Entonces, si ponemos todo lo anterior junto, nos queda u(t, x) = P (T > t)e−H0tf (x)+ Z t 0 P (T ∈ dy) Z ∞ −∞ P (x+x1(s)∈ dy)u2(t−s, y) o lo que es lo mismo u(t, x) = e−te−H0tf (x) + Z t 0 e−se−sH0u2(t− s, x)ds.
Comprobamos que u(0, x) = f (x).
Hacemos el cambio s′ = t− s logrando
u(t, x) = e−te−H0tf (x)−
Z t
0
es′−te(s′−t)H0u2(s′, x)ds′.
Ahora derivamos en t y nos queda ∂u(t, x) ∂t =−e−te−H 0tf (x) + e−t(−H 0)e−H0tf (x) + u2(t, x)− Z t 0 ∂ ∂t es′−te(s′−t)H0u2(s′, x) ds′
Conclu´ımos observando que este ´ultimo t´ermino es el que completa−u y uxx. Hemos visto as´ı que u(t, x) verifica la ecuaci´on (3.3) con el dato inicial f .
La regularidad no es problema, pues de la expresi´on anterior y las suavidad de f y de la difusi´on considerada se desprende.
Vimos anteriormente c´omo obtener f´ormulas de representaci´on de ecua- ciones lineales, ´este es el primer ejemplo para una ecuaci´on no lineal. Un es- tudio m´as detallado se puede consultar en [McK]. Esta idea de una part´ıcula que se difunde y se ramifica se puede utilizar para otras ecuaciones parab´oli- cas semilineales, siempre que tengan una no-linealidad polin´omica.
3.3.
Una aplicaci´on a una ecuaci´on hiperb´olica:
Feynman y la mec´anica cu´antica
En esta secci´on veremos la integral de caminos de Feynman y c´omo se relaciona con los objetos definidos en los cap´ıtulos anteriores. Nos res- tringiremos a una dimensi´on espacial, pero la generalizaci´on es inmediata. Intentaremos ser fieles a la notaci´on, que es distinta de la que hemos usado a lo largo de todo el texto, y a los manejos de Feynman, por lo que el esp´ıritu de esta secci´on es avanzar sin preocuparnos mucho por el rigor10. Creemos
10Feynman dice en [FH] ’The physicist cannot understand the mathematician’s
care in solving an idealized physical problem. The physicist knows the real pro- blem is much more complicated. It has already been simplified by intuition, which discards the unimportant and often approximates the remainder.’
54 CAP´ITULO 3. ECUACIONES PARAB ´OLICAS
que este tema tiene un inter´es hist´orico adem´as del inter´es acad´emico, por lo que el conservar la notaci´on y los c´alculos formales es lo m´as apropiado.
Hemos visto como obtener soluciones de algunas ecuaciones en derivadas parciales por medio de una integraci´on funcional. Vamos a aproximarnos a la mec´anica cu´antica con esta idea. Sin embargo, pese a ser una idea bonita11 est´a mucho m´as extendida entre los f´ısicos que entre los matem´aticos.
Desde un punto de vista matem´atico no es una t´ecnica satisfactoria com- pletamente por haber problemas con las medidas en las funciones conside- radas. As´ı Feynman en su art´ıculo [Fe] dice:
The formulation given here suffers from a serious drawback. The mathematical concepts needed are new. (...) One needs, in adittion, an appropiate measure for the space of the argument functions x(t) of the functionals.
Para la exposici´on de estas ideas seguiremos de cerca el art´ıculo [Fe] (que no es m´as que una revisi´on de la t´esis [Fe2]).
Comenzaremos con una especie de ecuaciones de Chapman-Kolmogorov (ver cap´ıtulo 1).
Sean A, B, C tres mediciones del estado de un sistema tal que lo deter- minen completamente. Sea Pab la probabilidad de que, dado A = a, se tenga
B = b. De forma similar se define Pbc. Entonces si asumimos independencia
se tiene, si Pabc es la probabilidad de que, dado A = a, se tenga B = b y
C = c, Pabc= PabPbc y esperamos la relaci´on Pac = X b Pabc.
