Open laparoscopy technique

b. Resolución del Eig

i. Valores p ii. Vectores iii. Gráficas iv. Frecuenci v. Comentar 3. Desarrollo de condiciones a. Resortes b. Disco c. Caso de disco y re 4. Modelación de una viga fi a. Condiciones de fr b. Resolución del Eig c. Frecuencias natur 5. Análisis de frecuencias na a. Efecto de la masa b. Efecto del amortig c. Implementación d 6. Conclusiones

69

Capítulo IV

mortiguamiento en el análisis de las

na modelación de fisura y disco utiliza

elementos viga continuos

ga simplemente apoyada con dos elementos e frontera

l Eigen Problema es propios

res propios

encias naturales temporales

ntarios sobre la validez de los resultados numéricos nes de frontera para discos y resortes

y resortes entre dos vigas

ga fisurada, simplemente apoyada, con un disco e frontera l Eigen Problema aturales temporales s naturales asa ortiguamiento ión de la fisura

las frecuencias

ilizando dos

icos

1.

Introducción

En el capítulo anterior se introdu una modelación de vigas utilizand frontera simples. La resolución de la metodología para estudiar caso En este capítulo, se analizan sist Bernoulli. Este desarrollo se pued Cada viga se describe con las ecu (dos en ambos extremos). Por l frontera, con ocho variables, lo qu En una primera parte se hace un de dos elementos. Se escriben la Eigen Problema. Una comparació en el capítulo anterior permite condiciones de frontera correspo viga, y se implementan en la mo utilizando resortes negativo, y se frecuencias naturales.

2.

Modelación de una

En este ejemplo, se considera do la misma ecuación de Euler-Be exactamente en el extremo izquie empotradas una con la otra, por lo Siguiendo la metodología expuest las condiciones de frontera. Esto ecuaciones para obtener el Eig frecuencias naturales espaciales y Figura 4.1 –

70

rodujo la nueva modelación que se utiliza a continu zando las ecuaciones continuas de Euler-Bernoulli, n de las ecuaciones de movimiento en estos casos s casos más complejos.

sistemas de dos vigas, cada viga regida por las ec uede ampliar después a más vigas, siguiendo el mis ecuaciones continuas, con cuatro ecuaciones cond or lo tanto, un sistema de dos vigas consta de o o que conduce a la resolución de una matriz de 8x8.

una primera modelación de una viga simplemente n las ocho condiciones de frontera correspondient ación con la viga simplemente apoyada de un solo e

ite comprobar los resultados. En la segunda parte spondiendo a la presencia de una masa y resortes e modelación en la tercera parte. En la cuarta parte y se observa el efecto de esos resortes y del amor

na viga simplemente apoyada con dos e

dos elemento viga idénticos, excepto por su longitu Bernoulli (3.14). Se supone que las articulacion quierdo de la viga a, y en el extremo derecho de la v

or lo que debe de existir una continuidad l en el p uesta en el capítulo anterior, la primera etapa cons Esto hecho, se sustituye la ecuación de movimien Eigen Problema. La resolución de este problem les y los modos de vibración de la viga.

– Viga simplemente apoyada con dos elementos

tinuación. Se presentó ulli, con condiciones de os simples permitió ver

s ecuaciones de Euler- l mismo procedimiento.

ondiciones de frontera e ocho ecuaciones de 8x8.

ente apoyada, formada ientes, y se resuelve el olo elemento estudiada arte se desarrollan las es en un extremo de la arte se simula la fisura mortiguamiento en las

os elementos

ngitud, que obedecen a aciones se encuentran la viga b. Las vigas son el punto de reunión. consiste en definir bien

iento (3.19a) en estas blema proporciona las

a. Condiciones de fron

Cada viga tiene dos condiciones extremo izquierdo de la viga a. En los desplazamientos, ángulos, m articulación se encuentra en ƒ Las dos vigas obedecen a la mism Por ser dos vigas, son dos ecuacio

Ñ3-ƒ. ¶kcos

Ñ -ƒ. ¶žcos

Las amplitudes ¶_K son diferente resolviendo el eigen problema, e

I0 kJ, mientras la segunda en el

continua l.

