quedarán posteriormente truncados, hasta finales del xvm , por la espectacularidad quizá de los resultados del primer grupo. En 1686 Leibniz habla del círculo de osculación —con el error de con­ siderar que se requieren cuatro puntos para su deter­ minación y sólo tras una advertencia de Jacob admite que basten tres—; se discute las evolutas y envolventes de una familia de curvas planas. John Bernoulli compu­ ta las tangentes a una curva plana y lo hace ejemplifi­ cándolo con la cicloide, la cisoide y la cuadratriz; introduce las coordenadas polares, halla los puntos de inflexión de la concoide y la versiera, habla del radio de curvatura y, siempre en polémica con su hermano Jacob, establece que los planos osculador y tangente a una curva alabeada, en el espacio, son perpendicu­ lares entre sí... En carta de John a Leibniz de 1698 aparece el término «trayectoria» de curvas, sean o no ortogonales en el plano...

Entretanto, John encuentra un discípulo especial: Guillermo Francisco Antonio, marqués de L’Hópital (1661-1704). Miope, no puede dedicarse al ejercicio de la guerra y se convierte, entre otras actividades, en matemático, ligándose al círculo de Malebranche, que mantiene correspondencia con Leibniz, aunque en temas filosóficos; pero es grupo que sigue de cerca los desarrollos científicos e interviene en alguno de ellos, especialmente el propio Malebranche en la Optica. El marqués de L’Hópital hace un extraño contrato con John Bernoulli por el cual éste le enseña matemáticas y se compromete a no dar publicidad a sus descu­ brimientos sino a mostrárselos por modo exclusivo al marqués. De las lecciones recibidas por parte de John, el marqués publica lo que puede calificarse de primer LXVI JAVIER DE LORENZO

ESTUDIO PRELIMINAR LXVII libro de texto del Análisis. Pero libro de texto creador, realizado en el mismo momento en el que se está for­ mando la teoría. Desde este punto de vista es un texto fundamental porque es el que permite cristalizar dicha teoría y se convierte en la clave orientadora de todo el Análisis posterior. El libro es Analyse des infinite- ment petits y se edita en París, en 1696, doce años después del primer ensayo fundacional de Leibniz. No entro en la polémica de si el libro es enteramente original del marqués de L’Hópital o meramente la edición pública de las lecciones recibidas de John, aun­ que sí cabe indicar que el marqués es matemático y participa activamente en el desarrollo del Análisis.

Cuesta Dutari ha reseñado que, entre 1684 y 1698, se publican 70 ensayos desarrollando el Cálculo infini­ tesimal en la línea leibniziana, además del libro del marqués de L’Hópital. Se deben agregar, entre 1699 y 1708, otros 33 artículos manejando el mismo Cálculo. A primeros del siglo xvm éste ha quedado definitiva­ mente como uno de los instrumentos clave del hacer matemático, incluso con deterioro o abandono de otras líneas, de aquellas que mencioné como creaciones des­ gajadas del hacer matemático del xvn.

2. Instrumento clave del hacer matemático, cierta­ mente. Pero con grandes problemas tanto en su funda- mentación como en su misma estructuración. Me limito, aquí, a señalar alguna de tales dificultades.

Hay que tener en cuenta que en el nuevo Análisis no se manejan de modo único las magnitudes «cono­ cidas» sino que se ha introducido un tipo especial de magnitud: el infinitésimo o indivisible o diferencial. Para Leibniz, dx o dy n o representan magnitudes nu­ méricas del tipo de los números reales, sino otro tipo de magnitudes, infinitésimos que, si bien poseen el mismo estatuto que los restantes números, siguen leyes for­ males o algoritmos algo distintos. Algoritmo que es

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el que pretende establecer, en el nuevo Cálculo dife­ rencial, Leibniz. Por este distinto tipo de orden de magnitud se tiene, por ejemplo, que una ecuación di­ ferencial no pueda interpretarse como se hace en la ac­ tualidad : como ecuación numérica cuya solución viene dada por una cuaterna de números reales, sino por una cuaterna en la cual se encuentran dos magnitudes reales y dos infinitesimales.

La introducción de estas nuevas magnitudes no se muestra como muy clara para los matemáticos del mo­ mento, ni para los posteriores, dado que su represen­ tación perceptiva, gráfica, se hace imposible y, al hacerlo mediante la gráfica del triángulo característico se pro­ voca un engaño al «ver» dicho triángulo con lados numéricos, finitos, cuando los mismos son diferencias. Para un Pascal, para un Leibniz, el infinitésimo es un elemento que impone la razón conceptual, como el punto en el infinito, aunque no lo capte el entendimiento. Y lo que puede hacerse es dar una justificación y expli­ car unas reglas de manejo de tales nuevas magnitudes y su enlace con las antiguas. Pascal dio esa justificación mediante el principio de incomparabilidad o postulado recíproco del postulado eudoxiano-arquimediano, y Leibniz acepta dicha justificación según se desprende de algunas de sus cartas, a la vez que formula las reglas de manejo de las diferencias.