Esta es la diferencia fundamental entre la mec´anica cl´asica y la cu´antica. En la cl´asica la ecuaci´on anterior es cierta, mientras que en cu´antica no lo es. El motivo es que un sistema no tiene por qu´e tener un estado intermedio b definido, y hay que medir (y por lo tanto interferir con el sistema) para que sea verdad dicha ecuaci´on.
Lo que s´ı es cierto es que existen n´umeros complejos tales que Pab =|φab|2, Pbc=|φbc|2, Pac =|φac|2 y se cumple12 φac = X b φabφbc.
11Al menos en la humilde opini´on del autor.
3.3. FEYNMAN Y LA MEC ´ANICA CU ´ANTICA 55
La interpretaci´on de esta ecuaci´on es que la probabilidad de que una part´ıcula vaya de a a c se puede representar como el cuadrado de una suma de cantidades complejas, cada una asociada a un camino posible.13 Vamos
intuyendo as´ı el resultado principal.
Conocemos el principio de m´ınima acci´on, que dice que en un sistema
cl´asico la trayectoria es la que minimiza la acci´on
A =
Z tb
ta
L(X′(t), X(t), t)dt
dondeL es el lagrangiano del sistema. Por ejemplo en un sistema que conste de una part´ıcula de masa m movi´endose bajo la influencia de un potencial V (x) el lagrangiano es
1 2m(X
′(t))2− V (X(t)).
Comentario 14 Lo cierto es que nuestra trayectoria no tiene por qu´e ser un m´ınimo, basta con que sea un punto cr´ıtico del funcional considerado. En este contexto se utilizan las ecuaciones diferenciales para resolver un problema variacional, en otros contexto es justamente al rev´es, se resuelve un problema variacional para resolver una EDP (por ejemplo el problema de Dirichlet para la ecuaci´on de Poisson). As´ı, seg´un dijimos anteriormente, si P (ta, xa, tb, xb) es la probabilidad de que nuestra part´ıcula14 se mueva del
punto xa en tiempo ta= 0 al punto xb en tiempo tb = T se tiene
P (b, a) =|K(ta, xa, tb, xb)|2
para cierta funci´on K que cumple que es suma de las contribuciones de los caminos posibles
K(ta, xa, tb, xb) =
X
caminos de (ta, xa) a (tb, xb)
φ(X(t))
Comentario 15 Es necesario observar que en ning´un momento hemos dicho qu´e caminos son los considerados, pero el fijar ambos puntos extremos sugiere el espacio definido en (1.16). Los f´ısicos no suelen dejar expl´ıcito qu´e espacio funcional consideran.
La idea ahora es que todos los caminos contribuyen, pero lo hacen de manera distinta. En concreto se tiene
φ(X(t)) = Cei/~A (X(t))
13Sin considerar efectos relativistas ni esp´ın.
14Aqu´ı consideramos la medida de Wiener condicionada, es decir, que tiene fijos ambos
extremos, pero eso no ha de preocuparnos (ver cap´ıtulo 1), pues es esencialmente igual a la medida de Wiener que usamos en las secciones anteriores.
56 CAP´ITULO 3. ECUACIONES PARAB ´OLICAS
donde C es una constante para normalizar.
F´ısicamente significa que nuestra part´ıcula, digamos un fot´on, viaja por
’todos’ los caminos posibles entre dos puntos, pero cada uno contribuye
en una fase distinta. Esto no es m´as que la dualidad onda-part´ıcula de de Broglie.
Antes de continuar vamos a pensar c´omo recuperamos la mec´anica cl´asica al hacer la constante de Planck15tender a cero. Surgen aqu´ı de forma natural
las consideraciones acerca de la escala en la que la mec´anica cu´antica es v´alida. A estos l´ımites se les suele llamar ’l´ımites semicl´asicos’, pues no son
cl´asicos (~6= 0) pero el sistema se comporta casi como si lo fuera.