Utilizando las condiciones de fro (3.20b), y por continuidad donde s Simplemente apoyado en ƒ 0:

Simplemente apoyado en ƒ :

Continuidad de desplazamientos,

Las diferentes derivadas de la ecu frontera (4.2), ya se calcularon en (3.23) y (3.36). En el caso de la vig

71 frontera

nes de frontera en cada extremo. Se define el ori . En ƒ _k, las dos vigas son empotradas una con s, momentos y cortantes son continuos en este

k; ) .

isma ecuación de movimiento (3.19) obtenida en e aciones

cos-Óƒ. ; ¶)sin-Óƒ. ; ¶lcosh-Óƒ. ; ¶msinh-

cos-Óƒ. ; ¶•sin-Óƒ. ; ¶òcosh-Óƒ. ; ¶õsinh-

ntes en cada viga, sin embargo, la frecuencia a, es la misma. La primera ecuación tiene su vali n el intervalo I _k J. En _k las ecuaciones deben con

frontera correspondiendo a una articulación, dad de se reúnen las dos vigas, las condiciones de fronte

: Ñ3-0. 0 G z•_Ô¥ z •Û_œ 0. : Ñr- . 0 G z•_Ô z • Û_ä 0.

tos, ángulos, momentos y cortantes en ƒ _k:

Ñ3- kX. Ñr- Šk. G zÔ¥ z Û_ä G zÔ z Û_ä G z•_Ô¥ z •Û_ä Gz •_Ô z • Û_ä G zÝ_Ô¥ z ÝÛ_ä Gz Ý_Ô z Ý Û_ä .

ecuación (4.1), que se sustituyen en las ecuaciones n en los ejemplos del capítulo anterior. Están dadas viga a (para la viga b son similares, sólo cambian los

l origen del eje ƒ en el con la otra, por lo tanto ste punto. La segunda

en el capítulo anterior.

-Óƒ.

-Óƒ.. (4.1)

cia Ó, que se obtiene validez en el intervalo conectarse de manera

dadas por la ecuación ontera son:

(4.2a)

(4.2b)

(4.2c)

ones de condiciones de adas por las ecuaciones

Ñ3 ƒ -ƒ. #Ó¶ksin )_Ñ 3-ƒ. ƒ) #Ó)¶kcos l_Ñ3-ƒ. ƒl Ól¶ksin

Sustituyéndolas en las ecuaciones

# cos-Ó k. ¶k# sin-Ó k. ¶)# cosh

Ó sin-Ó k. ¶k# Ó cos-Ó k. ¶)# Ó sinh-

Ó)_cos-Ó

k. ¶k; Ó)sin-Ó k. ¶)# Ó)cosh-

#Ól_sin-Ó

k.¶k; Ólcos-Ó k.¶)# Ólsinh-

#Ó)_cos

Este sistema forma el Eigen Probl

© ª ª ª ª ª ª « _#Ó1) # cos-Ó k. Ó sin-Ó k. Ó)_{cos-Ó k.} #Ól_sin-Ó k. 0 0 G … … … cos … #Ó sin … #Ó)_cos … Ól_sin … cos … #Ó)_cos

Las dos matrices anteriores form espacio se escribió en dos partes.

b. Resolución del Eige

El sistema ya se complicó bastant puede observar que las dos prim resolver manualmente. Con el fin