Los demás matemáticos, incluso el propio marqués de L’Hópital en su tratado —o John Bernoulli—, seguirán ligados más bien a lo perceptivo y no a lo formal y verán el triángulo característico como forma­ do por magnitudes reales «muy pequeñas», pero numé­ ricas, y que tienden a cero cuando dx o el «incre­ mento» de la variable independiente se haga cada vez más pequeño. En este aspecto, identifican las diferen­ cias, los infinitésimos, con magnitudes reales y por ello el mecanismo se convierte en dar incrementos a la va-

ESTUDIO PRELIMINAR LXIX riable independiente, incrementos que, una vez sumados y comparados entre sí, pueden llegar a desvanecerse, no se sabe muy bien por qué, al ser magnitudes nu­ méricas.

Y es a estos últimos, a quienes no han comprendido la base ontológica de la clasificación pascaliana de mag­ nitudes homogéneas o numéricas y magnitudes no homogéneas o indivisibles, que sí comprendió Leibniz, a los que cabría acusar de falta de rigor, en cuanto a una fundamentación estricta del Análisis que manejan, al emplear los reales y los infinitésimos como si fueran del mismo orden de magnitud. Falta de rigor que Nieu- wemtijdt achacará a Leibniz ya en 1695 y que será retomada, con mayor motivo, por Berkeley, pero éste en ataque a las fluxiones newtonianas...

Elemento de fundamentación del Análisis que, por la continua crítica a que se sometió, hizo que los infini­ tésimos fueran desterrados del hacer matemático, tras una aparente aceptación por parte de Cauchy —quien, sin embargo, lo que admite es la existencia de mag­ nitudes reales constantes y magnitudes reales varia­ bles—. Destierro desde mediados del siglo xix por parte de los aritmetizadores del Análisis y por parte de Cantor desde la creación de su Teoría de conjuntos. Destierro por el cual la magnitud diferencia o infini­ tésimo se identifica con el operador diferencial, lo que supone un cambio conceptual absoluto respecto a las ideas de Leibniz. Cambio conceptual ya propiciado, por otra parte, por la inflexión que los hermanos Ber­ noulli dieron a ese cálculo, al estar más preocupados, por los resultados que por los fundamentos.

Por otro lado, para un lector actual habrá sorpren­ dido, quizá, que en todo este Ensayo introductorio no haya utilizado términos como «límite» o «función». Y no los he mencionado porque son términos que no aparecen en la literatura matemática del xvii y no he

querido «traducir» tal literatura a la notación matemá­ tica posterior.

En el caso de «límite», no sólo el término, sino el concepto al que hace referencia, es desconocido en el x v i i. Unicamente a partir de los desarrollos en serie, en la corriente británica, es como la noción de límite va a ir apareciendo, ligándose a esa torcida interpretación del triángulo característico, que he indicado antes, en la que aparecen magnitudes numéricas «muy pequeñas» que se aproximan a... Sin embargo, la noción de límite exige de la previa existencia del concepto «función».

Y este último sólo cristalizará a finales del siglo xvii apoyado en el enfoque cartesiano —identificación de curva con ecuación— y en el analítico donde la noción de «curva» hace el papel, en cierta manera, de «fun­ ción». Es Leibniz quien va variando, precisamente, la noción de curva en el sentido de distinguir en su expre­ sión analítica —sea algebraica o trascendente— la exis­ tencia, por un lado, de unos «parámetros» a, by c... o ingredientes constantes y que no son diferenciales, y por otro lado, de la abscisa y ordenada o coorde­ nadas de los puntos de la curva y que sí son di­ ferenciales. Y la expresión que relaciona éstas, «varia­ bles», es la expresión de la relación funcional o ecua­ ción. Y es lo que se plasma, ya, en De geometría re­ cóndita. Después, en 1692 —MS V, 266-269— emplea el término función para la curva, con sus «constantes» y «variables». John Bernoulli, en 1697, toma el mismo enfoque y adopta la frase de Leibniz, «función de x» para designar una cantidad formada por constantes y variables, y ello de cualquier manera, es decir, cubrien­ do lo algebraico y lo transcendente. Leibniz, en su Historia —MS V, 392-410— utiliza «función» para in­ dicar cantidades que dependen de una variable. Y John llegará a escribir X o \ para la función general de x, notación que cambia hacia 1718 por cpx.

ESTUDIO PRELIMINAR LXXI Sólo lentamente, y siempre mediante la admisión de la curva como idéntica a su ecuación, y del paso de ambos conceptos al nuevo enfoque de relación funcio­ nal entre las variables que intervienen en dicha ecua­ ción, puede considerar Leibniz no ya las curvas sino las funciones trascendentes como la logarítmica, las trigonométricas, la exponencial... Sólo después de un cambio conceptual que conduce al establecimiento de «función» que exige la relación entre, al menos, dos variables a través de su expresión característica, podrá hablarse, ya con sentido, de la noción de límite de una función en un punto.

Y es algo que los historiadores no parecen tener en cuenta y prefieren «traducir» las expresiones de los ma­ temáticos del xvn a expresiones de límites de funciones, cuando son términos que carecen de sentido en esta época. Al no manejarse los mismos se llega a calificar a esta Matemática, a la calificada por Descartes como de aproximación, como de no rigurosa, ni bien funda­ mentada. Y ello sólo sería correcto si el único criterio de medida valorativa fuera, precisamente, el concepto de límite. Lo cual, por supuesto, no es cierto. Y tan no lo es que Leibniz pudo crear su Cálculo sin necesidad del mismo. Eso sí, manejando otros criterios: básica­ mente, haciendo uso de cantidades tanto numéricas o reales, como no numéricas o diferenciales.