Si hacemos una perturbaci´on peque˜na en la escala cl´asica la contribuci´on de la acci´on es peque˜na en la escala cl´asica, pero no as´ı en la escala de la constante de Planck, donde los cambios son grandes. Entonces nuestro ´
angulo16 oscila mucho de forma que la contribuci´on total es cero. Esto es porque si consideramos un camino, X1, que no es un punto cr´ıtico de la
acci´on existe otro camino, X2, cercano al primero y tal que la contribuci´on
de X2 es la de X1 pero con el signo contrario. Por lo tanto s´olo hemos de
considerar caminos contenidos en la vecindad de X, donde X es tal que es punto cr´ıtico de la acci´on. As´ı en el l´ımite cl´asico (~ → 0) el ´unico camino que cuenta es el punto cr´ıtico del funcional.
Para definir la integral en los caminos consideramos una sucesi´on de tiempos17, t
i = ta+ εi, i = 0, 1, ...N y las respectivas posiciones en dichos
tiempos de la part´ıcula considerada, Xi = X(ti). Entonces
K(ta, xa, tb, xb)≈ C
Z
φ(X1, ...XN −1)dX1dX2...dXN −1.
Necesitamos pasar al l´ımite y una constante de normalizaci´on. Ambas cosas son problem´aticas en general. Sin embargo, en el caso que consideramos m´as arriba de una part´ıcula que se mueve bajo la influencia de un potencial V tal constante es (ver [FH])
C = A−N = 2πi~ε m
−N/2 .
Por lo tanto se tiene (en este caso el l´ımite existe (ver [FH])) K(ta, xa, tb, xb) = l´ım ε→0 1 A Z ei/~A (X1,...XN−1)dX1 A ... dXN −1 A (3.4)
donde A (X1, ...XN −1) es la integral sobre el camino que pasa por los pun-
tos Xi en los tiempos ti y que es lineal entre ellos.18 Una tal definici´on de
15La constante de Planck va asociada a la cuantizaci´on. 16Tenemos una exponencial compleja.
17Este es el mismo proceso, el de considerar los cilindros, que usamos nosotros para
definir la medida de Wiener en el cap´ıtulo 1.
18En el paso al l´ımite lo que obtenemos es un camino sin derivada en casi todo punto,
3.3. FEYNMAN Y LA MEC ´ANICA CU ´ANTICA 57
los caminos es problem´atica aunque no consideremos el paso al l´ımite (es todav´ıa m´as problem´atica despu´es), pues en los puntos de X′(t) discontinua (los Xi) la derivada segunda es infinita, es decir, la aceleraci´on es infini-
ta. Feynman afirma que eso puede ser un problema, pero tambi´en dice que se puede ’solucionar ’ con la sustituci´on de X′′(t) por las diferencias finitas
1
ε2(Xi+1− 2Xi+ Xi−1). Feynman no est´a preocupado por estos problemas
y afirma
Nevertheless, the concept of the sum over all paths, (...), is independent of a special definition and valid in spite of the failure of such definitions.
As´ı escribir´a la integral de caminos, entendida como paso al l´ımite cuando N → ∞ en la expresi´on anterior,19
K(ta, xa, tb, xb) =
Z
ei/~A (X(t))DX(t). (3.5)
En [Fe] podemos ver c´omo, con c´alculos formales, Feynman nota que K as´ı definida verifica la ecuaci´on de Schr¨odinger
i~∂ϕ(t, x) ∂t =− ~2 2m ∂2ϕ(t, x) ∂x2 + V (x)ϕ(x, t) = Hϕ(t, x).
Se sabe que podemos escribir la soluci´on, si f es un valor inicial dado, como, ϕ(t + s, x) = Z K(0, x, t + s, y)f (y)dy = Z Z K(0, x, s, z)K(s, z, t + s, y)f (y)dzdy = Z K(0, x, s, z)ϕ(s, z)dz.
Esta f´ormula nos permite iterar en el tiempo N veces, de manera que si ti= ta+ iε obtenemos la f´ormula (3.4).