72

sin-Óƒ. ; Ó¶)cos-Óƒ. ; Ó¶lsinh-Óƒ. ; Ó¶mcosh

cos-Óƒ. # Ó)_{¶)sin-Óƒ. ; Ó})_{¶lcosh-Óƒ. ; Ó})_¶m

sin-Óƒ. # Ól_¶

)cos-Óƒ. ; Ól ¶lsinh-Óƒ. ; Ól¶mcosh

nes (4.2), resulta

¶k; ¶l 0

#Ó)_¶

k; Ó)¶l 0

cosh-Ó k. ¶l# sinh-Ó k.¶m; cos-Ó k. ¶ž; sin-Ó k.¶•; cosh-

-Ó k. ¶l# Ó cosh-Ó k. ¶m# Ó sin-Ó k. ¶ž; Ó cos-Ó k.¶•; Ó sinh

-Ó k. ¶l# Ó)sinh-Ó k. ¶m# Ó)cos-Ó k.¶ž# Ó)sin-Ó k. ¶•; Ó)

-Ó k. ¶l# Ólcosh-Ó k. ¶m; Ólsin-Ó k. ¶ž# Ólcos-Ó k. ¶•; Ó

cos-Ó . ¶ž; sin-Ó . ¶•; cosh-Ó . ¶ò; sinh-Ó . ¶õ 0

cos-Ó . ¶ž# Ó)sin-Ó . ¶•; Ó)cosh-Ó . ¶ò; Ó)sinh-Ó . ¶õ 0

roblema siguiente, escrito en forma matricial:

0 1 0

0 Ó) ₀

# sin-Ó k. # cosh-Ó k. # sinh-Ó k.

#Ó cos-Ó k. #Ó sinh-Ó k. #Ó cosh-Ó k.

. Ó)_{sin-Ó k. #Ó})_{cosh-Ó k. #Ó})_{sinh-Ó k.}

. Ól_cos-Ó k. #Ólsinh-Ó k. #Ólcosh-Ó k. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

cos-Ó k. sin-Ó k. cosh-Ó k. sinh

sin-Ó k. Ó cos-Ó k. Ó sinh-Ó k. Ó cosh

cos-Ó k. #Ó)sin-Ó k. Ó)cosh-Ó k. Ó)sinh

sin-Ó k. #Ólcos-Ó k. Ólsinh-Ó k. Ólcosh

cos-Ó . sin-Ó . cosh-Ó . sinh cos-Ó . #Ó)_{sin-Ó . Ó})_{cosh-Ó . Ó})_sinh

orman en realidad una misma, de tamaño 8x8, que tes.

Eigen Problema

tante, en comparación con los casos de una sola vi rimeras líneas son muy similares al caso anterior, y l fin de simplificar el sistema y por lo tanto mejorar l

cosh-Óƒ. sinh-Óƒ. cosh-Óƒ. . -Ó k. ¶ò; sinh-Ó k. ¶õ 0 sinh-Ó k.¶ò; Ó cosh-Ó k.¶õ 0 )_cosh-Ó k. ¶ò; Ó)sinh-Ó k. ¶õ 0 Ól_sinh-Ó k. ¶ò; Ólcosh-Ó k. ¶õ 0 0 . (4.3) … … . … . … . … . … … … G 0 0 sinh-Ó k. cosh-Ó k. sinh-Ó k. cosh-Ó k. sinh-Ó . sinh-Ó . ¯° ° ° ° ° ° ° ± ¶k ¶) ¶l ¶m ¶ž ¶• ¶ò ¶õ 0. (4.4) que por cuestiones de

la viga. Sin embargo, se or, y este caso se podía rar la solución, en lugar

de resolver todo analíticamente, l combinación de los dos métodos, Las dos primeras ecuaciones del s

Estas ecuaciones son exactamen deducir (3.26)

Sustituyendo estas variables en e dos líneas, que corresponden corresponden a las variables ¶_k y

© ª ª ª ª ª

« # sin-Ó_{#Ó cos-Ó}k. # sinh-Ó k.

k. #Ó cosh-Ó k. Ó)_sin-Ó k. #Ó)sinh-Ó k. Ól_{cos-Ó k. #Ó}l_{cosh-Ó k.} 0 0 0 0

El problema se escribe todavía Problema.

Valores propios

Siguiendo la metodología, con un los valores propios de la matriz, es apéndice 7), se obtiene

Se puede observar que aunque la simplifica y desaparece. Este re continuamente formando una sim lo único importante es su forma fi Este determinante vale 0 para los simplemente apoyada, en la ecua

73

, lo que sería muy complicado, o todo numéricam os, empezando con una pequeña simplificación ana el sistema (4.3) son las siguientes:

E_#Ó)¶_¶k; ¶l 0 k; Ó)¶l 0G.

mente las mismas que en el caso de un solo elem

¶k ¶l 0.

en el sistema, se obtiene la siguiente matriz (que p a las dos ecuaciones utilizadas, y las columna

y ¶_l).

. cos-Ó k. sin-Ó k. cosh-Ó k.

. #Ó sin-Ó k. Ó cos-Ó k. Ó sinh-Ó k.

. #Ó)_cos-Ó

k. #Ó)sin-Ó k. Ó)cosh-Ó k.

. Ól_{sin-Ó k. #Ó}l_{cos-Ó k. Ó}l_{sinh-Ó k.}

cos-Ó . sin-Ó . cosh-Ó . #Ó)_{cos-Ó . #Ó})_{sin-Ó . Ó})_{cosh-Ó .}

avía bajo la forma ¨-Ó. ¬ S 0, entonces sigue

un sistema un poco simplificado, la siguiente etapa iz, es decir las Ó que cancelan el determinante. Utiliz

det'¨-Ó./ 8Óõ_{sin-Ó . sinh-Ó ..}

e la constante _k aparezca en la matriz, al calcular e resultado es lógico, ya que los dos elemento

simplemente apoyada. El punto donde se reúnen a final. Los valores propios no pueden depender de los mismos valores Ó₈ encontrados en el capítulo cuación (3.29)

Ó8 ë, „ ê¬.

camente, se realiza una analítica.

elemento, y permitían

ue perdió sus primeras nas uno y tres, que

. sinh-Ó k. . Ó cosh-Ó k. . Ó)_sinh-Ó k. . Ól_{cosh-Ó k.} sinh-Ó . . Ó)_{sinh-Ó . ¯}° ° ° ° ° ± ¶) ¶m ¶ž ¶• ¶ò ¶õ 0. (4.5) igue siendo un Eigen

apa consiste en buscar tilizando MATLAB (ver

(4.6) ular el determinante se entos vigas se juntan nen no importa, ya que

r de este punto.

Vectores propios

El siguiente paso consiste en det metodología es la misma que en lo Primero, es necesario fijar arbitr ejemplo con un solo elemento vig El paso siguiente es suprimir una este sistema sería la ecuación en es el número de funciones trigono El sistema (4.5) modificado es el s © ª ª ª ª

« # sinh-Ó_{#Ó cosh-Ó}k. cos-Ó

k. #Ó sin

#Ó)_sinh-Ó

k. #Ó)cos

0 cos-

0 #Ó)_cos

MATLAB (apéndice 7) resuelve el resultados, ya con ¶_k, ¶₎ y ¶_l agre

Sk 0 1 0 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 Sm 0 1 0 #0.0000 #0.0010 0.9909 #0.0063 0.0063 74

determinar los vectores propios asociados a estos en los ejemplos anteriores.

bitrariamente una ¶ æ 0, a un valor igualmente di viga, se eligió ¶₎ 1, por lo tanto se hace lo mismo una ecuación que se volvió redundante. La ecuació

en Ól, aunque realmente lo que hace la complejid onométricas o hiperbólicas, y no las potencias de Ó el siguiente:

-Ó k. sin-Ó k. cosh-Ó k. sinh-Ó

sin-Ó k. Ó cos-Ó k. Ó sinh-Ó k. Ó cosh

cos-Ó k. #Ó)sin-Ó k. Ó)cosh-Ó k. Ó)sinh

-Ó . sin-Ó . cosh-Ó . sinh- cos-Ó . #Ó)_{sin-Ó . Ó})_{cosh-Ó . Ó})_sinh

#

# sin #Ó cos

Ó)_sin

e el sistema y obtiene los vectores propios. Se obti agregados, para los seis primeros modos, en el caso