Adem´as podemos escribir
K(ta, xa, tb, xb) = e−(i(tb−ta)/~)H(xa, xb). Anteriormente escribimos p(t− s, x, y) = Z Cxy[s,t] dWxy (3.6)
19Todas las integrales de caminos las interpretaremos como procesos de paso al l´ımite
58 CAP´ITULO 3. ECUACIONES PARAB ´OLICAS
para el n´ucleo de la ecuaci´on del calor, donde considerabamos que estaban fijos tanto el punto inicial x como el final y, lo que recuerda los c´alculos an- teriores ((3.5)).20Veamos la relaci´on con la integral en el sentido de Wiener.
Consideremos la ecuaci´on en una dimensi´on espacial ∂ρ(t, x) ∂t = 1 2 ∂2ρ(t, x) ∂x2 − V (x)ρ(t, x).
En el caso de V = 0 (el caso antes mencionado de la ecuaci´on del calor) se tiene, si f es un valor inicial dado21
ρ(t + s, x) = Z W (0, x, t + s, y)f (y)dy = Z Z W (0, x, s, z)W (s, z, t + s, y)f (y)dzdy = Z W (0, x, s, z)ρ(s, z)dz.
Este c´alculo nos induce a iterar en el tiempo N veces, de manera que ti =
ta+ iε. Obtenemos la f´ormula
ρ(tb, xb) = C(ε) Z e(−1/2ε)PNl=0(Xl+1−Xl)2ρ(t a, xa) N Y l=1 dxl.
Si comparamos ambas f´ormulas esperamos que, al servir el c´alculo para todo N , se tenga en el l´ımite22 N → ∞
W (ta, xa, tb, xb) =N1
Z
e−1/2RtatbX′2(t)dtDX(t) (3.7)
dondeN1 es un factor de normalizaci´on.
Recordemos que lo hab´ıamos escrito ya de forma parecida W (ta, xa, tb, xb) =
Z
Cxaxb([ta,tb],R)
dWxb
xa.
El caso de la part´ıcula libre de masa unidad es K(ta, xa, tb, xb) =N2
Z
ei/~Rtatb1/2·X′2(t)dtDX(t). (3.8)
Observamos las similitudes aparentes entre ambos n´ucleos (3.7) y (3.8). Sin embargo hay diferencias fundamentales entre ambas integrales. La inte- gral en (3.7) es la de Wiener, que ya vimos que es completamente rigurosa.
20En este contexto se suele llamar ’propagator ’.
21Hemos cambiado la notaci´on del n´ucleo para conservar la de Feynman.
22Recordamos que todas las integrales de caminos las interpretaremos como procesos de
3.3. FEYNMAN Y LA MEC ´ANICA CU ´ANTICA 59
Sin embargo la integral en (3.8) no es rigurosa. Uno de los problemas es la medida subyacente, que es s´olo finitamente aditiva (la medida de Feynman o una medida de Wiener con difusi´on compleja son finitamente aditivas (ver [Kl] y las referencias en dicho art´ıculo), otro es que hablamos de X′(t), pero los caminos que consideramos son los del espacio (1.16), que est´an relacio- nados con el puente browniano, y por lo tanto no son derivables en casi ning´un punto. Sin embargo, como X son caminos brownianos, interpretare- mos (ver [E])R X′(s)dt =R dW , es decir, que en realidad tenemos integrales
estoc´asticas de Itˆo.
Si consideramos ahora un potencial no nulo la f´ormula de Feynman-Kac (ver secci´on 1 de este mismo cap´ıtulo) nos da
W (ta, xa, tb, xb) = Exxab[e Rtb ta−V (X(t))dt] = Z Cxaxb([ta,tb],R eRtatb−V (X(t))dtdWxb xa (3.9) y en la notaci´on de Feynman esto es (formalmente al menos)
W (ta, xa, tb, xb) =N3
Z
eRtatb−1/2·X′2(t)−V (X(t))dtDX(t). (3.10)
De nuevo las similitudes son grandes, pero s´olo en el caso de Wiener las integrales son rigurosas.
As´ı hemos visto que, al menos en este caso, la integral de caminos nos da un nucleo. En concreto, si
H =−1
2∆ + V (x) entonces
W (ta, xa, tb, xb) = e−(tb−ta)H(xa, xb).
Veamos por qu´e en el caso de Wiener funciona bien.
Con el paso al l´ımite en N tenemos que la integral en el espacio de los caminos (el l´ımite del producto de las medidas en el espacio) es infinito, en efecto Z DX(t) = l´ım ε→0 Z N Y i dX(ti) =∞.
Por lo tanto se ha de tener que la exponencial en (3.7) se anule para aspirar a que la integral est´e bien definida. Eso ocurre si el camino que consideramos no es derivable, como sucede con el puente browniano (o el movimiento browniano), que es el proceso que nos induce la medida de Wiener considerada (ver secci´on 1 de este cap´ıtulo).
Ha habido intentos de justificar estas integrales de Feynman. Por ejemplo Itˆo consider´o un t´ermino de regularizaci´on y un paso al l´ımite para anularlo, en concreto escribi´o l´ım ν→∞N (ν) Z ei/~Rtatb[12mX′2(t)−V (X(t))]dte− 1 2ν Rtb ta[X′′2(t)+X′2(t)]dtDX(t).
60 CAP´ITULO 3. ECUACIONES PARAB ´OLICAS
La idea es que ahora los caminos son mas suaves, siendo la segunda derivada la que es infinita. Para m´as maneras de avanzar en la rigorizaci´on ver [Kl].
Una vez que Feynman escribi´o su t´esis considerando caminos en el espacio- tiempo, era cuesti´on de tiempo que considerase caminos en el espacio de fases. Para ello vamos a recordar la relaci´on entre el lagrangiano y el hamil- toniano:
L(X′(t), X(t)) = p(t)q′(t)− H(p(t), q(t)).
Fijos tay tb, consideremos los caminos q(t) en el espacio de fases que en di-
chos tiempos est´an en las posiciones fijas de antemano qay qb. Consideremos
tambi´en los caminos p(t) con ta≤ t ≤ tb pero donde no se fijan posiciones.
p, q ser´an caminos brownianos. Entonces, siguiendo las ideas anteriores es- peramos23
K(ta, qa, tb, qb) =M
Z
e(i/~)Rtatbp(s)q′(s)−H(p(s),q(s))dsDp(t)Dq(t). (3.11)
De nuevo veremos esta expresi´on como el l´ımite al considerar un n´umero N de tiempos e integrar en dichas posiciones24. Observamos que al ser p, q
trayectorias brownianas, no tendr´an derivada. Sin embargo, como ya dijimos anteriormente, podemos interpretar los t´erminos R q′(s)dt como integrales
estoc´asticas R dW .
La gran ventaja de las integrales en el espacio de fases es que se permi- ten aplicar estas t´ecnicas a part´ıculas relativistas, de manera que dan una manera de construir los campos cu´anticos.
Por ejemplo, si consideramos una part´ıcula relativista libre, con hamil- toniano expresado de manera que la velocidad de la luz sea unitaria
H(p(t), q(t)) =pp2(t) + m2
se tiene que el n´ucleo viene dado por la integral R(ta, qa, tb, qb) =M Z e(i/~)Rtatbp(s)q′(s)− √ p2(s)+m2dt DpDq.
Comentario 16 Este es un operador no-local. Recordemos la expresi´on px=−i~ ∂ ∂x de donde p2x=−~ ∂ 2 ∂x2.
Antes de concluir con este cap´ıtulo hay que hacer varios comentarios. An- tes hablamos de que pod´ıamos entender ciertos t´erminos (R q′(s)dt) como
23Como anteriormente, estos manejos son s´olo formales. 24Esto es equivalente a los cilindros del cap´ıtulo 1.