0000 0000 0000 0000 0000 , S) 0 1 0 0.0013 0.0119 0.9783 0.0230 #0.0229 , Sl 0 1 0 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 #0.0000 , 0000 0010 9909 0063 0063 , Sž 0 1 0 #0.0000 0.0000 1.0000 #0.0040 0.0040 , S• 0 1 0 #0.0000 0.0060 1.0280 0.0029 #0.0029 . os valores propios. La e diferente de 0. En el ismo aquí. ación más compleja en lejidad de una ecuación

Ó. -Ó k. cosh-Ó k. sinh-Ó k. -Ó . sinh-Ó . ¯° ° ° ° ± ¶m ¶ž ¶• ¶ò ¶õ sin-Ó k. cos-Ó k. sin-Ó k. 0 0 . (4.7)

obtienen los siguientes aso _k ä

)

Gráficas

Una vez obtenidas las frecuencia necesarias para poder graficar los se obtiene la gráfica siguiente (fig

La figura 4.2 es igual a la figura 3 los resultados. En esta figura, com elementos vigas son de igual tama a la primera viga, con línea contin la continuidad en desplazamiento para los modos impares), y de am rápidamente si los resultados son simétricos.

Frecuencias naturales tempora

Las frecuencias naturales tempo capítulo anterior, ya que depende que eran idénticas. Son dadas por

Estas frecuencias fueron calculada Young, densidades, etc. Los valore Figura 4.2 – 4 primeros modo

75

ncias propias y los vectores propios, se calcularon t r los modos de vibración. Sustituyendo los valores e

(figura 4.2), para los cuatro primeros modos:

ra 3.11 del capítulo anterior. Se comprueban por lo , como para el cálculo de los vectores propios, se s tamaño /2. Se puede diferenciar en la figura la par

ntinua, y a la segunda viga, con línea discontinua. Se entos y ángulos. Además, los modos salen simétrico e amplitud igual. Esta observación es un buen méto

son creíbles o no. Ya que la viga es simétrica, los m

porales

mporales (V_K) son obviamente las mismas que se nden directamente de las frecuencias naturales esp por la formula (3.14):

V8

9 ã 7#9)_{; 4º‚ÅS “ ë–}m

2ÅS

ladas en la última parte del capítulo anterior con va lores aparecen en la tabla (3.2).

odos de una viga simplemente apoyada formada de

on todas las incógnitas es en la ecuación (4.1),

or lo tanto el método y se supone que los dos parte que corresponde a. Se puede comprobar tricos (o antisimétricos étodo para comprobar s modos deben de salir

e se obtuvieron en el espaciales, y se verificó

n valores de módulo de a de dos elementos

Comentarios sobre la validez d

En todos los programas escritos modos de vibración, se utilizó la f bastante arbitraria, ya que MA métodos de resolución diferentes En las pruebas que se hicieron p sistemas, si unas (pocas) dieron funcionaron bien, por lo que se e casos de resolución de sistemas m supere. Se necesitaría investigar por cada función, y cual se adapta Las funciones que propone MATLA

• bicg: biconjugate gradie

• bicgstab: biconjugate g

• cgs: conjugate gradient s

• gmres: generalized minim

• lsqr: LSQR implementat

• minres: Minimum residu

• pcg: Preconditioned conj

• qmr: Quasiminimal residu

• symmlq: Symmetric LQ

En realidad, a lo largo de la in numéricos aparecieron. Se come determinante de la matriz del sist Este es uno de los problemas. Sin por la forma en que se desarro redacción de la tesis, guiar el inve como la selección de la ecuación se fija arbitrariamente. Sin emba obtener una solución buena. Y no parece. Es por eso necesario utiliz Otro punto importante que se de teoría no debería de importar e embargo, numéricamente, esto in fácilmente que una matriz que no de resolver que una matriz que te En este caso en particular de do forma matricial el sistema de ecu

76

ez de los resultados numéricos

tos para resolver los sistemas de ecuaciones con e la función MATLAB bicg. La elección de esta func

MATLAB propone varias funciones diferentes, ca ntes.

on para comparar las diferentes funciones MATLA eron resultados incorrectos, o demasiado aproxi se eligió una entre ellas, sin otro criterio. Puede ocu

as más complejos, bicg no sea la más óptima, y

ar con más tiempo y dedicación, qué métodos numé aptaría más a los casos estudiados aquí.