3.3. FEYNMAN Y LA MEC ´ANICA CU ´ANTICA 61
integrales estoc´asticas, sin embargo no mencionamos en qu´e sentido, si Itˆo o Stratonovich. El sentido ahora es el de Stratonovich, pues al considerar relatividad es necesario tratar con cambios de coordenadas. Por eso que la ecuaci´on de Schr¨odinger no refleja efectos relativistas, porque no es inva- riante a ciertos cambios de coordenandas. Necesitaremos que la ecuaci´on tenga el mismo orden en todas las variables para que pueda reflejar efectos relativistas. Poder aplicar la regla de la cadena usual es una gran ventaja.
Tambi´en hay que se˜nalar que aunque la esencia de esta secci´on eran los c´alculos formales, estos se pueden justificar en el caso de las integrales en el espacio de fases. Para ello se ha de considerar la regularizaci´on (ver [Kl])
l´ım ν→0Mν Z e(i/~)Rtatbp(s)q′(s)− √ p2(s)+m2dt e−2ν1 R p′2(s)+q′2(s)dtDpDq
Comentario 17 Si bien |ϕ(t, x)|2 es la probabilidad de encontrar la
part´ıcula en el punto x en el tiempo t,|ϕ(p, q)| es una probabilidad de estar en un cierto estado, por lo que no tiene una interpretaci´on tan sencilla e intuitiva.
Cap´ıtulo 4
F´ormulas de representaci´on
en din´amica de fluidos
Consideraremos las ecuaciones de Navier-Stokes en el caso incompresible, homog´eneo, isotermo e is´otropo.
[N S] ∂~u
∂t + (~u· ∇)~u + ∇p − ν∆~u = 0
∇ · ~u = 0 (4.1)
~u es la velocidad del fluido en cada punto y tiempo mientras que p es la presi´on. Esta ecuaci´on no es m´as que la segunda ley de Newton en el caso de que las fuerzas sean el rozamiento viscoso (el t´ermino de segundo orden) y la presi´on. Matem´aticamente la presi´on es un multiplicador de Lagrange asociado a la condici´on de divergencia nula.
El dominio espacial considerado ser´a Td (o m´as generalmente permiti-
remos que la celda tenga longitud L), por lo que tendremos condiciones de borde peri´odicas. A esto hay que a˜nadir un dato inicial ~f (x)∈ Ck+1,α, con k≥ 1.
En ausencia de viscosidad, es decir, si ν = 0 obtenemos las ecuaciones de Euler
[Euler] ∂~u
∂t + (~u· ∇)~u + ∇p = 0
∇ · ~u = 0 (4.2)
Obtendremos la representaci´on probabil´ıstica para Navier-Stokes y una prueba de existencia local de soluci´on cl´asica. Sin embargo, para presentar estas ideas en un contexto m´as simple, antes veremos el caso de la ecuaci´on de Burgers viscosa.
4.1. LA ECUACI ´ON DE BURGERS 1-DIMENSIONAL 63
Figura 4.1: Soluci´on de Navier-Stokes en tiempo 10.
Figura 4.2: Soluci´on del problema de Stokes.
4.1.
La ecuaci´on de Burgers 1-dimensional
Comenzaremos con el problema de Cauchy para la ecuaci´on de Burgers no viscosa, pero la representaci´on probabilista es para la viscosa.1 As´ı, dado un valor inicial f ∈ C2
b, consideraremos las ecuaciones
vt+ vvx= 0 (4.3)
vt+ vvx =
ν
2vxx (4.4)
La idea es usar la transformaci´on de Hopf-Cole y la representaci´on de la ecuaci´on del calor. Es bien sabido que el t´ermino de segundo orden previene la formaci´on de singularidades, que s´ı est´an presentes en la ecuaci´on no vis- cosa, por lo que no debemos preocuparnos de ello. De nuestra representaci´on se obtendr´a la regularidad.
Lema 4 (Hopf-Cole). Sea u(t, x) una soluci´on cl´asica de la ecuaci´on del
1Ya mencionamos anteriormente (ejemplo 1) que si no hay difusi´on la medida en las