ATLAB son las siguientes: adient

ate gradient stabilized nt squared

inimum residual

ntation of Conjugate Gradients on the Normal Equat esidual

conjugate gradient sidual

investigación que se llevó a cabo en esta tesis omentó en el capítulo III que por los grandes valo l sistema, los valores propios se tenían que obtener

Sin embargo, la complejidad de los sistemas resuelt arrollaron, resultados numéricos incorrectos. Se investigador que desea repetir los cálculos, proponie

ión a suprimir, o la elección de la componente del v mbargo, es muy probable que varios intentos se

no es siempre fácil saber si una solución es realme tilizar un método numérico de resolución adecuado e debe de tomar en cuenta es la forma de la matriz ar en qué orden se escriben las ecuaciones en f to influye mucho. Una matriz “acondicionada” se re e no lo ha sido. Por ejemplo, una matriz diagonal inf

e tenga una forma cualquiera.

e dos elementos vigas empotrados, lo siguiente oc ecuaciones de frontera, se realizó lo siguiente: las

n el fin de calcular los función fue en realidad s, cada una utilizando

TLAB de resolución de roximados, la mayoría ocurrir que en algunos a, y que otra función la uméricos son utilizados

quations

tesis, varios problemas valores que tomaba el ner con gran precisión. ueltos pueden generar, Se intentó, durante la oniendo unos consejos, del vector propio ¶ que s sean necesarios para lmente buena, o sólo lo ado.

triz que se resuelve. En n forma matricial. Sin e resuelve mucho más l inferior será más fácil

e ocurrió. Al poner en las dos primeras líneas

de la matriz corresponden a las co a las condiciones en medio, en ƒ

ƒ (matriz de la ecuación (4.4) Pero si se intercambian las 4 ecua en el orden siguiente: dos en ƒ correctos, aunque en teoría el si solución no se modifica en nada matrices para simplificar la reso adicional sería necesaria en un tra

3.

Desarrollo de condi

En el capítulo anterior se come articulados, deslizantes o empotra 0. De manera general, un concept especificar ya sea el valor de una fuerza asociada (fuerza o momen y (3.8)

Una condición geométrica, que e suficiente para imponer tal movim transversales necesita dos condic en un extremo, las condiciones de Los cálculos a continuación se efe

·. El caso 0ƒA (desplazamientos

a. Resortes

En caso de la presencia de un r deformación de dicho resorte, presenta, para movimientos trans el extremo derecho. La idea bás (resorte transversal y resorte to desplazamiento positivo, y luego eliminar la fuerza.

77

s condiciones de frontera en ƒ 0, las cuatro siguie

ƒ k, y las dos ultimas (líneas 7 y 8) a las condici

(4.4)). Con el sistema escrito así, bicg proporciona

ecuaciones en medio, con las dos en ƒ , es decir

0, dos en ƒ , y cuatro en ƒ _k, bicg ya n

el sistema es igual: al hacer movimientos entre lín ada. Una rama de las matemáticas estudia el aco resolución numérica de sistemas de ecuaciones. n trabajo futuro.

ndiciones de frontera para discos y reso

omentó de las condiciones de fronteras básicas, otrados. En estos casos unas reacciones, o unos mo cepto fundamental de mecánica es que en cualquie una coordenada generalizada (desplazamiento, ángu

ento), pero ambos no, ya que están vinculados por

" ºS½{_½ ¨ º‚½_½•¾•

 #½È_½

ue en este caso sería , ·,½ö

½ o ½¾

½ , requiere una fu

ovimiento. Por lo tanto, la resolución de las ecuacio ndiciones en cada extremo. En caso de presencia

s de frontera se complican un poco.

fectúan en el plano ƒB, es decir para desplazami tos ) es, por simetría, igual.

n resorte, el desplazamiento de la extremidad de e, lo que conduce a la aparición de una fuerza int ransversales, las diferentes maneras en que resorte básica, al construir la condición de frontera asoci e torsional), consiste en caracterizar la fuerza inte

ego utilizar las relaciones entre fuerza y desplaz

iguientes corresponden diciones de frontera en ona buenos resultados. ecir si se implementan ya no da los resultados e líneas o columnas, la acondicionamiento de nes. Una investigación

resortes (96)

icas, para casos libres, movimientos, se hacen quier sistema, se puede ángulo), o el valor de la or las relaciones (3.4) (4.9) a fuerza de restricción aciones de movimiento de resortes o masas amientos transversales de la viga provoca la interna. La figura 4.3 ortes pueden actuar en sociada a ambos casos interna basada en un plazamiento (4.9) para

Para el caso de desplazamientos e en las figuras (3.2) y (3.4). Un des lo tanto la fuerza correspondiente entre fuerza y desplazamiento, se

Si el módulo de Young º y el mom

El caso de un resorte torsional e sentido opuesto de las agujas del sentido opuesto. Sin embargo, u dirección de las ƒ positivas, es en frontera es, para el lado derecho,

Para el caso del extremo izquierd ecuaciones es solamente un camb

b. Disco

Cuando un disco está presente en pueden obtener aislando el disco fuerzas internas deben de describ 4.4 presenta una viga con un disc desplazamientos transversales.

Figur

78

os en flexión, la convención de signos es muy impor desplazamiento positivo · en el extremo derecho iente del resorte transversal es _4N· hacia abajo. U

, se obtiene la condición de frontera siguiente:

¸ ¸ƒ º‚¸

)_·

¸ƒ) 4N·.

omento de inercia ‚ no dependen de ƒ, resulta:

º‚½_½Ý¾Ý 4N·.

nal es similar. Una rotación positiva ½¾_½ en el extre del reloj, por lo tanto el resorte torsional ejerce u o, un momento positivo en la sección transversal s en sentido opuesto de las agujas del reloj, por lo ta

ho,

º‚½_½•¾• # 4ON½¾_½ .

uierdo de la viga, el procedimiento es similar. La c ambio de signo.

e en un extremo, ejerce fuerzas internas. Las condici isco en un diagrama de cuerpos libres. Para evitar e scribirse respetando las convenciones para valores disco en su extremo derecho, y las fuerzas internas igura 4.3 – Condiciones de frontera Resortes

portante. Se establece cho es hacia arriba, por . Utilizando la relación

(4.10)

xtremo derecho es en ce un torque _4ON½¾_½ en sal, cuya normal va en lo tanto la condición de

(4.11)

La consecuencia en las

diciones de frontera se tar errores de signo, las res positivos. La figura rnas consideradas para

Si la masa en el extremo de la vig efectos de inercia rotatoria. Sin significante de la longitud de la vig

Suponiendo un disco de espesor que el desplazamiento del disco positivo, al aplicarse a la sección por lo tanto la fuerza que la barr de movimiento del bloque es – Â

Para los efectos de inercia rotat ecuación de movimiento del desplazamiento, resulta

Aquí también es sumamente im errores futuros. Igualmente, en ca se inversan los signos.

c. Caso de disco y reso

Para la modelación que utiliza a c de un disco y resortes montados ecuaciones de frontera se convier para el extremo derecho (caso de Fig

79

viga se puede considerar como una partícula, se p Sin embargo, en el caso de un disco cuyo rad

In document A study of Inguinal Herina Repair (Page 45-53)